Прямая призма прямоугольный треугольник

Призма

Видео:№234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузыСкачать

№234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_$ — периметр основания;

$S_$ — площадь основания;

$S_$ — площадь боковой поверхности;

$S_$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  1. $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√

    $, где $р$ — это полупериметр $p=/$

  4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
  5. $S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 7, боковое ребро равно 4. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 6, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S — площадь основания, а h — ее боковое ребро. Тогда:

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 4. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 2 и 5, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Прямая призма прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объем призмы.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен Прямая призма прямоугольный треугольникгде S – площадь основания, а h – боковое ребро. Тогда объем равен

Видео:№233. Основанием прямой призмы АВСA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABCСкачать

№233. Основанием прямой призмы АВСA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC

Что это — прямая призма? Свойства и формулы. Пример задачи

Изучением характеристик трехмерных геометрических фигур занимается стереометрия. Одна из известных объемных фигур, которая появляется в задачах по геометрии, — это прямая призма. Рассмотрим в данной статье, что она собой представляет, а также подробно охарактеризуем призму с треугольным основанием.

Видео:🔴 В основании прямой призмы лежит ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В основании прямой призмы лежит ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Призма и ее виды

Под призмой подразумевают такую фигуру, которая образуется в результате параллельного переноса многоугольника в пространстве. В результате этой геометрической операции образуется фигура, состоящая из нескольких параллелограммов и двух одинаковых параллельных друг другу многоугольников. Параллелограммы являются боковыми сторонами призмы, а многоугольники — это ее основания.

Прямая призма прямоугольный треугольник Вам будет интересно: Неудача — это. Значение слова, применение, синонимы

Любая призма имеет n+2 стороны, 3*n ребер и 2*n вершин, где n — число углов или сторон многоугольного основания. На изображении показана пятиугольная призма, которая состоит из 7 сторон, 10 вершин и 15 ребер.

Прямая призма прямоугольный треугольник

Рассматриваемый класс фигур представлен призмами нескольких видов. Перечислим их кратко:

  • вогнутые и выпуклые;
  • наклонные и прямые;
  • неправильные и правильные.

Каждая фигура относится к одному из перечисленных трех видов классификации. Во время решения геометрических задач проще всего выполнять расчеты для правильных и прямых призм. Последние подробнее рассмотрим в следующих пунктах статьи.

Видео:В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые ребра призмы...Скачать

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые ребра призмы...

Что это — призма прямая?

Прямой называется вогнутая или выпуклая, правильная или неправильная призма, у которой все боковые стороны представлены четырехугольниками с углами 90°. Если хотя бы один из четырехугольников боковых сторон не будет прямоугольником или квадратом, то призма называется наклонной. Можно также дать другое определение: прямая призма — это такая фигура данного класса, у которой любое боковое ребро равно высоте. Под высотой h призмы полагают дистанцию между ее основаниями.

Оба приведенных определения того, что это — прямая призма, являются равноправными и самодостаточными. Из них следует, что все двугранные углы между любым из оснований и каждой боковой стороной равны 90°.

Выше было сказано, что с прямыми фигурами удобно работать при решении задач. Это связано с тем, что высота совпадает с длиной бокового ребра. Последний факт облегчает процесс вычисления объема фигуры и площади ее боковой поверхности.

Прямая призма прямоугольный треугольник

Видео:Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник 8 ЗАДАНИЕ ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИСкачать

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник 8 ЗАДАНИЕ ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИ

Объем прямой призмы

Объем — свойственная любой пространственной фигуре величина, которая численно отражает часть пространства, заключенного между поверхностями рассматриваемого объекта. Объем призмы может быть рассчитан по следующей общей формуле:

То есть произведение высоты на площадь основания даст искомое значение V. Поскольку у прямой призмы основания равны, то для определения площади So можно брать любое из них.

Преимущество использования приведенной выше формулы именно для прямой призмы в сравнении с другими ее видами заключается в том, что высоту фигуры найти очень просто, так как она совпадает с длиной бокового ребра.

Видео:№235. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. ЧерезСкачать

№235. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. Через

Площадь боковой поверхности

Удобно рассчитывать не только объем для прямой фигуры рассматриваемого класса, но также ее боковую поверхность. Действительно, любая ее боковая сторона — это либо прямоугольник, либо квадрат. Как вычислить площадь этих плоских фигур, знает каждый школьник, для этого необходимо умножить смежные стороны друг на друга.

Предположим, что в основании призмы лежит произвольный n-угольник, стороны которого равны ai. Индекс i пробегает значения от 1 до n. Площадь одного прямоугольника вычисляется так:

Площадь поверхности боковой Sb нетрудно вычислить, если сложить все площади Si прямоугольников. В таком случае получаем конечную формулу для Sb прямой призмы:

Sb = h*∑i=1n(ai) = h*Po.

Таким образом, чтобы определить площадь боковой поверхности для прямой призмы, необходимо умножить ее высоту на периметр одного основания.

Видео:№230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120Скачать

№230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120

Задача с треугольной призмой

Прямая призма прямоугольный треугольник

Предположим, что задана прямая призма. Основание — прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны 12 см и 8 см. Необходимо рассчитать объем фигуры и ее полную площадь, если высота призмы составляет 15 см.

Для начала вычислим объем прямой призмы. Треугольник (прямоугольный), находящийся в ее основаниях, имеет площадь:

So = a1*a2/2 = 12*8/2 = 48 см2.

Как можно догадаться, a1 и a2 в этом равенстве являются катетами. Зная площадь основания и высоту (см. условие задачи), можно воспользоваться формулой для V:

V = So*h = 48*15 = 720 см3.

Полная площадь фигуры образована двумя частями: площадями оснований и боковой поверхностью. Площади двух оснований равны:

S2o = 2*So = 48*2 = 96 см2.

Для вычисления площади боковой поверхности необходимо знать периметр прямоугольного треугольника. Вычислим по теореме Пифагора его гипотенузу a3, имеем:

a3 = √(a12 + a22) = √(122 + 82) = 14,42 см.

Тогда периметр треугольника основания прямой призмы составит:

P = a1 + a2 + a3 = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 см.

Применяя формулу для Sb, которая была записана в предыдущем пункте, получаем:

Sb = h*P = 15*34,42 = 516,3 см.

Сложив площади S2o и Sb, мы получим полную площадь поверхности изучаемой геометрической фигуры:

S = S2o + Sb = 96 + 516,3 = 612,3 см2.

Прямая призма прямоугольный треугольник

Треугольная призма, которую изготавливают из специальных видов стекла, применяется в оптике при изучении спектров излучающих свет объектов. Такие призмы способны разлагать свет на составляющие частоты благодаря явлению дисперсии.

📹 Видео

Найдите объем треугольной призмыСкачать

Найдите объем треугольной призмы

Геометрия Основание прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12Скачать

Геометрия Основание прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12

Геометрия Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 смСкачать

Геометрия Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см

Геометрия Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90Скачать

Геометрия Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90

Геометрия В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребраСкачать

Геометрия В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра

Геометрия В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом 30Скачать

Геометрия В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом 30

Стереометрия 5 | mathus.ru | высота призмы с прямоугольным треугольником в основанииСкачать

Стереометрия 5 | mathus.ru | высота призмы с прямоугольным треугольником в основании

10 класс, 30 урок, ПризмаСкачать

10 класс, 30 урок, Призма

11 класс, 31 урок, Объем прямой призмыСкачать

11 класс, 31 урок, Объем прямой призмы

Геометрия Основание прямой призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом 15. НаибольшаяСкачать

Геометрия Основание прямой призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом 15. Наибольшая

ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ЕГЭ. ЗАДАНИЕ 5. СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ЕГЭ. ЗАДАНИЕ 5. СТЕРЕОМЕТРИЯ

Г: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 40 боковоеСкачать

Г: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 40 боковое
Поделиться или сохранить к себе: