О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
- Понятие треугольника
- Понятие средней линии треугольника
- Понятие средней линии прямоугольного треугольника
- Свойства средней линии треугольника
- Теорема о средней линии треугольника
- Прямая проходящая через середину стороны треугольника параллельная основанию
- Одна из сторон треугольника лежит в плоскости a?
- Точка e не лежит в плоскости параллелограмма abcd?
- Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа?
- Через середины 2 медиан треугольника проведена плоскость, не совпадающая с плоскостью треугольника?
- Середины сторон CA и BA треугольника BCA лежат на плоскости а (альфа), а сторона BC не лежит в этой плоскости?
- Через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость α?
- Две стороны треугольника параллельны плоскости а?
- Одна из сторон треугольника лежит в плоскости альфа доказать что прямая проходящая через середину двух других сторон треугольника паралельна?
- 1. Середины сторон CD и BD треугольника BCD лежат в плоскости , а сторона ВС не лежит в этой плоскости : Докажите, что прямая ВС и плоскость параллельны?
- Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа?
- Плоскость проходит через середины сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника?
- 💥 Видео
Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Видео:№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Видео:№241. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВСкачать
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Видео:№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр ОСкачать
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
Прямая проходящая через середину стороны треугольника параллельная основанию
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.
$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме
(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).
$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.
Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).
$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .
Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):
`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,
`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).
Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`. |
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
`d^2=c^2+ab`. |
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.
`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).
По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`
(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).
Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.
Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.
Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$
Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда
$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.
$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.
$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.
Видео:Разбор Задачи №16 из работы Статград от 16 февраля 2022Скачать
Одна из сторон треугольника лежит в плоскости a?
Геометрия | 10 — 11 классы
Одна из сторон треугольника лежит в плоскости a.
Докажите, что прямая, проходящая через середины двух других сторон треугольника, параллельна плоскости a.
Дано : треугольник АВС, плоскость а, прямая с, пересекающая АВ и ВС в точках М и К.
АС принадлежит а.
Доказать : с параллельна а.
Если МА = МВ, КВ = КС, тогда МК — средняя линия и МК параллельна АС.
АС принадлежит а, следовательно с параллельна а(по теореме : Если прямая вне плоскости параллельна какой — нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости).
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Точка e не лежит в плоскости параллелограмма abcd?
Точка e не лежит в плоскости параллелограмма abcd.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ea и eb, параллельна стороне cd.
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа?
Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа.
В не принадлежит альфа.
Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и ВС , параллельна плоскости альфа.
Видео:ОГЭ по математике, задание 26, тренировочный вариант 1Скачать
Через середины 2 медиан треугольника проведена плоскость, не совпадающая с плоскостью треугольника?
Через середины 2 медиан треугольника проведена плоскость, не совпадающая с плоскостью треугольника.
Докажите, что проведённая плоскость параллельна одной из сторон треугольника.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Середины сторон CA и BA треугольника BCA лежат на плоскости а (альфа), а сторона BC не лежит в этой плоскости?
Середины сторон CA и BA треугольника BCA лежат на плоскости а (альфа), а сторона BC не лежит в этой плоскости.
Докажите, что прямая BC и плоскость а(альфа) параллельны.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость α?
Через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость α.
Докажите, что прямая, проходящая через середины AB и BC, параллельна плоскости α.
Видео:№31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит черезСкачать
Две стороны треугольника параллельны плоскости а?
Две стороны треугольника параллельны плоскости а.
Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости а.
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Одна из сторон треугольника лежит в плоскости альфа доказать что прямая проходящая через середину двух других сторон треугольника паралельна?
Одна из сторон треугольника лежит в плоскости альфа доказать что прямая проходящая через середину двух других сторон треугольника паралельна.
Видео:Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС вСкачать
1. Середины сторон CD и BD треугольника BCD лежат в плоскости , а сторона ВС не лежит в этой плоскости : Докажите, что прямая ВС и плоскость параллельны?
1. Середины сторон CD и BD треугольника BCD лежат в плоскости , а сторона ВС не лежит в этой плоскости : Докажите, что прямая ВС и плоскость параллельны.
2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
Докажите, что любые три из них не лежат на одной прямой.
3. Прямая ^ КМ параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости AВС.
Выясните взаимное расположение прямых КМ и AВ и найдите угол между ними, если AВС = 110°.
Видео:Биссектриса трапеции проходит через середину боковой стороны (Задача №324603)Скачать
Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа?
Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость альфа.
В не принадлежит альфа.
Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и ВС , параллельна плоскости альфа.
Видео:№160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждаяСкачать
Плоскость проходит через середины сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника?
Плоскость проходит через середины сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника.
Докажите, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника + рисунок .
Заранее большое спасибо )).
На странице вопроса Одна из сторон треугольника лежит в плоскости a? из категории Геометрия вы найдете ответ для уровня учащихся 10 — 11 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.
💥 Видео
В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через A?Скачать
ОГЭ Задание 25 Средняя линия прямоугольного треугольникаСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать