Как нарисовать вписанный угол в окружности

Центральные и вписанные углы

Как нарисовать вписанный угол в окружности

О чем эта статья:

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Как нарисовать вписанный угол в окружности

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Как нарисовать вписанный угол в окружности

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Как нарисовать вписанный угол в окружности

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Как нарисовать вписанный угол в окружности

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Как нарисовать вписанный угол в окружности

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Вписанные, центральные углы

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается .

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Свойства вписанных углов Как нарисовать вписанный угол в окружности

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

В задаче 11 заметила опечатку Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется умножить результат на 2, — получим градусную меру угла АВС. Наверное, надо не умножить . а разделить. И хотела поблагодарить Вас за такой сайт. Вы просто молодец. всё очень понятно и доступно.

в задаче 11 на картинке угол АВС равен 106 , а в условии 104 .

Арина, спасибо! Исправлено.

В свойствах вписанных углов небольшая синтаксическая ошибка.
“Угол, опирающийся на диаметр – прямой”. (перед тире запятая не ставится).

Почему в 7-ой задаче angle ADC=120^, так как является смежным с angle BDA. При этом angle BDA=60^, так как опирается на дугу ВА. Тогда разве угол ADC не должен быть равен 60 градусам?

Как же угол ADC будет равен 60°, если он смежен с углом в 60°?

Благодарю вас за такой сайт,очень мне помог, и сделайте пожайлуста ещё одну задачу :Вписанный угол ABC=58гр.Найти хорду на которую опирается этот угол(заранее спасибо)

Даниил, с условием не все в порядке. Не хватает данных. Или радиус должен быть известен или еще что…

В шестой задаче угол BAD разве не будет равен 65? Угол B прямой те опирается на диаметр
Д – 25
180 – 115= 65
Можно ли так?

Угол B не прямой, он не опирается на диаметр!

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Углы, связанные с окружностью

Как нарисовать вписанный угол в окружностиВписанные и центральные углы
Как нарисовать вписанный угол в окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Как нарисовать вписанный угол в окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголКак нарисовать вписанный угол в окружности
Вписанный уголКак нарисовать вписанный угол в окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголКак нарисовать вписанный угол в окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголКак нарисовать вписанный угол в окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголКак нарисовать вписанный угол в окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаКак нарисовать вписанный угол в окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиКак нарисовать вписанный угол в окружностиКак нарисовать вписанный угол в окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаКак нарисовать вписанный угол в окружностиКак нарисовать вписанный угол в окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияКак нарисовать вписанный угол в окружностиКак нарисовать вписанный угол в окружности
Угол, образованный касательной и секущейКак нарисовать вписанный угол в окружностиКак нарисовать вписанный угол в окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиКак нарисовать вписанный угол в окружностиКак нарисовать вписанный угол в окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Как нарисовать вписанный угол в окружности
Формула: Как нарисовать вписанный угол в окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Как нарисовать вписанный угол в окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Как нарисовать вписанный угол в окружности
Формула: Как нарисовать вписанный угол в окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Как нарисовать вписанный угол в окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Как нарисовать вписанный угол в окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Как понять центральные и вписанные углыСкачать

Как понять центральные и вписанные углы

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Как нарисовать вписанный угол в окружности

В этом случае справедливы равенства

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Как нарисовать вписанный угол в окружности

В этом случае справедливы равенства

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Как нарисовать вписанный угол в окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🔥 Видео

Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромб

Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрияСкачать

Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрия

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

Центральный угол в окружностиСкачать

Центральный угол в окружности

Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Вписанный угол равен половине центрального угла

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Построение 8 угольника циркулемСкачать

Построение 8 угольника циркулем

Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы
Поделиться или сохранить к себе: