Радиус окружности правильного треугольника — это
радиус вписанной и описанной около правильного
треугольника окружностей.
Если радиус окружности правильного треугольника неизвестен,
то его можно найти с помощью других величин в правильном
треугольнике. Под величинами я подразумеваю длину стороны,
площадь, периметр, высоту и так далее.
В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен
двум радиусам вписанной окружности, и наоборот два радиуса
вписанной окружности равны радиусу описанной окружности.
Формулы радиуса окружности
правильного треугольника
Формулы радиуса окружности правильного треугольника — это
формулы, с помощью которых можно найти радиус вписанной
или описанной окружностей в правильном треугольнике,
зная другие величины в нем.
- Формула радиуса вписанной окружности, выраженная через радиус описанной окружности.
Формула радиуса описанной окружности, выраженная через радиус вписанной окружности.
Формула радиуса вписанной окружности, выраженная через сторону.
Формула радиуса описанной окружности, выраженная через сторону.
Формула радиуса вписанной окружности, выраженная через периметр.
Формула радиуса описанной окружности, выраженная через периметр.
Формула радиуса вписанной окружности, выраженная через площадь.
Формула радиуса описанной окружности, выраженная через площадь.
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
Свойства
Зная радиус описанной окружности, можно найти сразу не только сторону равностороннего треугольника, но и радиус вписанной в него окружности, так как они напрямую связаны друг с другом. Сторона треугольника будет равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трех, а радиус вписанной окружности – его половине. (рис.100) a=√3 R r=R/2
Чтобы вычислить периметр и площадь равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, необходимо подставить полученное выражение для стороны в соответствующие формулы. P=3a=3√3 R S=(√3 a^2)/4=(3√3 R^2)/4
Высоты, медианы и биссектрисы являются одними и теми же отрезками в равностороннем треугольнике, и вычислить их можно по единой формуле, где искомая величина равна корню из трех, умноженному на сторону и деленному на два. Подставив вместо стороны произведение радиуса и корня из трех, получаем, что высота равна трем радиусам, деленным на два. (рис.99) h=m=l=(√3 a)/2=(√3 √3 R)/2=3R/2
Чтобы найти среднюю линию равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, необходимо разделить произведение радиуса и корня из трех на два. (рис.97.3) M=(√3 R)/2
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна .
Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .