Радиус окружности описанной около основания правильной треугольной призмы

Видео:№221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 смСкачать

Радиус окружности описанной около основания правильной треугольной призмы

Решение:
R=2*корень(3)3 R=a*корень(3)3 а=R*корень(3) где R — радиус окружности, описанной вокруг правильного(равностороннего) треугольника а -сторона правильного треугольника а=2*корень(3)3* корень(3)=2 Sосн=a^2*корень(3)4 где Sосн — площадь основания(правильного треугольника) Sосн=2^2*корень(3)4=корень(3) V=3*корень(3) V=Sосн*h h=VSосн h -высота призмы V — обьем призмы h=3*корень(3)корень(3)=3 Ответ:3 м

Видео:Геометрия Объем правильной треугольной призмы равен 25√3. Радиус окружности, описанной околоСкачать

Призма, вписанная в сферу

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной призмы

Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около этой призмы сферой

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Определение 1. Призмой, вписанной в сферу, называют такую призму, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если призма вписана в сферу, то сферу называют описанной около призмы.

Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. Около оснований призмы можно описать окружности.

Доказательство. Докажем сначала, что если n – угольная призма A₁A₂ . A_nA’₁A’₂ . A’_n вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого заметим, что плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, на которой лежат вершины этого основания. Таким образом, многоугольники, являющиеся основаниями призмы, оказываются вписанными в окружности (рис. 1), то есть второе условие теоремы выполнено.

Каждая из боковых граней призмы также вписана в окружность (рис. 2).

Рассмотрим какое-нибудь боковое ребро призмы, например, A₂A’₂. Поскольку это ребро перпендикулярно к ребрам основания A₁A₂ и A₂A₃ , то в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что боковое ребро A₂A’₂ перпендикулярно к плоскости основания призмы, то есть призма является прямой призмой.

Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого обозначим символом O₁ центр окружности радиуса r , описанной около нижнего основания призмы, а символом O’₁ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы (рис. 3).

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны.

Согласно утверждению 1 из раздела «Призмы, вписанные в цилиндры» отрезок O₁O’₁, соединяющий центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок O₁O’₁ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Обозначим буквой O середину отрезка O₁O’₁ и докажем, что все вершины призмы будут находиться на одном и том же расстояниии от точки O (рис. 4).

(1)

от всех вершин призмы. Отсюда следует, что точка O является центром сферы радиуса R , описанной около призмы.

Следствие 1. Около любой прямой треугольной призмы можно вписать сферу.

Следствие 2. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба ) можно описать сферу.

Следствие 3. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

Для доказательства следствия 3 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Видео:🔴 Сторона основания правильной треугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной призмы

то из формулы (1) получаем выражение для радиуса описанной сферы

(2)

Ответ.

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около около правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a равен

Видео:Вычисление радиуса сферы, описанной около правильной треугольной пирамидыСкачать

Отношение объема правильной n — угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

Задача 2. Около правильной n — угольной призмы с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов призмы и шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около призмы сферой, через высоту и ребро основания призмы:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 8. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Радиус описанной сферы и ребро «A» треугольной призмы

Видео:ЕГЭ. Математика. База . Задача 16. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмыСкачать

Свойства

Зная радиус сферы, описанной вокруг правильной треугольной призмы с равносторонним треугольником в основании, можно найти сторону этого основания и затем посчитать высоту основания, радиусы вписанной и описанной окружностей около него, а также площадь. a=√(6/5) R_1 h=a/√2=√(3/5) R_1 r=a/(2√3)=2√(2/5) R_1 R=a/√3=√(2/5) R_1 S=(√3 a^2)/4=(3√3 〖R_1〗^2)/10

Боковое ребро треугольной призмы в совокупности с радиусом описанной сферы позволяет вычислить диагональ боковой стороны, периметр призмы и площадь боковой, а затем и полной поверхности призмы. d=√(a^2+b^2 )=√(6/5 〖R_1〗^2+b^2 ) P=3(2a+b)=3(2√(6/5) R_1+b) S_(б.п.)=3ab=3b√(6/5) R_1 S_(п.п.)=3b√(6/5) R_1+(3√3 〖R_1〗^2)/5

Чтобы найти объем треугольной призмы через радиус описанной сферы и боковое ребро, нужно подставить в формулу объема необходимое выражение вместо площади основания и умножить его на боковое ребро. V=S_(осн.) b=(3√3 〖R_1〗^2)/10 b

🎦 Видео

Геометрия Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной околоСкачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

ЕГЭ-2020 по математике: площадь боковой поверхности треугольной призмыСкачать

ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

Стереометрия, номер 33.1Скачать

Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

#130. Задание 8: комбинация телСкачать

10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2 корня из 3. Найдите АВ, если...Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать