Прямой заданной уравнением 2x y 5 0 параллельна прямая заданная уравнением

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Условие параллельности прямых

Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых, заданных уравнением:

служит равенство их угловых коэффициентов, то есть

Если прямые заданы уравнениями в общем виде, то есть

то условие параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны:

или в другом представлении

Также это равенство можно записать в виде

Если свободные члены пропорциональны, то есть,

то прямые не только параллельны, но и совпадают.

4x+2y-8=0 и 8x+4y-16=0

представляют одну и ту же прямую, то есть совпадают.

Пример 2
Прямые у=4x-3 ( на графике синего цвета ) и y=4x+7 ( прямая красного цвета ) параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны k₁=k₂=4

Пример 3
Прямые у=5x+1 и y=3x-4 не параллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны, т.е. k₁=5, k₂=3

Пример 4
Прямые 2x+4y+7=0 и 3x+6y-5=0 параллельны, так как выражение равно нулю

Пример 5
Прямые 2x-7y+7=0 и 3x+y-5=0 не параллельны, так как выражение не равно нулю

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 — прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.

🌟 Видео

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Как построить прямую, заданную уравнением. Частные случаи уравнения прямой. Урок 2 Геометрия 8 классСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Уравнение касательной, параллельной заданной прямой.Скачать

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать