Прямая линия параллельная сама себе

В классической геометрии, почему линия считается параллельной самой себе?

Определение в классической геометрии (например, формулировка Биркгофа, но я полагаю, что это могло быть все они) состоит в том, что линия всегда считается параллельной самой себе. Я понимаю, что это, вероятно, для удобства, но, на мой взгляд, поскольку две отдельные строки параллельны, если у них нет общих точек, а линия имеет бесконечно много общих точек с самим собой. Возможно, идея состоит в том, чтобы облегчить определение того, что две (непараллельные) линии пересекаются в одной и только одной точке?

Q: What’s the purpose/what inconvenience would be caused if we didn’t have that definition?

Идея состоит в том, что вы хотите «параллельно» определять классы эквивалентности (называемые «карандаши», см. Coxeter, Проективная геометрия и Artin, Геометрическая алгебра )), которые требуют определяющее отношение как отношение эквивалентности: рефлексивное, симметричное и транзитивное. Тогда у этих классов есть несколько отличных применений, таких как определение проективного пространства, добавляя бесконечную точку для каждого пучка (который считается рассматриваемым на каждой из этих строк) и бесконечную линию для каждого класса параллельных плоскостей (эта строка, содержащая все точки на бесконечности, соответствующие пучкам линий в этом классе плоскостей).

Кроме того, вам уже предстояло переосмыслить определение «параллельное» как не имеющее общих точек, если вы собираетесь делать сплошную геометрию. Параллельные линии также должны быть копланарными . т. Е. Должны быть две другие линии, которые пересекаются друг с другом и каждая из них пересекает параллельные линии (пять различных точек пересечения). Линии, которые не являются копланарными, называются «перекосами», а не «параллельными».

Если две линии параллельны третьей строке, они должны быть параллельны друг другу, даже если они являются одной и той же строкой.

Содержание
  1. Прямая линия в начертательной геометрии с примерами
  2. Общее положение прямой
  3. Частные случаи положения прямой
  4. Определение истинной длины отрезка прямой
  5. Следы прямой линии
  6. Взаимное положение прямых линий
  7. Проекции отрезка прямой линии
  8. Задание и изображение на чертеже прямой общего положения
  9. Прямые уровня
  10. Проецирующие прямые
  11. Следы прямой линии
  12. Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций
  13. Деление отрезка прямой линии
  14. Взаимное расположение двух прямых
  15. Взаимное расположение точки и прямой
  16. Взаимно перпендикулярные прямые
  17. Проецирование отрезка прямой
  18. Положение прямой относительно плоскостей проекций
  19. Прямые уровня
  20. Проецирующие прямые
  21. Точка на прямой
  22. Следы прямой
  23. Взаимное положение прямых
  24. Проецирование прямого угла
  25. Что такое прямая линия
  26. Способы задания прямой
  27. Классификация прямых
  28. Прямые общего положения
  29. Прямые частного положения
  30. Линии уровня
  31. Проецирующие прямые
  32. Взаимное положение прямых линий
  33. Принадлежность точки прямой линии
  34. Определение натуральной величины отрезка. Способ треугольника
  35. Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций
  36. Понятие о следах прямой
  37. Взаимное положение двух прямых
  38. Скрещивающиеся прямые
  39. Задание прямой
  40. Прямая общего положения
  41. Прямые частного положения
  42. Принадлежность точки прямой. Деление отрезка прямой линии в данном отношении
  43. Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций
  44. Следы прямой линии
  45. Взаимное положение прямых
  46. Проекции плоских углов
  47. Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.
  48. 🎦 Видео

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Прямая линия проецируется в виде прямой линии. В общем случае прямая линия — безгранична. Положение прямой в пространстве обычно определяется заданием двух точек. Если спроецировать эти точки на плоскость и соединить найденные проекции точек, то полученная проекция отрезка определяет проекцию всей линии, так как отрезок может быть продолжен в любую сторону на требуемое расстояние.

Видео:Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Общее положение прямой

Прямой общего положения называется прямая, пересекающая все плоскоcти координат.

Пусть заданы две точки Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Соединяя соответствующие проекции точек прямыми линиями, получим проекции прямой, заданной отрезком Прямая линия параллельная сама себе

Известно, что две проекции прямой определяют её положение в пространстве. Оценив наглядность и измеримость полученного изображения, заметим:

  • — что форма проецируемого элемента — прямая линия, так как все проекции его прямые;
  • — размеры проекций отрезка не равны истинной длине отрезка, так как он наклонён ко всем плоскостям проекций;
  • — положение прямой относительно плоскостей координат может быть установлено по чертежу.

Отметим следующее важное обстоятельство: если точка лежит на прямой, то её проекции расположены на соответствующих проекциях прямой (точка С на Рис.2.1).

Известно, что две прямые, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части. Следовательно, отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков, т.е.

Прямая линия параллельная сама себе

Частные случаи положения прямой

К частным случаям положения прямой относят прямые: параллельные одной из плоскостей координат, перпендикулярные к одной из плоскостей координат, лежащие в плоскости координат, совпадающие с осью координат.

Прямая, параллельная какой — либо плоскости координат, проецируется на эту плоскость в истинную величину. Это очевидно, так как Прямая линия параллельная сама себе(Рис.2.2, а) и, следовательно, Прямая линия параллельная сама себе— как противоположные стороны прямоугольника.

Прямая линия параллельная сама себе

Для прямоугольных проекций прямой, параллельной плоскости Прямая линия параллельная сама себе(горизонтали) (см. Рис.2.2, б), характерно, что Прямая линия параллельная сама себеОтсюда следует: любая прямая, фронтальная проекция которой параллельна оси Прямая линия параллельная сама себе, параллельна плоскости Прямая линия параллельная сама себеГоризонтальная проекция горизонтали (ГПГ) -истинная длина отрезка.

Аналогично, любая прямая Прямая линия параллельная сама себегоризонтальная проекция Прямая линия параллельная сама себекоторой параллельна оси Прямая линия параллельная сама себе, параллельна плоскости Прямая линия параллельная сама себе(фронталь) (Рис.2.3, а, б). Фронтальная проекция фронтали (ФПФ) — истинная длина отрезка.

Прямым, параллельным плоскостям координат, принято давать общее название линий уровня.

Прямая, перпендикулярная к какой-либо плоскости координат (проецирующая прямая), параллельна оси координат, перпендикулярной к этой плоскости. Например, прямая Прямая линия параллельная сама себе, перпендикулярная к плоскости Прямая линия параллельная сама себепараллельна оси Прямая линия параллельная сама себеГоризонтальная проекция такой прямой (Рис.2.4, а, б) — точка. Фронтальная и профильная проекции прямой, перпендикулярной к плоскости Прямая линия параллельная сама себепараллельны оси Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

В общем случае, если прямая перпендикулярна к плоскости координат, то на эту плоскость она проецируется в виде точки, а на две другие плоскости — в истинную длину и параллельно той оси координат, которой параллельна сама прямая.

Прямая линия параллельная сама себе

Если прямая расположена в плоскости координат, то её проекция на эту плоскость совпадает с самой прямой, а две другие проекции совпадают с осями координат.

Если прямая совпадает с осью координат, то две её проекции совпадают с самой прямой, а на плоскость, перпендикулярную этой оси, прямая спроецируется точкой в начало координат.

Определение истинной длины отрезка прямой

Пусть отрезок прямой Прямая линия параллельная сама себезадан горизонтальной проекцией Прямая линия параллельная сама себе(Рис.2.5, а). Фигура Прямая линия параллельная сама себев натуре — прямоугольная трапеция, у которой углы Прямая линия параллельная сама себе— прямые, а отрезки Прямая линия параллельная сама себесоответственно расстояния от точек Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себедо плоскости Прямая линия параллельная сама себеЭти отрезки численно равны координатам Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себеточек. Отсюда следует, что для определения истинной длины отрезка по его проекции нужно построить на этой проекции прямоугольную трапецию с параллельными сторонами, соответственно равными расстояниям от точек отрезка до плоскости. Такой способ определения длины отрезка называют способом трапеции.

Прямая линия параллельная сама себе

Рассмотрим пример определения истинной длины отрезка, расположенного в первом октанте. Пусть имеются проекции Прямая линия параллельная сама себе(см. Рис.2.5,б).

Определим его истинную длину по фронтальной проекции. Для этого в точках Прямая линия параллельная сама себевосстановим перпендикуляры к проекции Прямая линия параллельная сама себеи отложим на них отрезки Прямая линия параллельная сама себе, соответственно равные расстояниям от точек Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себедо плоскости Прямая линия параллельная сама себет.е. координаты Прямая линия параллельная сама себе(недостающие координаты точек). Итак Прямая линия параллельная сама себе

Соединяя точки Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себепрямой, находим Прямая линия параллельная сама себе— истинную длину отрезка Прямая линия параллельная сама себе

Аналогичное построение можно выполнить на горизонтальной проекции отрезка. В этом случае Прямая линия параллельная сама себе Прямая линия параллельная сама себеСоответственно, Прямая линия параллельная сама себе— истинная длина отрезка Прямая линия параллельная сама себе

Построение можно упростить. Если отложить на перпендикуляре, восстановленном из точки Прямая линия параллельная сама себе, отрезок Прямая линия параллельная сама себеи соединить точки Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себе Прямая линия параллельная сама себепрямой. Аналогично найдём Прямая линия параллельная сама себеТакой приём определения истинной длины отрезка называется способом треугольника.

Отметим, что в способе треугольника одновременно с истинной длиной отрезка определяется угол наклона прямой к соответствующей плоскости координат:

Прямая линия параллельная сама себеугол наклона прямой к плоскости Прямая линия параллельная сама себе Прямая линия параллельная сама себе— угол наклона прямой к плоскости Прямая линия параллельная сама себе

Рассмотрим пример определения истинной длины отрезка для случая, когда координаты концевых точек имеют разные знаки. Пусть, например, точка Прямая линия параллельная сама себе(Рис. 2.6, а) расположена над плоскостью Прямая линия параллельная сама себеа точка Прямая линия параллельная сама себе— под плоскостью Прямая линия параллельная сама себе.

Прямая линия параллельная сама себе

Особенностью построения в данном случае является необходимость учёта знаков недостающих координат точек, т.е. значения этих координат откладываются на перпендикулярах, восстановленных к концам проекции отрезка, в произвольные, но разные стороны (см. Рис.2.6, б). В нашем примере Прямая линия параллельная сама себе

При построении способом треугольника на перпендикуляре, восстановленном из точки Прямая линия параллельная сама себеоткладывается отрезок Прямая линия параллельная сама себе, равный алгебраической разности недостающих координат: Прямая линия параллельная сама себеОпределение истинной длины отрезка по его вертикальной проекции аналогично рассмотренному ранее примеру.

Следы прямой линии

Следом прямой линии ни данной плоскости координат называется точка пересечения (встречи) прямой с упомянутой плоскостью.

Точка пересечения прямой с плоскостью Прямая линия параллельная сама себеназывается горизонтальным следом, с плоскостью Прямая линия параллельная сама себе— фронтальным (вертикальным) следом и с плоскостью Прямая линия параллельная сама себе— профильным следом прямой. Следы прямой обозначаются буквами, соответственно Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себе

Изобразим в косоугольных проекциях (Рис.2.7) произвольный отрезок Прямая линия параллельная сама себепрямой общего положения и вторичные проекции этого отрезка. Построение проекций следов начнём с горизонтального следа. Согласно определению, искомая точка принадлежит прямой и, кроме того, расположена в плоскости Прямая линия параллельная сама себе. Если точка принадлежит прямой, то её проекции лежат на соответствующих проекциях прямой. Но, с другой стороны, точка лежит в плоскости координат и, следовательно, её проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой. Таким образом, искомое изображение горизонтального следа прямой должно быть расположено в точке пересечения изображения прямой и её горизонтальной проекции. Продолжая отрезки Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себеотметим точку их пересечения Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Изображение горизонтальной проекции Прямая линия параллельная сама себеследа совпадает с изображением точки Прямая линия параллельная сама себе. Изображение фронтальной проекции Прямая линия параллельная сама себегоризонтального следа найдём на оси Прямая линия параллельная сама себе, проведя через точку Прямая линия параллельная сама себепрямую, параллельную оси Прямая линия параллельная сама себе. Изображение профильной проекции Прямая линия параллельная сама себегоризонтального следа получим в точке пересечения с осью Прямая линия параллельная сама себепрямой, проведённой через точку Прямая линия параллельная сама себепараллельно оси .

Точка Прямая линия параллельная сама себепринадлежит также прямой Прямая линия параллельная сама себеи её проекции должны находиться на соответствующих проекциях прямой. Следовательно, изображения фронтальной и профильной проекций горизонтального следа должны лежать на продолжении отрезков Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себе(в точках пересечения Прямая линия параллельная сама себес осью Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себес осью Прямая линия параллельная сама себе).

Построение проекций фронтального Прямая линия параллельная сама себеи профильного Прямая линия параллельная сама себеследов прямой осуществляется в той же последовательности.

Местоположение следов прямой Прямая линия параллельная сама себеи их проекций на плоскостях координат представлено в таблице:

Прямая линия параллельная сама себе

Рассмотрим построение прямоугольных проекций следов прямой общего положения, заданной проекциями отрезка Прямая линия параллельная сама себе(Рис.2.8). Построение начнём с нахождения проекций горизонтального следа прямой.

Для этого следует найти сначала фронтальную или профильную проекции этого следа. Фронтальную проекцию Прямая линия параллельная сама себеполучим в точке пересечения фронтальной проекции прямой с осью Прямая линия параллельная сама себе. Горизонтальную проекцию Прямая линия параллельная сама себенайдём в точке пересечения горизонтальной проекции прямой (продолжение отрезка Прямая линия параллельная сама себе) с перпендикуляром, восстановленным из точки Прямая линия параллельная сама себек оси Прямая линия параллельная сама себе. Профильная проекция Прямая линия параллельная сама себегоризонтального следа может быть получена в точке пересечения профильной проекции Прямая линия параллельная сама себепрямой с осью Прямая линия параллельная сама себеили как третья проекция точки Прямая линия параллельная сама себепо двум проекциям Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себе. Отметим, что профильная проекция горизонтального следа должна находиться на горизонтальной оси Прямая линия параллельная сама себе.

Прямая линия параллельная сама себе

Горизонтальную проекцию Прямая линия параллельная сама себефронтального следа прямой найдём, продолжив горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью Прямая линия параллельная сама себеФронтальную проекцию Прямая линия параллельная сама себеэтого следа получим в точке пересечения перпендикуляра к оси Прямая линия параллельная сама себе, восстановленного из точки Прямая линия параллельная сама себе, с продолжением фронтальной проекции прямой. Профильную проекцию Прямая линия параллельная сама себефронтального следа найдём, опустив перпендикуляр из точки Прямая линия параллельная сама себена ось Прямая линия параллельная сама себеТочка Прямая линия параллельная сама себебудет также в точке пересечения профильной проекции прямой с осью Прямая линия параллельная сама себе

Аналогичным построением найдём проекции профильного следа.

В заключение данного раздела отметим следующее:

  • — прямая, параллельная одной из плоскостей координат, имеет лишь два следа;
  • — прямая, перпендикулярная к плоскости координат, имеет лишь один след;
  • — два следа прямой совпадают в одной точке, если прямая пересекает ось координат;
  • — три следа прямой совпадают, если прямая проходит через начало координат.

Взаимное положение прямых линий

Возможны три случая относительного положения прямых линий. Прямые могут быть взаимно параллельны, могут пересекаться друг с другом или скрещиваться.

Если прямые параллельны, то их соответствующие проекции тоже параллельны.

Пусть даны косоугольные проекции двух взаимно параллельных прямых Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себе(см. Рис.2.9, а).

Прямая линия параллельная сама себе

Чтобы через данную точку провести прямую, параллельную заданной, нужно через проекции этой точки провести прямые, параллельные соответствующим проекциям заданной прямой.

У пересекающихся прямых соответствующие проекции пересекаются и проекции точки пересечения связаны перпендикуляром к соответствующей оси координат. Пусть даны две пересекающиеся в точке Прямая линия параллельная сама себепрямые Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себе(см. Рис.2.10).

Точка Прямая линия параллельная сама себепринадлежит обеим прямым. Следовательно, проекции этой точки должны лежать на проекциях обеих прямых, т.е. в точках Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себепересечения соответствующих проекций.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки. Их проекции могут пересекаться, но точки пересечения не находятся в проекционной связи друг с другом, т. е. не лежат на перпендикуляре к соответствующей оси координат.

Изобразим прямоугольные проекции Рис.2.11) двух скрещивающихся прямых Прямая линия параллельная сама себеи Прямая линия параллельная сама себе. В точку пересечения их горизонтальных проекций проецируются две точки: точка 1, принадлежащая прямой Прямая линия параллельная сама себе, и точка 2, принадлежащая прямой Прямая линия параллельная сама себе. Эти точки называются конкурирующими. С их помощью определяется взаимное положение прямых относительно плоскостей проекций (видимость проекций геометрических элементов). Так, в нашем случае, приведённом на Рис.2.11, луч, проецирующий прямые на плоскость Прямая линия параллельная сама себевстретит раньше точку 1. Следовательно, эта часть прямой Прямая линия параллельная сама себерасположена выше прямой Прямая линия параллельная сама себе. Аналогично определим, что левая часть прямой Прямая линия параллельная сама себерасположена дальше от плоскости Прямая линия параллельная сама себевместе с принадлежащей ей точкой 3, чем прямая Прямая линия параллельная сама себе. В общем случае при определении видимости прямоугольных проекций на плоскости Прямая линия параллельная сама себенаправление проецирующего луча принимают заданным сверху вниз, на плоскости Прямая линия параллельная сама себе— снизу вверх и на плоскости Прямая линия параллельная сама себе— слева направо.

Прямая линия параллельная сама себе

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому, чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения.

На рис. 2.1 дано пространственное изображение и чертеж прямой АВ. Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей пространства, т е. прямая АВ не параллельна не одной из них. Значит, прямая АВ общего положения.

Задание и изображение на чертеже прямой общего положения

Прямая линия в пространстве определяется положением двух ее точек, например А и В. Значит, достаточно выполнить комплексный чертеж этих точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями, получим соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой.

Прямая общего положения называется прямая не параллельная ни одной из плоскостей проекций. Прямая, параллельная или перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения.

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.1 — Прямая общего положения

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения. Прямая, параллельная какой-либо одной плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня:

  1. горизонтальная — прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций Н;
  2. фронтальная — прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций V;
  3. профильная — прямая, параллельная профильной плоскости проекций W.

Прямые уровня

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня.

Название зависит от того, какой плоскости она параллельна.

Различают: горизонтальную прямую уровня (горизонталь) h, фронтальную прямую уровня (фронталь) f, профильную прямую уровня (профиль) р.

Все точки прямых уровня имеют равные или высоты (горизонталь), или глубины (фронталь), или широты (профиль). Поэтому соответствующие проекции прямых параллельны проекциям определенных осей координат.

Прямая линия параллельная сама себеРисунок 2.2 — Прямые уровня; а- горизонталь, б- фронталь, в- профиль Примечание: н.в. — натуральная величина прямой

Проецирующие прямые

Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекции, называется проецирующей.

Различают: горизонтально проецирующую (АВ), фронтально проецирующую (CD) и профильно проецирующую (EF) (рис. 8).

У проецирующей прямой одна проекция вырождается в точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают с направлением линии связи.

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.3 — Проецирующие прямые; АВ- горизонтально проецирующая CD — фронтально-проецирующая, EF-профильно-проецирующая

Следы прямой линии

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекции называют следами. В системе трех плоскостей проекции прямая общего положения имеет три следа — горизонтальный, профильный и фронтальный и профильный; прямая, параллельная одной из плоскостей проекции — два, и прямая, перпендикулярная к плоскости проекции — один след.

Что бы найти горизонтальный след, надо продлить фронтальную проекцию а»в» (рис. 2.4) до пересечения с осью Х (точка М») и из этой точки восстановить перпендикуляр к оси X (линию связи) до пересечения с продолжением горизонтальной проекции a’b’.

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.4 — Следы прямой линии

Точка м’— горизонтальная проекция горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Для нахождения фронтального следа необходимо продолжить горизонтальную проекцию а’ в’ до пересечения с осью X (точка n’) и через точку n’, которая является горизонтальной проекцией фронтального следа, провести перпендикуляр к оси X до пересечения с продолжением фронтальной проекцией а»в». Точка — фронтальная проекция фронтального следа, которая совпадает с фронтальным следом N.

Отметим, что прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, если она параллельна этой плоскости.

Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций

Возьмем отрезок АВ (рис. 2.5) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекций Н. В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник A’BB’, в котором одним катетом является горизонтальная проекция этого отрезка, вторым катетом разность высот точек А и В отрезка, а гипотенузой является сам отрезок.

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.5 — Определение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника

На чертеже прямоугольный треугольник построен на горизонтальной проекции отрезка АВ, второй катет треугольника Прямая линия параллельная сама себеравен разности высот точек АВ, замеренную на плоскости V, гипотенуза его и будет натуральной величиной отрезка АВ. Угол между горизонтальной проекцией А’В’ и гипотенузой Прямая линия параллельная сама себетреугольника Прямая линия параллельная сама себеэто угол наклона данного отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка, только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов, замеренную на плоскости Н.

Деление отрезка прямой линии

Иногда требуется разделить отрезок в данном отношении. Из свойств параллельного проецирования известно, что отношение отрезков одной и той же прямой равно отношению проекций эти отрезков.

Чтобы разделить отрезок прямой в заданном отношении, необходимо разделить в этом отношении одну из проекций этого отрезка, а затем с помощью линий связи перенести делящую точку на другие проекции.

На рис. 2.6 дан пример деления отрезка прямой линии АВ в отношение 2 : 3.

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.6 — Деление отрезка прямой линии

Из точки А’ проведен вспомогательный отрезок прямой, на котором отложено пять одинаковых частей произвольной длинны. Проведя отрезок В’5 и параллельно ему точку 2 прямую, получим точку С’ причем А’К’ : КБ’ = 2 : 3; затем линии связи находим точку С». Точка С делит отрезок АВ в отношении 2 : 3.

Взаимное расположение двух прямых

  1. Пересекающиеся прямые. В этом случае прямые а и b имеют одну общую точку, проекции которой А’ и А» расположены на одной линии связи (рис 2.7).
  2. Параллельные прямые. По свойству параллельного проецирования проекции параллельных прямых на любую плоскость параллельны, т.е. если Прямая линия параллельная сама себе.
  3. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи: две точки А и Вгоризонтально конкурирующие точки, две точки С и Dфронтально конкурирующие. Как видно из чертежа, точка А расположена над точкой В; следовательно, прямая а проходит над прямой b. Точка С расположена перед (ближе к зрителю) точкой D, следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой а.

Правило определения видимости на комплексном чертеже:

из двух горизонтально конкурирующих точек на поле Н видна та точка, которая расположена выше, а из двух фронтально конкурирующих точек на поле V видна та точка, которая расположена ближе (по отношению к наблюдателю).

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.7 — Расположение двух прямых; а — пересекающиеся, б — параллельные, в — скрещивающиеся

Взаимное расположение точки и прямой

Из свойств параллельного проецирования (свойство принадлежности) известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой.

Поэтому, из четырех точек А, В, С и D, приведенных на чертеже (рис. 2.8), лишь одна точка А лежит на прямой. Точка В находится над прямой, так как она расположена выше, чем горизонтально конкурирующая с ней точка прямой а (фронтальная проекция этой точки прямой а отмечена крестиком). Аналогично, точка С находится перед прямой а, точка D расположена ниже и дальше точки прямой а.

Определение взаимного положения точки и профильной прямой выполняется с помощью построения профильной проекции. На рис. 2.8 точка С расположена над и перед прямой АВ.

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.8 — Расположение точки и прямой

Взаимно перпендикулярные прямые

Для того, чтобы прямой угол проецировался без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна, а другая не перпендикулярна к плоскости проекций.

Пусть сторона АВ прямого угла ABC параллельна плоскости Н. Требуется доказать, что проекция его: угол А’В’С’ равен 90.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости, так как АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ’, проходящих через точку В. Прямая АВ и ее прекция А’В’ две параллельные прямые, поэтому А’В’ также перпендикулярна плоскости. Следовательно, А’В’ перпендикулярна В’С’.

Две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 2.9) (пересекающиеся или скрещивающиеся) тогда сохраняют свою перпендикулярность в горизонтальной проекции, если одна из этих прямых является горизонталью.

Две взаимно перпендикулярные прямые сохраняют свою перпендикулярность во фронтальной проекции, если одна из них является фронталыю.

Прямая линия параллельная сама себе

Рисунок 2.9 — Две взаимно перпендикулярные прямые (проецирование прямого угла)

Видео:Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

Проецирование отрезка прямой

Для этого необходимо и достаточно спроецировать две конечные точки отрезка.
Прямая линия параллельная сама себе

Положение прямой относительно плоскостей проекций

Прямая общего положения — прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая частного положения — прямая, параллельная или перпендикулярная плоскости проекций.

Положение прямой относительно плоскостей проекций
Прямая общего положения — прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая частного положения — прямая, параллельная или перпендикулярная плоскости проекций.

Прямые уровня

Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в натуральную величину. Они находятся на одном уровне от соответствующей плоскости.

Горизонтальная прямая — прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Профильная и фронтальные проекции // со ответственно осям X и У

Прямая линия параллельная сама себе— натуральная величина (НВ) отрезка АВ

Фронтальная прямая — прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций

Прямая линия параллельная сама себе

Фронтальная прямая — прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себе

Профильная прямая — прямая, параллельная профильной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себеПрямая линия параллельная сама себе

Проецирующие прямые

Это прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в точку. Они совпадают с направлением проецирования.

Проецирующие прямые одновременно параллельны двум другим плоскостям проекций.

Горизонтально-проецирующая прямая — это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Фронтально-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Профильно-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Точка на прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостями называется следом прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

Чтобы построить горизонтальный след прямой необходимо:

  1. Продолжить фронтальную проекцию Прямая линия параллельная сама себедо пересечения с осью X в точке Прямая линия параллельная сама себе
  2. Провести через эту точку линию связи на Прямая линия параллельная сама себе
  3. Продолжить горизонтальную проекцию Прямая линия параллельная сама себедо пересечения с этой линией связи в точке Прямая линия параллельная сама себе

Для построения фронтального следа надо продолжить горизонтальную проекцию Прямая линия параллельная сама себедо пересечения с осью X. Из полученной точки Прямая линия параллельная сама себепровести линию связи на Прямая линия параллельная сама себедо пересечения с продолжением Прямая линия параллельная сама себе— фронтальный след прямой АВ.

  • М — горизонтальный след прямой Прямая линия параллельная сама себе
  • N — фронтальный след прямой Прямая линия параллельная сама себе

Дан отрезок общего положения. Найти горизонтальный и фронтальный следы.

Прямая линия параллельная сама себе

Взаимное положение прямых

1 .Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. ( Если одноименные проекции прямых общего положения параллельны на двух плоскостях проекций, то эти прямые параллельны).

Прямая линия параллельная сама себе

2. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а точка их пересечения лежит на одной линии связи.

Справедливо и обратное, кроме профильных прямых.
Прямая линия параллельная сама себе

3. Если прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися.
Прямая линия параллельная сама себе

Проецирование прямого угла

Прямой угол проецируется прямым, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций, т.е. является фронтальной или горизонтальной прямой. (Прямой угол проецируется прямым па ту плоскость проекции, кото рои параллельна одна из его сторон, т. е. является фронтальной или горизонтальной прямой).
Прямая линия параллельная сама себе

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника

Натуральная величина отрезка АВ определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов является проекция отрезка, а вторым — разница расстояний концов другой проекции до оси X Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Угол между прямой линией и плоскостью проекций определяется как угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Прямая линия параллельная сама себе

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Что такое прямая линия

Прямая линия в системе плоскостей проекций занимает определенное положение. Прямая может располагаться относительно плоскостей проекций произвольно или занимать некоторое частное положение — быть параллельной, перпендикулярной или принадлежать какой-либо плоскости проекций.

Способы задания прямой

  • Двумя точками.
  • Точкой и направлением.
  • Линией пересечения двух плоскостей.
  • Своими проекциями.

Классификация прямых

В зависимости от положения прямых относительно плоскостей проекций различают прямые общего положения и прямые частного положения.

Прямые общего положения

Прямая общего положения — прямая, наклоненная под произвольными углами ко всем трем плоскостям проекций (рис. 4.1, 4.2).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.1. Прямая общего положения:
a(AB) — прямая общего положения;
a1(A1B1) — горизонтальная проекция прямой a(AB);
a2(A2B2) — фронтальная проекция прямой a(AB)

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.2. Комплексный чертеж прямой общего положения:
а — двухкартинный комплексный чертеж; б — безосный комплексный чертеж

Прямые частного положения

Среди прямых частного положения различают линии уровня и проецирующие прямые.

Линии уровня

Прямые линии, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются линиями уровня.

Горизонталь h — прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций h || П1 (рис. 4.3).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.3. Горизонталь:

a – наглядное изображение; б – комплексный чертеж

Поскольку высоты всех точек горизонтали равны между собой: h2Прямая линия параллельная сама себеA1A 2 илиh2|| П1.

Любой отрезок горизонтали проецируется на П1 в натуральную величину:
[A1B1 ] = [AB ].

Угол наклона h к Π2 также проецируется на П1 в натуральную величину:
Прямая линия параллельная сама себе

Фронталь Прямая линия параллельная сама себе— прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себе|| П2 (рис. 4.4).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.4. Фронталь:
a — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Поскольку глубина всех точек фронтали одинакова:Прямая линия параллельная сама себе1Прямая линия параллельная сама себеC1C2

Отрезки фронтали и угол наклона к П1 проецируются на П1 в натуральную величину:[C2D2] =[CD]; Zβ1=Zβ=Прямая линия параллельная сама себе, П1.

Профильная прямая р — прямая, параллельная профильной плоскости проекций p|| П3 (рис. 4.5).

Прямая линия параллельная сама себе

Поскольку широта всех точек профильной прямой одинакова: р2 Прямая линия параллельная сама себеE2E1.
Отрезки профильной прямой и углы наклона к П1 и П2 проецируются на П3 в натуральную величину: [E3F3] =[EF];Прямая линия параллельная сама себе.

Проецирующие прямые

Прямая линия, перпендикулярная одной из плоскостей проекций или параллельная направлению проецирования, называется проецирующей.

Горизонтально-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций a 1 Прямая линия параллельная сама себеП1(рис. 4.6).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.6. Горизонтально-проецирующая прямая:
a — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Фронтально-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций b Прямая линия параллельная сама себеП2(рис. 4.7).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.7. Фронтально-проецирующая прямая:
a — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Профильно-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций c Прямая линия параллельная сама себеП3(рис. 4.8).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.8. Профильно-проецирующая прямая:
a — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Взаимное положение прямых линий

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Если прямые параллельны (рис. 4.9), то их одноименные проекции параллельны: a || b Прямая линия параллельная сама себе1|| b1) и (a2|| b2).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.9. Параллельные прямые a и b:
a — наглядное изображение; б — комплексный чертеж

Пересекающиеся прямые имеют общую точку (рис. 4.10), то есть точки пересечения их одноименных проекций лежат на общей линии связи:
c × d = K Прямая линия параллельная сама себеc1 × d1 = K1 ;
c 2 × d2 = K2 и K 1 K 2 Прямая линия параллельная сама себех12.

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.10. Пересекающиеся прямые c иd:
a — наглядное изображение; б — комплексный чертеж

Прямые, не имеющие общей точки и не параллельные между собой, являются скрещивающимися (рис. 4.11, 4.12).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.11. Скрещивающиеся прямые m и n

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.12. Проекции скрещивающихся прямых:
a — скрещивающиеся прямые m иn;
б — скрещивающиеся прямые l u j

Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях.

Принадлежность точки прямой линии

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат соответствующим (одноименным) проекциям прямой (рис. 4.13).

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.13. Принадлежность точки прямой линии:
K ∈ a Прямая линия параллельная сама себеK 1 ∈ a1 и K2 ∈ a2;
[K1K2 ]Прямая линия параллельная сама себех12

Определение натуральной величины отрезка. Способ треугольника

Отрезок [AB] — отрезок прямой общего положения. Ни одна из проекций отрезка не равна его натуральной величине.

На рис. 4.14 A1ABB1 — прямоугольная трапеция, наклонной стороной которой является отрезок [AB], высотой — его горизонтальная проекция [A1B1], основаниями — горизонтально-проецирующие прямые (AA1) и (BB1).

Если провести прямую (AB 0 ) || (A1B1), то от трапеции A1ABB1 отсекается прямоугольный треугольник ABB 0 с гипотенузой [AB], один катет которого [AB 0 ] = [A1B1 ], другой — [BB 0 ] равен разности высот точек A и B.
Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.14. Определение натуральной величины отрезка способом треугольника

На комплексном чертеже (рис. 4.15,а) прямоугольный треугольник строится непосредственно при горизонтальной проекции отрезка: ΔA1B1B’ = ΔABB 0 . Одним катетом прямоугольного треугольника является горизонтальная проекция [A1B1 ], вторым — разность высот точек A и B (отрезок [BB 0 ] = [B1B’]), гипотенуза [ A1B’] и будет равна натуральной величине отрезка [AB ].

Прямая линия параллельная сама себе

Рис. 4.15. Определение натуральной величины отрезка:
а — на горизонтальной проекции;
б — на фронтальной проекции

Аналогичные построения возможны и на фронтальной проекции (рис. 4.15,б), тогда одним катетом прямоугольного треугольника является фронтальная проекция[A2B2], а вторым — разность глубин точек A и B (отрезок [A2A’]=[A1A0]), гипотенуза [ B2A’]будет равна натуральной величине отрезка [AB ].

Таким образом, можно сформулировать общее правило:

Натуральная величина отрезка прямой определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а вторым — разность расстояний концов другой проекции отрезка относительно друг друга.

Видео:Прямая параллельная плоскостиСкачать

Прямая параллельная плоскости

Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций

Относительно плоскостей проекций H, V и W прямые линии могут занимать различные положения и имеют соответствующие наименования, а на чертежах проекции этих прямых занимают относительно осей проекций x, y и z характерные положения. Следовательно, по чертежу прямой линии можно мысленно представить ее пространственное положение относительно плоскостей проекций, т. е. научиться «читать» чертеж прямой.

Прямые общего положения – не параллельны (и соответственно не перпендикулярны) плоскостям проекций H, V и W. Следовательно, на чертеже проекции прямых общего положения не параллельны (и не перпендикулярны) осям проекций x, y и z. Отсюда проекции прямых общего положения искажают их натуральную величину.

На рис. 2.1 изображены проекции прямой общего положения АВ, фронтальная A»B» и горизонтальная A’B’ проекции которой расположены произвольно относительно оси проекций x, но не параллельны и не перпендикулярны оси x – это характерный признак прямой общего положения на чертеже! Профильная проекция A»‘B»‘ прямой общего положения также должна быть не параллельна и не перпендикулярна осям проекций z и y, что и показывает построение.

Прямая линия параллельная сама себе

Точка на прямой. Теорема о принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то на чертеже одноименные проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой.

На рис. 1.4 показано построение проекций точки С, принадлежащей прямой АВ.

Прямые особого (частного) положения

Прямые уровня – прямые, параллельные одной плоскости проекций:

  • – фронтальные прямые – параллельные плоскости проекций V;
  • – горизонтальные прямые – параллельные плоскости проекций H;
  • – профильные прямые – параллельные плоскости проекций W.

На рис. 2.2 изображены проекции фронтальной прямой АВ и принадлежащей ей точки С. Запомните характерные признаки расположения проекций фронтальной прямой на чертеже:

  • – горизонтальная проекция A’B’ параллельна оси проекций x;
  • – фронтальная проекция A»B» расположена к оси проекций x под углом φH, который определяет ее наклон к плоскости проекций H; фронтальная проекция A»B» определяет также натуральную величину этой прямой;
  • – профильная проекция A»‘B»‘ по построению располагается параллельно оси проекций z.

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.3 изображены проекции горизонтальной прямой CD и принадлежащей ей точки Е. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтальной прямой на чертеже:

  • – фронтальная проекция C»D» параллельна оси проекций x;
  • – горизонтальная проекция C’D’ расположена к оси проекций x под углом φV, который определяет ее наклон к плоскости проекций V; горизонтальная проекция C’D’ определяет также натуральную величину этой прямой;
  • – профильная проекция C»‘D»‘ по построению располагается горизонтально (//y).

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.4 изображены проекции профильной прямой EF и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки расположения проекций профильной прямой на чертеже:

  • – фронтальная проекция E»F» перпендикулярна оси проекций x (параллельна оси проекций z);
  • – горизонтальная проекция E’F’ перпендикулярна оси проекций x;
  • – профильная проекция E»‘F»‘ по построению расположена под углом φV к плоскости проекций V и под углом φH к плоскости проекций H; профильная проекция E'»F'» определяет также натуральную величину этой прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

Деление отрезка в заданном отношении

На рис. 2.4 показано построение горизонтальной проекции N’ точки N, принадлежащей профильной прямой EF. Построение основано на одном из свойств параллельного проецирования: отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций.

Пусть точка N делит отрезок EF в каком-то отношении. Следовательно, проекции отрезка делятся в том же отношении. Если, например, дана фронтальная проекция N» точки N, принадлежащей отрезку EF, то для построения горизонтальной проекции N’ на горизонтальной проекции E’F’ отрезка нужно выполнить следующие графические действия:

  • – провести произвольную прямую m из любой вершины горизонтальной проекции E’F’;
  • – отложить на этой прямой два отрезка: отрезок E’Fo, равный по величине фронтальной проекции E»F», и отрезок E’No, равный по величине E»N»;
  • – соединить прямой точки Fo и F’ на горизонтальной проекции;
  • – из построенной точки No провести прямую, параллельную прямой FoF’, – точка N’ и будет искомой.

Прямые проецирующие – перпендикулярные одной плоскости проекций (параллельные двум плоскостям проекций):

  • фронтально-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости проекций V (параллельные плоскостям проекций H и W);
  • горизонтально-проецирующие – перпендикулярные плоскости проекций H (параллельные плоскостям проекций V и W);
  • профильно-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости проекций W (параллельные плоскостям проекций H и V).

. Поскольку положение проецирующих прямых совпадает по направлению с проецирующим лучом к одной из плоскостей проекций, то одна из проекций прямых проецируется (вырождается) в точку. Говорят, что проецирующие прямые обладают «собирательным» свойством, так как их вырожденные проекции-точки «собирают», то есть представляют собой проекции всех точек, лежащих на этих прямых.

На рис. 2.5 изображены проекции фронтально-проецирующей прямой CD и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки расположения проекций фронтально-проецирующей прямой на чертеже:

  • – фронтальная проекция CD(C»D») представляет собой точку, т. е. фронтальные проекции точек C, D и N совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций V;
  • – горизонтальная проекция C’D’ расположена перпендикулярно оси проекций x и определяет натуральную величину прямой;
  • – профильная проекция C»‘D»‘ по построению располагается перпендикулярно оси проекций z и также определяет натуральную величину прямой.

. Конкурирующие точки – точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.

На рис. 2.5 точки C, D и N на прямой CD являются конкурирующими и по их расположению на прямой относительно плоскости V (по координатам y) можно определить на горизонтальной проекции порядок их «видимости»: ближе к наблюдателю и дальше от плоскости V (с наибольшей координатой y) находится точка D, затем точка N и точка C.

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.6 изображены проекции горизонтально-проецирующей прямой AB и принадлежащей ей точки C. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтально-проецирующей прямой на чертеже:

– горизонтальная проекция AB(A’B’) представляет собой точку, т. е. горизонтальные проекции точек A, B и C совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций H;

– фронтальная проекция A»B» расположена перпендикулярно оси x и определяет натуральную величину прямой;

– профильная проекция A»‘B»‘ по построению располагается параллельно оси z и также определяет натуральную величину прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.7 изображены проекции профильно-проецирующей прямой EF и принадлежащей ей точки M. Запомните характерные признаки расположения проекций профильно-проецирующей прямой на чертеже:

  • – профильная проекция EF(E»‘F»‘) представляет собой точку, т. е. профильные проекции точек E, F и M совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций W;
  • – фронтальная проекция E»F» расположена параллельно оси x и определяет натуральную величину прямой;
  • – горизонтальная проекция E’F’ по построению также располагается параллельно оси x и также определяет натуральную величину прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

Определение по чертежу натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника и углов ее наклона к плоскостям проекций H и V.

Натуральной величиной заданного на чертеже отрезка прямой общего положения является гипотенуза построенного прямоугольного треугольника, одним катетом которого может быть горизонтальная (или фронтальная) проекция отрезка, а вторым катетом этого треугольника будет разница координат ∆z (или ∆y) конечных точек этого отрезка относительно оси проекций x.

На рис. 2.8 показано построение натуральной величины заданного отрезка AB способом прямоугольного треугольника относительно фронтальной и горизонтальной его проекций, для чего выполнен следующий графический алгоритм (графические действия):

  • 1-е действие. Провести перпендикулярную линию m к фронтальной проекции AB(A»B») отрезка.
  • 2-е действие. На этой прямой линии отложить отрезок A»Ao, равный разнице координат ∆y конечных точек А(А’) и В(B’) отрезка относительно оси проекций x.
  • 3-е действие. Достроить гипотенузу AоB» треугольника, которая определяет искомую натуральную величину отрезка АВ.

Прямая линия параллельная сама себе

Аналогичные построения выполнены относительно горизонтальной проекции отрезка A’B’ – гипотенуза А’Bо также определяет натуральную величину заданного отрезка.

В построенных прямоугольных треугольниках углы между проекциями отрезка и гипотенузой определяют углы наклона прямой к плоскостям проекций H и V:

  • – угол φV между фронтальной проекцией A»B» отрезка и гипотенузой AoB» определяет наклон отрезка к плоскости проекций V;
  • – угол φH между горизонтальной проекцией A’B’ отрезка и гипотенузой A’Bо определяет наклон отрезка к плоскости проекций H.

. В задачах по начертательной геометрии часто требуется построить на прямой общего положения, не имеющей второй конечной точки, проекции отрезка какой-либо заданной величины.

На рис. 2.9 показано построение на прямой n с одной конечной точкой A проекций отрезка AB заданной величины 25 мм, для чего выполнен следующий графический алгоритм (графические действия):

  • 1-е действие. Ограничить прямую n произвольным отрезком АК(А’K’, A»K»).
  • 2-е действие. Построить натуральную величину произвольного отрезка АК способом прямоугольного треугольника относительно, например, фронтальной проекции A»K» – это гипотенуза – A»Kо (см. рис. 2.9).
  • 3-е действие. На построенной натуральной величине A»Ko (гипотенузе) от точки A» отложить отрезок равный 25 мм и построить точку Bо.
  • 4-е действие. Из построенной точки Bо провести перпендикуляр на проекцию заданной прямой n и получить точку B», т. е. построить фронтальную проекцию А»В» отрезка АВ заданной величины 25 мм; по линии связи определить горизонтальную проекцию B’ точки B, т. е. построить горизонтальную проекцию А’В’ отрезка АВ заданной величины 25 мм.

Прямая линия параллельная сама себе

Понятие о следах прямой

Следами прямой называются точки ее пересечения с плоскостями проекций.

На рис. 2.10 показано построение на чертеже фронтального и горизонтального следов прямой АВ и определено прохождение прямой по октантам пространства: из IV через I во II.

Прямая линия параллельная сама себе

Взаимное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться. Запомните характерные признаки расположения на чертеже проекций двух различно расположенных прямых.

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.

На рис. 2.11 изображены параллельные прямые AB и CD. На чертеже фронтальные и горизонтальные проекции прямых параллельны: A»B»//C»D» и A’B’//C’D’.

Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи.

На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых EF и KN. Проекции точки их пересечения M(M»,M’) лежат на пересечении одноименных проекций прямых и на одной линии связи.

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Скрещивающиеся прямые

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче.

На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещивающихся прямых АВ и CD. Их одноименные проекции накладываются и образуют четыре конкурирующие точки (2 пары):

  • – конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций H, но принадлежат разным прямым: точка 1 принадлежит прямой AB, а точка 2 – прямой CD; горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают;
  • – конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций V, но принадлежат разным прямым: точка 3 принадлежит прямой CD, а точка 4 – прямой AB; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.

Прямая линия параллельная сама себе

. Конкурирующие точки, как было сказано выше, позволяют наблюдателю определить по чертежу относительное расположение прямых по их удаленности от плоскостей проекций H и V:

  • – по конкурирующим точкам 1 и 2 при взгляде на них сверху вниз на плоскость H (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 (координата z1 больше координаты z2), т. е. на горизонтальной проекции прямая АВ расположена над прямой CD;
  • – по конкурирующим точкам 3 и 4 при взгляде на них снизу вверх на плоскость V (по стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю (координата y3 больше координаты y4), т. е. на фронтальной проекции прямая CD расположена перед прямой АВ.

Теорема о проекции прямого угла. Частное положение прямых – перпендикулярные прямые

Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, т. е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между перпендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натуральную величину при определенном условии.

Теорема о проекции прямого угла:

  • – если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т. е. прямым (90°).

На рис. 2.14 дано изображение, поясняющее теорему о проекции прямого угла. Две перпендикулярные прямые AB и AC, образующие плоскость β, проецируются на некоторую плоскость проекций H. Прямая AС по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказательство теоремы основано на известной из геометрии теореме о трех перпендикулярах (обратная теорема): прямая n, проведенная в плоскости H перпендикулярно наклонной прямой АВ (nПрямая линия параллельная сама себеAB; n // A’C’), перпендикулярна и ее проекции; следовательно, угол B’A’C’ – прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

. Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла.

На рис. 2.15, а, б показано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла KMN.

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.15, а изображено графическое условие задачи: дана горизонтальная проекция K’M’N’ прямого угла и фронтальная проекции M»N» одной стороны этого угла.

На рис. 2.15, б показано решение задачи: так как одна сторона MN прямого угла по условию является фронтальной прямой, т. е. параллельна фронтальной плоскости проекций V, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость V заданный прямой угол KMN должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную проекцию K»M» стороны KM прямого угла проводим перпендикулярно заданной фронтальной проекции стороны MN(M»N»).

На рис. 2.16, а, б показано построение на чертеже недостающей горизонтальной проекции прямого угла ECD.

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.16, а изображено графическое условие задачи: дана фронтальная проекция E»C»D» прямого угла и горизонтальная проекция C’D’ одной стороны этого угла.

На рис. 2.16, б показано решение задачи: так как одна сторона CD прямого угла по условию является горизонтальной прямой, т. е. параллельна горизонтальной плоскости проекций H, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость H заданный прямой угол ECD должен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию E’C’ стороны угла EC проводим перпендикулярно заданной горизонтальной проекции стороны CD(C’D’).

Структуризация материала второй лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 2.17 (лист 1). На последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 2.18–2.20).

Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Способ прямоугольного треугольника. Теорема о проекции прямого угла

Прямая линия параллельная сама себе

Прямые обозначают на чертеже строчными буквами латинского алфавита: а, в, m, n и т.д. Отрезки прямых обозначаются прописными буквами: АВ, MN и т.д.

  • Знак пареллельности прямых: АВ // MN.
  • Знак пересечения прямых: АВ ∩ MN.
  • Знак скрещивающихся прямых: АВ Прямая линия параллельная сама себеMN.

Прямая общего положения

Прямая общего положения и её проекции

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Деление отрезка в заданном отношении (например, 1:3)

Прямая линия параллельная сама себе

Теорема о принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то на чертеже одноимённые проекции точки лежат на одноимённых проекциях прямой (см. рис. 2.1а, б; 2.4б).

Определение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника на чертеже

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Прямые частного положения

Горизонтальная прямая уровня: //H

Прямая линия параллельная сама себе

Фронтальная прямая уровня: //V

Прямая линия параллельная сама себе

Профильная прямая уровня: //W

Прямая линия параллельная сама себе

Горизонтально-проецирующая прямая: Прямая линия параллельная сама себеH

Прямая линия параллельная сама себе

Фронтально-проецирующая прямая: Прямая линия параллельная сама себеV

Прямая линия параллельная сама себе

Профильно-проецирующая прямая: Прямая линия параллельная сама себеW

Прямая линия параллельная сама себе

Взаимное расположение прямых

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Теорема о проекции прямого угла

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Теорема о проекции прямого угла: если одна сторона прямого угла пареллельна плоскости проекций (а вторая не параллельна и не перпендикулярна этой плоскости), то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется в виде прямого угла.

Знак перпендикулярности элементов: Прямая линия параллельная сама себе

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

Задание прямой

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя точками или точкой и направлением. Поэтому на эпюре прямую можно задать проекциями ее отрезка (рис. 2.1), проекциями некоторой произвольной части прямой, не указывая концевых точек этой части (рис. 2.2), или указывая одну точку этой прямой (рис. 2.3).
Прямая линия параллельная сама себе

Прямая общего положения

Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

На эпюре проекции прямой общего положения составляют с осями проекций произвольные углы, поэтому величина каждой проекции меньше истинной величины самой прямой (см. рис. 2.1).

Прямые частного положения

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называют прямыми частного положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, а с двумя другими плоскостями образующая произвольные углы, называется прямой уровня. Различают три линии уровня:

  1. прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций; называют горизонтальной или горизонталью Прямая линия параллельная сама себе
  2. прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций; называют фронтальной или фронталью Прямая линия параллельная сама себе
  3. прямую, параллельную профильной плоскости проекций; называют профильной Прямая линия параллельная сама себе

Каждая линия уровня будет проецироваться в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна, углы наклона Прямая линия параллельная сама себекоторые эта прямая образует с двумя другими плоскостями проекций, также будут проецироваться на эту плоскость без искажения (рис. 2.4 — 2.6).

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.4 видно, что все точки горизонтальной прямой Прямая линия параллельная сама себеудалены на одинаковые расстояния от плоскости Прямая линия параллельная сама себепоэтому фронтальная проекция любой горизонтали параллельна оси Прямая линия параллельная сама себеа профильная проекция параллельна оси Прямая линия параллельная сама себеВеличины фронтальной и профильной проекций будут меньше натуральной величины самой прямой.

Эти отличительные особенности характерны и для фронтальной и профильной прямых.

Прямые уровня могут принадлежать плоскостям проекций. Такие прямые называют нулевой горизонталью и нулевой фронталью (рис. 2.7).

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, а двум другим параллельные, называются проецирующими:

  1. горизонтально-проецирующая — прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.8);
  2. фронтально-проецирующая — прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис. 2.9);
  3. профильно-проецирующая — прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис. 2.10).

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.8 — 2.10 видно, что проекции прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, на этих плоскостях представляют собой точки, а на тех плоскостях, которым прямые параллельны, проекции прямых будут перпендикулярны осям и равны по величине самим прямым.

Принадлежность точки прямой. Деление отрезка прямой линии в данном отношении

Если точка лежит на прямой, то ее проекции будут лежать на одноименных проекциях этой прямой.

На рис. 2.11 изображена прямая и три точки: Прямая линия параллельная сама себеТочка Прямая линия параллельная сама себепринадлежит прямой Прямая линия параллельная сама себеточки Прямая линия параллельная сама себе— не принадлежат, т.к. Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.12 показано построение точки Прямая линия параллельная сама себепринадлежащей профильной прямой Прямая линия параллельная сама себеесли известна фронтальная проекция точки Прямая линия параллельная сама себеДля построения неизвестной горизонтальной проекции используется профильная проекция Прямая линия параллельная сама себеотрезка прямой Прямая линия параллельная сама себе

Чтобы разделить отрезок прямой в данном отношении, достаточно разделить в этом отношении одну из проекции заданного отрезка, а потом с помощью линии связи перенести делящую точку на другие проекции отрезка.

Прямая линия параллельная сама себе

На рис. 2.13 точка Прямая линия параллельная сама себеделит отрезок Прямая линия параллельная сама себев отношении Прямая линия параллельная сама себеДля этого из точки Прямая линия параллельная сама себепроведена вспомогательная прямая, на которой отложено 5 равных отрезков произвольной длины.

Если необходимо разделить отрезок профильной прямой Прямая линия параллельная сама себеточкой Прямая линия параллельная сама себезаданной фронтальной проекцией Прямая линия параллельная сама себето выполняют следующие построения: из точки Прямая линия параллельная сама себепроводят произвольную вспомогательную прямую, откладывают на ней Прямая линия параллельная сама себеСоединяют точки Прямая линия параллельная сама себеи параллельно прямой Прямая линия параллельная сама себечерез точку 1 проводят прямую до пересечения с Прямая линия параллельная сама себев точке Прямая линия параллельная сама себеЭто и будет недостающая проекция точки Прямая линия параллельная сама себе(рис. 2.14).

Прямая линия параллельная сама себе

Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо построить на чертеже прямоугольный треугольник, одним катетом которого является проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а величина другого катета равна разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций, на которой взяли первый катет. Натуральная величина отрезка прямой будет равна гипотенузе этого треугольника. Угол между катетом-проекцией и гипотенузой равен углу наклона отрезка к этой плоскости проекций.

На рис. 2.15 показано проецирование отрезка Прямая линия параллельная сама себена горизонтальную плоскость Прямая линия параллельная сама себеЧерез точку Прямая линия параллельная сама себепроведена прямая Прямая линия параллельная сама себепараллельная горизонтальной проекции отрезка Прямая линия параллельная сама себеВ полученном прямоугольном треугольнике Прямая линия параллельная сама себекатет Прямая линия параллельная сама себеравен проекции Прямая линия параллельная сама себеравен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себеГипотенуза этого треугольника равна длине отрезка Прямая линия параллельная сама себеУгол Прямая линия параллельная сама себев треугольнике Прямая линия параллельная сама себеявляется углом наклона отрезка прямой Прямая линия параллельная сама себек плоскости Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Для определения угла наклона отрезка прямой Прямая линия параллельная сама себена фронтальной плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себестроят прямоугольный треугольник аналогичным путем: через точку Прямая линия параллельная сама себепроводят прямую Прямая линия параллельная сама себепараллельную Прямая линия параллельная сама себеКатет Прямая линия параллельная сама себе Прямая линия параллельная сама себеа второй катет Прямая линия параллельная сама себеравен Прямая линия параллельная сама себе— разности расстояний точек Прямая линия параллельная сама себеот плоскости Прямая линия параллельная сама себе(рис. 2.16).

Прямая линия параллельная сама себе

Угол Прямая линия параллельная сама себев этом же треугольнике Прямая линия параллельная сама себеявляется углом наклона прямой Прямая линия параллельная сама себек плоскости Прямая линия параллельная сама себе

Следы прямой линии

Прямая общего положения пересекает все плоскости проекций. Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами прямой. Точка Прямая линия параллельная сама себе— горизонтальный след прямой, точка Прямая линия параллельная сама себе— фронтальный. Горизонтальная проекция Прямая линия параллельная сама себегоризонтального следа прямой совпадает с самим следом — точкой Прямая линия параллельная сама себеа фронтальная проекция этого следа Прямая линия параллельная сама себележит на оси Прямая линия параллельная сама себе(рис. 2.17). Фронтальная проекция Прямая линия параллельная сама себефронтального следа прямой совпадает с точкой Прямая линия параллельная сама себеа горизонтальная проекция Прямая линия параллельная сама себележит на оси Прямая линия параллельная сама себе

Для построения горизонтального следа Прямая линия параллельная сама себепрямой необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью Прямая линия параллельная сама себеи в этой точке восстановить перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

Для построения фронтального следа прямой продолжаем горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью Прямая линия параллельная сама себеи восстанавливаем перпендикуляр к оси до пересечения с фронтальной проекцией прямой. С помощью этих правил на рис. 2.18 и рис. 2.19 построены следы прямых Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Так как следы прямых — точки, в которых прямая переходит из одной четверти в другую, то они позволяют определить видимость этой прямой. Та часть прямой, которая расположена в пределах первого октанта, будет видимой. Проекции видимой части прямой изображаются сплошными линиями, а невидимой — штриховыми.

На рис. 2.20 показано построение следов прямой Прямая линия параллельная сама себев системе трех плоскостей проекций.

Прямая линия параллельная сама себе

Построение горизонтального и фронтального следов выполняют по правилам, указанным выше, профильный след Прямая линия параллельная сама себенаходят как точку пересечения прямой Прямая линия параллельная сама себес профильной плоскостью проекций. Профильная проекция профильного следа прямой совпадает с самим следом, горизонтальная проекция этого следа Прямая линия параллельная сама себележит на оси Прямая линия параллельная сама себефронтальная проекция Прямая линия параллельная сама себележит на оси Прямая линия параллельная сама себеЧтобы построить профильный след прямой, продолжают фронтальную проекцию прямой Прямая линия параллельная сама себедо пересечения с осью Прямая линия параллельная сама себеОтмечают точку Прямая линия параллельная сама себеи из этой точки проводят перпендикуляр к оси Прямая линия параллельная сама себедо пересечения с профильной проекцией прямой. Эта точка и будет искомым следом Прямая линия параллельная сама себес которым совпадает Прямая линия параллельная сама себеГоризонтальная проекция Прямая линия параллельная сама себеопределяется как пересечение горизонтальной проекции прямой с осью Прямая линия параллельная сама себе(рис. 2.21).

Прямая линия параллельная сама себе

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение. Они могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций этих прямых лежат на одной линии связи (рис. 2.22).
Прямая линия параллельная сама себе

Если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре их одноименные проекции параллельны. На рис. 2.23 изображены прямые общего положения Прямая линия параллельная сама себеих горизонтальные и фронтальные проекции параллельны между собой. Можно утверждать, что и в пространстве эти прямые параллельны. Но для профильных прямых этого условия недостаточно. Для определения их взаимного положения необходимо построить профильные проекции прямых. На рис. 2.24 горизонтальные и фронтальные проекции прямых Прямая линия параллельная сама себепараллельны, но эти прямые не параллельны, что следует из взаимного положения их профильных проекций.

Прямая линия параллельная сама себе

Если прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны между собой, то такие прямые называются скрещивающимися. На эпюре точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых (рис. 2.25). Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых является на эпюре проекцией двух конкурирующих точек, принадлежащих заданным прямым.

Конкурирующие точки — это точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций. На эпюре (см. рис. 2.25) горизонтальные проекции конкурирующих точек Прямая линия параллельная сама себесовпадают, но точка 1 принадлежит прямой Прямая линия параллельная сама себеа точка 2 — прямой Прямая линия параллельная сама себе

Прямая линия параллельная сама себе

Из чертежа видно, что расстояния от плоскости Прямая линия параллельная сама себедо точек 1 и 2 различны. Фронтальная проекция перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет определить, какая из точек расположена ниже. В данном примере точка 2, лежащая на прямой Прямая линия параллельная сама себерасположена ниже, чем точка 1, лежащая на прямой Прямая линия параллельная сама себеСледовательно, прямая Прямая линия параллельная сама себепроходит под прямой Прямая линия параллельная сама себе

Точке пересечения фронтальных проекций соответствуют точки 3 и 4, расположенные на прямых Прямая линия параллельная сама себеГоризонтальная проекция перпендикуляра, отмеченная стрелкой, позволяет определить, какая из этих точек ближе к наблюдателю. Из чертежа видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому прямая Прямая линия параллельная сама себепроходит перед Прямая линия параллельная сама себе

Проекции плоских углов

Плоский угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если его стороны параллельны этой плоскости проекций.

Для того чтобы прямой угол проецировался на плоскость в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна, а другая не перпендикулярна плоскости проекций. Изображенный на рис. 2.26 угол Прямая линия параллельная сама себе— прямой, одна его сторона Прямая линия параллельная сама себепараллельна плоскости проекций Прямая линия параллельная сама себепоэтому на эту плоскость он спроецировался в виде прямого угла, т.е. в натуральную величину.

Прямая линия параллельная сама себе

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоскость
  • Поверхности
  • Изображения и обозначения на чертежах
  • Отображение пространственных объектов на плоскость
  • Метод проекций
  • Методы проецирования
  • Образование проекций
  • Точка и прямая

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Новая рассылка от PMLP. «Почувствуй себя недочеловеком»Скачать

Новая рассылка от PMLP. «Почувствуй себя недочеловеком»

Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.

Следствие.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Прямая линия параллельная сама себе

Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.

Прямая линия параллельная сама себе

Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.

Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.

🎦 Видео

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Площадь Сечения: Разбираемся в Тайнах ГеометрииСкачать

Площадь Сечения: Разбираемся в Тайнах Геометрии

Лекция 1. Классификация прямых линий.Скачать

Лекция 1. Классификация прямых линий.

Вот почему не нужно огорчаться в жизни/Наше ПОВЕДЕНИЕ = наше ПОДСОЗНАНИЕ Татьяна Черниговская ❤️ 🧠Скачать

Вот почему не нужно огорчаться в жизни/Наше ПОВЕДЕНИЕ = наше ПОДСОЗНАНИЕ Татьяна Черниговская ❤️ 🧠

7 красных линий. Серия 1. Решение задачиСкачать

7 красных линий. Серия 1. Решение задачи

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Как нарисовать прямую линию?Скачать

Как нарисовать прямую линию?

4K Как начертить параллельные прямые при помощи циркуля, how to draw parallel linesСкачать

4K Как начертить параллельные прямые при помощи циркуля, how to draw parallel lines

Путешественник во Времени Из 2030 Года Говорит Правду — Доказано Детектором ЛжиСкачать

Путешественник во Времени Из 2030 Года Говорит Правду — Доказано Детектором Лжи

У Кремля снесло строительные леса , обрушившие зубцы (Скачать

У Кремля снесло строительные леса , обрушившие зубцы (

Урок 82. Равнодействующая параллельных сил. Пара силСкачать

Урок 82. Равнодействующая параллельных сил. Пара сил

когда покупаешь книгу, а там...Скачать

когда покупаешь книгу, а там...

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: