Медиана треугольника попарно пересекаются

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины

Медиана треугольника попарно пересекаются

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть в треугольнике АВС AM , BD и CN – медианы,

Медиана треугольника попарно пересекаютсяР – точка их пересечения. Тогда М N – средняя линия треугольника АВС, поэтому MN параллельна стороне АС и равна ее половине. Треугольники АСР и MNP подобны (по двум углам) поэтому Медиана треугольника попарно пересекаются. Аналогично можно доказать, что Медиана треугольника попарно пересекаются. Так как попарно точкой пересечения медианы делятся в одном и том же отношении, то они пересекаются в одной точке.

Видео:22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

22 Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Элементы треугольника. Медиана

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Медиана треугольника попарно пересекаются

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Медиана треугольника попарно пересекаются

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

Медиана треугольника попарно пересекаются

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

Медиана треугольника попарно пересекаются

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

Медиана треугольника попарно пересекаются

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

Медиана треугольника попарно пересекаются, где где Медиана треугольника попарно пересекаются— медиана к стороне Медиана треугольника попарно пересекаются; Медиана треугольника попарно пересекаются— стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

Медиана треугольника попарно пересекаются, где Медиана треугольника попарно пересекаются– медианы к соответствующим сторонам треугольника, Медиана треугольника попарно пересекаются— стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Свойство медиан треугольника

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с начала 8 класса.

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана треугольника попарно пересекаютсяДано : ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Медиана треугольника попарно пересекаются

Медиана треугольника попарно пересекаются

Медиана треугольника попарно пересекаются1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Медиана треугольника попарно пересекаются

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

Медиана треугольника попарно пересекаются

Медиана треугольника попарно пересекаются

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

Медиана треугольника попарно пересекаются

Медиана треугольника попарно пересекаются

Медиана треугольника попарно пересекаются

Медиана треугольника попарно пересекаются

из чего следует, что

Медиана треугольника попарно пересекаются

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

Медиана треугольника попарно пересекаются

Что и требовалось доказать .

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

7 Comments

Промогите пожалуйста:
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800.
Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см.
(Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим
x²+2xy+y²=19600; x+y=140).

Прошу помощи в решении задачи: на стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

Во-первых, большое спасибо за решение, даже не ожидала ответа, но, по счастью, ошиблась! Но я к этому времени уже решила так:провела ВМ, которая в равностороннем треугольнике является также высотой.
Рассмотрим четырехугольник ОВМС: угол ВОС =углу ВМС=90 градусов (диагонали ромба взаимно перпендикулярны),отсюда, ВМ параллельна ОС, тогда угол МОС=20 градусам. Рассм. треугольник ОМС: угол МСО= 180-20-70=90 градусов, и одновременно= 60+x, т.о., угол х=30 градусам, и искомый острый угол ромба=60 градусам. Мы получили разные ответы, в чем может быть дело (окружности мы еще не проходили).

Наталия углы BOC и BMC не накрест лежащие и не внутренние односторонние, поэтому BM не параллельна OC. Но вариант решения без окружности возможен, добавила второй способ.

📹 Видео

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медианы треугольника пересекаются в точке М. Свойство пересекающихся хорд.Скачать

Медианы треугольника пересекаются в точке М.  Свойство пересекающихся хорд.

9 класс. Геометрия.Скачать

9 класс. Геометрия.

Теорема о трёх медианахСкачать

Теорема о трёх медианах

Две медианы треугольника пересекаются по прямым углом.Скачать

Две медианы треугольника пересекаются по прямым углом.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианыСкачать

Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольника

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера
Поделиться или сохранить к себе: