О чем эта статья:
- Центральный угол и вписанный угол
- Свойства центральных и вписанных углов
- Примеры решения задач
- Углы, связанные с окружностью
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Угол четырёхугольника ABCD равен 37 градусов?
- Сумма двух углов четырёхугольника 210 градусов , два угла прямые по 90 градусов ?
- Четырёхугольник АВСD вписан в окружность?
- Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 82 градуса?
- Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?
- Четырёхугольник АВСD вписан в окружность?
- Площадь параллелограмма ABCD , вписанного в окружность , равен 48градусов ?
- Четырехугольник ABCD вписан в окружность?
- Четырёхугольник АBCD вписан в окружность угол ABC равен 136 , угол CAD равен 82?
- Угол а четырехугольника авсд вписанного в окружность равен 118 градусов, найдите угол с этого четырёхугольника ответ дайте в градусах?
- №1Угол А четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 118 градусов?
- 🔥 Видео
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать
Углы, связанные с окружностью
 Вписанные и центральные углы |
| Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
| Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
Видео:Задача 6 №27871 ЕГЭ по математике. Урок 112Скачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |  |
| Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
| Угол, образованный пересекающимися хордами |  |  | |
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга |  |  | |
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |  |  | |
| Угол, образованный касательной и секущей |  | | |
| Угол, образованный двумя касательными к окружности |  |  |
| Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
|
| Формула: |
| Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
| Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
| Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
|
| Формула: |
| Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
| Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
| Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
| Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать  Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.
Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать  Угол четырёхугольника ABCD равен 37 градусов?Геометрия | 5 — 9 классы Угол четырёхугольника ABCD равен 37 градусов. Этот четырёхугольник вписан в окружность. Найди угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол A четырёхугольника ABCD равен 37°. Этот четырёхугольник вписан в окружность. Найди угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ : 143°Объяснение : Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°. ∠С + ∠А = 180°∠С = 180° — ∠А = 180° — 37° = 143°.
Видео:ОГЭ по математике 2024. Задание 16. Разбор задач из нового сборника ЯщенкоСкачать  Сумма двух углов четырёхугольника 210 градусов , два угла прямые по 90 градусов ?Сумма двух углов четырёхугольника 210 градусов , два угла прямые по 90 градусов . Найдите меньший угол четырёхугольника . Ответ дайте в градусах (сумма всех углов 360).
Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать  Четырёхугольник АВСD вписан в окружность?Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВD равен 108° , угол САD равен 36° . Найдите угол ответ дайте в градусах.
Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать  Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 82 градуса?Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 82 градуса. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать  Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 градусов угол CAD равен 35 градусов найдите угол ABD ответ дайте в градусах.
Видео:8 класс. Углы в окружностиСкачать  Четырёхугольник АВСD вписан в окружность?Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 108 градусов, Угол САВ равен 36 градусов.
Видео:🔴 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать  Площадь параллелограмма ABCD , вписанного в окружность , равен 48градусов ?Площадь параллелограмма ABCD , вписанного в окружность , равен 48градусов . Найдите угол C этого четырёхугольника .
Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать  Четырехугольник ABCD вписан в окружность?Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 80 градусов угол CAD равен 34 градуса. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать  Четырёхугольник АBCD вписан в окружность угол ABC равен 136 , угол CAD равен 82?Четырёхугольник АBCD вписан в окружность угол ABC равен 136 , угол CAD равен 82. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Видео:ОГЭ МАТЕМАТИКА ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКСкачать  Угол а четырехугольника авсд вписанного в окружность равен 118 градусов, найдите угол с этого четырёхугольника ответ дайте в градусах?Угол а четырехугольника авсд вписанного в окружность равен 118 градусов, найдите угол с этого четырёхугольника ответ дайте в градусах.
Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать  №1Угол А четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 118 градусов?Угол А четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 118 градусов. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ : 62 градуса. Сторона АВ треугольника АВС равна √2, радиус описанной окружности равен 1. Ответ : 45 градусов. Найдите угол при основании вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в 80 градусов. Ответ : 70 градусов. На этой странице находится ответ на вопрос Угол четырёхугольника ABCD равен 37 градусов?, из категории Геометрия, соответствующий программе для 5 — 9 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать. 🔥 ВидеоВписанные углы | Задачи 31-37 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классыСкачать  |
