Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольникаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольникаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольникаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Содержание
  1. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  2. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  3. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  4. Как связаны биссектриса и окружность
  5. Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
  6. 1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c
  7. 2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A
  8. 3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A
  9. 4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C
  10. 🔍 Видео

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольникРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Равносторонний треугольникРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Прямоугольный треугольникРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Произвольный треугольник
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Равносторонний треугольник
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Произвольный треугольник
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольникРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Равносторонний треугольникРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника– полупериметр (рис. 6).

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

с помощью формулы Герона получаем:

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Как связаны биссектриса и окружность

В геометрии могут объединиться даже очень различные на первый взгляд фигуры, такие как окружность и треугольник. У каждой есть свои особенности, которые позволяют отличать их от прочих фигур, даже если они очень похожи: например, круг и окружность – это совсем не одно и тоже.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольникаРазница между кругом и окружностью состоит в отношении к плоскости. Если упрощенно, то под плоскостью понимают поверхность, на которой и строятся фигуры. Саму плоскость тоже можно считать фигурой. Окружность – это совокупность всех точек на плоскости, которые образуют фигуру, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает окружность. Поэтому может быть сектор или сегмент круга – но понятие дуги относится только к окружности.

Одним из важнейших понятий, связанных с окружностью, является радиус – расстояние от центра окружности до любой её точки. Чтобы произвести вычисление радиуса, нужно знать длину окружности, её площадь или диаметр. Проще всего посчитать радиус через диаметр – просто разделить длину диаметра на два.

Зная длину, тоже можно вычислить радиус – если формула длины – это L=2πR, то радиус вычисляется по формуле R= L/2π.

Окружность можно как вписать в любой треугольник, так и начертить вокруг любого треугольника так, чтобы все вершины треугольника касались окружности. Чтобы описать окружность вокруг треугольника, надо найти точку пересечения всех углов треугольника – она будет центром описываемой окружности. Чтобы, напротив, вписать круг в треугольник, надо к середине каждой стороны провести перпендикулярную прямую. Точка их пересечения и будет центром вписанного круга.

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольникаОсновное свойство вписанного в окружность треугольника состоит в том, что вычислить его площадь очень просто – для этого надо знать радиус окружности и длины сторон треугольника. Для этого используется формула: P/2*R, где P – периметр, а R – радиус окружности.

Значение биссектрисы – луча, исходящего из вершины угла и делящего его напополам, – не ограничивается тем, что с её помощью можно вписать круг в треугольник. Назовем основные свойства биссектрисы треугольника, которые существенно облегчают процесс решения геометрических задач.

Во-первых, биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Во-вторых, в правильном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, а в равнобедренном треугольнике совпадает с медианой и с высотой только в том случае, если проведена от вершины к основанию. В-третьих, как уже упоминалось, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

При решении задач, связанных с треугольниками или окружностями, важно отличать биссектрису от медианы или высоты, а радиус или диаметр – от хорды.

Видео:Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см

Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

1. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и боковая сторона b=c

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и боковая сторона b=c. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника. На странице Радиус окружности описанной около треугольника онлайн была выведена формула вычисления радиуса R описанной около любого треугольника окружности:

( small R=frac<large 4 cdot sqrt

>. )

(1)

где p вычисляется из формулы:

( small p= frac. )(2)

Учитывая, что у нас треугольник равнобедренный, т.е. b=c, имеем:

( small p= frac=b+ frac, )(3)
( small p-a= b- frac, )(4)
( small p-b= frac, )(5)

Подставляя (3)−(5) в (1) и учитывая, что b=c, получим:

( small R=frac<large 4 cdot frac cdot sqrt<left ( b+fracright)left ( b-fracright)>> ) ( small =frac<large 2 cdot sqrt< b^2-frac>> ) ( small =frac< sqrt> ,)
( small R=frac< sqrt>. )(6)

Пример 1. Известны основание ( small a=7 ) и боковая сторона ( small b=frac ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (6).

Подставим значения ( small a=7 ) и ( small b=frac ) в (6):

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Ответ: Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

2. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и противолежащий угол A

Пусть известны сторона a и противолежащий угол A. Формула для нахождения радиуса окружности описанной около равнобедренного треугольника по основанию и противолежащему углу аналогична формуле для нахождения радиуса окружности описанной около произвольного треугольника:

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.(7)

Пример 2. Сторона основание равнобедренного треугольника равна:( small a=21 ) а противолежащий угол ( small angle A=60°.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (7). Подставим значения ( small a=21 ) и ( small angle A=60° ) в (7):

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.

Ответ: Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

3. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона b=c треугольника и угол между боковыми сторонами A

Пусть известны боковая сторона b=c равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами A. Найдем радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника.

На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известных сторонах и углу между ними:

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.(8)

Подставляя в (8) c=b, получим:

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольникаРадиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника
Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.(9)

Пример 3. Известны основание ( small a=21 ) равнобедренного треугольника и угол между боковыми сторонами: ( small angle A=70°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (9). Подставим значения ( small a=21; ) и ( small angle A=70° ) в (9):

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Ответ: Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

4. Радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если известны основание a и прилежащий угол B=C

Пусть известны основание a равнобедренного треугольника и прилежащие к ней угол B=C. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. На странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн была выведена формула для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника при известной стороне и прилежащим двум углам:

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.(10)

Подставляя ( small C=B ) в (10), получим требуемую формулу:

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника.(11)

Пример 4. Известны основание равнобедренного треугольника ( small a=14 ) и прилежащий к ней угол: ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=14 ) и ( small angle B=25° ) в (11):

Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

Ответ: Радиус окружности является биссектрисой равнобедренного треугольника

🔍 Видео

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольникаСкачать

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Геометрия Радиус окружности вписанной в равнобедренный треугольник, составляет 2/9 высотыСкачать

Геометрия Радиус окружности вписанной в равнобедренный треугольник, составляет 2/9 высоты

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.Скачать

Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в  равносторонний  треугольник.

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16
Поделиться или сохранить к себе: