Условие
1. Диагональ BD разделила прямоугольник ABCD на два треугольника. Найдите меньший угол между биссектрисами острых углов треугольника BCD.
2. Дана окружность, радиус которой равен 23. Градусная мера вписанного в эту окружность угла равна 30градусов. Найдите длину хорды, на которую опирается этот угол.
Спасибо за помощь заранее.
Решение
1)
Треугольник BCD — прямоугольный. Сумма острых углов равна 90 ° . Биссектриса каждого острого угла делит острый угол пополам.
Значит, сумма острых углов треугольника, образованного биссектрисами равна 45 °
Третий угол
180 ° -45 ° =135 °
2) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол АВС равен 30 °
Значит дуга АС равна 60 °
Центральный угол АОВ измеряется дугой АС
Тогда центральный угол АОВравен 60 °
Треугольник АОВ равносторонний
АО=ВО=АВ=R=23 длина хорды равна радиусу
Дана окружность радиус которой равен 23 градусная мера
Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса 
Применим теорему синусов к треугольнику ABC:
Приведём другое решение.
Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°, значит, 
По теореме косинусов:
Ошибка в последней строчке. Перед 6 не плюс, а минус.
В последней строчке все верно: 
.
Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 7x, тогда меньшая равна 5x.
Значит, меньшая дуга окружности равна 150°, а большая — 210°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 105°.
В условии сказано под меньшей дугой окружности, a в ответе дано под большей. Правильно?
Решение верно, по условию точка лежит на меньшей дуге.
Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Поэтому он равен 46.
Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол СAB равен 32°. Найдите угол AОB. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Поэтому величина меньшей дуги АВ окружности равна 64°. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, поэтому угол АОВ равен 64°.
Примечание об изменении задания.
Ранее это задание и аналогичные к нему в Открытом банке были формулированы иначе.
Задание.Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Значит, искомая величина дуги равна 64°.
#6. Длина хорды
Решим следующую задачу:
Дана окружность, радиус которой равен 23. Градусная мера вписанного в эту окружность угла равна 30 градусов. Найдите длину хорды, на которую опирается этот угол.
Попробуйте решить данную задачу самостоятельно. Данная задача очень интересная, и если знать подход к её решению, то она решится меньше чем за минуту!
Дам подсказки к решению данной задачи, после которой Вы её сможете решить:
- Вспомните как соотносятся градусная мера вписанного угла и дуги на которую он опирается
- Соедините центр окружности с концами хордой, которую необходимо найти
- Вспомните как соотносятся градусная мера центрального угла и дуги на которую он опирается
Теперь Вы можете сверить ответ с ответом в видео уроке: