Радиус окружности через синус

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Радиус окружности через синус

Радиус окружности через синус

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

Радиус окружности через синус

Радиус окружности через синус

Радиус окружности через синус

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

Радиус окружности через синус

где p — полупериметр,

Радиус окружности через синус

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Радиус окружности через синус

Радиус окружности через синус

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Радиус окружности через синусФормула:

Радиус окружности через синус

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Радиус окружности через синус

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Радиус окружности через синус

Радиус окружности через синус

Если без иррациональности в знаменателе, то

Радиус окружности через синус

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Теорема синусов

Радиус окружности через синус

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторонуСкачать

Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторону

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Радиус окружности через синус

Формула теоремы синусов:

Радиус окружности через синус

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Радиус окружности через синус

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Радиус окружности через синус

Радиус окружности через синус
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Радиус окружности через синус

  • Радиус окружности через синус
    bc sinα = ca sinβ
    Радиус окружности через синус
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Радиус окружности через синус

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Радиус окружности через синус

    Радиус окружности через синус

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Радиус окружности через синус

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус окружности через синус

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Радиус окружности через синус

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Радиус окружности через синус

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Радиус окружности через синус

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Радиус окружности через синус

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Радиус окружности через синус

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Радиус окружности через синус

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Радиус окружности через синус

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Радиус окружности через синус

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Радиус окружности через синус

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Радиус окружности через синус

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Радиус окружности через синус

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Радиус окружности через синус

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Радиус окружности через синус
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Радиус окружности через синус

    Радиус окружности через синус

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

    Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружности

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Радиус окружности через синус

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать

    Тригонометрическая окружность для непонимающих

    Все формулы для радиуса вписанной окружности

    Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    Радиус окружности через синус

    a , b , c — стороны треугольника

    p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

    Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

    Радиус окружности через синус

    Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

    Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

    Радиус окружности через синус

    a — сторона треугольника

    r — радиус вписанной окружности

    Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

    Радиус окружности через синус

    Видео:Геометрия В треугольнике DEF известно, что DE = 8см SinF = 0,16 Найдите радиус окружности описаннойСкачать

    Геометрия В треугольнике DEF известно, что DE = 8см SinF = 0,16 Найдите радиус окружности описанной

    Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

    1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

    Радиус окружности через синус

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    α — угол при основании

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

    Радиус окружности через синус

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

    Радиус окружности через синус

    Радиус окружности через синус

    2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

    Радиус окружности через синус

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    h — высота

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

    🎬 Видео

    Найти центр и радиус окружностиСкачать

    Найти центр и радиус окружности

    ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

    ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

    Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

    Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

    Радиус и диаметрСкачать

    Радиус и диаметр

    Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

    Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

    Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов. ЗадачаСкачать

    Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов. Задача

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    Теорема синусов и радиус описанной окружности.Скачать

    Теорема синусов и радиус описанной окружности.

    9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

    9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны
    Поделиться или сохранить к себе: