Прямая ab пересекает параллельные прямые pk

Геометрия | 5 — 9 классы

Рямая АВ пересекает параллельные прямые PK и MN.

Сумма углов PAB и MBA равна 116 градусов .

Какие из высказываний верные?

1) точки K и М лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ 2) Точки P и N лежат в разных плоскостях относительно прямой АВ.

Верно первое утверждение.

В противном случаесумма углов PAB и MBA равна не 116 градусов, а 180, поскольку углы будут внутренними односторонними.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

1а Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются?

1а Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2а Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой, и притом только одна.

3а Если одна из двух параллельных прямых пересекает третью прямую, то и другая прямая пересекает эту прямую.

4а Две прямые, пересекающие третью прямую, пересекаются между собой.

5а Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

6а Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу.

7в Если одна из двух параллельных прямых пересекает третью прямую, то другая прямая лежит в одной плоскости с первой и третьей прямыми.

8в Две непараллельные прямые, пересекающие третью прямую, пересекаются между собой.

9в Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то все три прямые лежат в одной плоскости.

10с Если параллельные прямые лежат в одной плоскости, то и прямая, имеющая общую точку с одной из них, лежит в этой же плоскости.

11с Три попарно непересекающиеся и непараллельные прямые лежат в трех разных плоскостях.

12с Две непараллельные прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, пересекаются между собой.

Помогите пожалуйста, нужны все правильные ответы!

Видео:№198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. ПересекаетСкачать

Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС?

Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС.

Треугольники АВС и АDС — равнобедренные прямоугольные(угол В = углу D = 90 градусам)Докажите, что АВ параллельно CD, Сделайте, пожалуйста , рисунок.

Видео:№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

УМОЛЯЮ?

СРОЧНО НАДО РЕШИТЬ!

65 БАЛЛОВ ОТДАЮ

Углы ABC и ABD вписаны в одну окружность.

Найдите градусную меру угла ACB, ecли угол ADB = 40 градусов и точки C и D лежат :

а) в одной полуплоскости относительно прямой AB ;

б) в разных полуплоскостях относительно прямой AB.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Даны прямая и точка, не лежащая на этой ипрямой?

Даны прямая и точка, не лежащая на этой ипрямой.

Докажите, что все прямые, проходящие через эту точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Видео:№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать

Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС?

Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС.

Треугольники ABC и ADC равностороние.

Докажите , что AB||CD.

Видео:№36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а.Скачать

Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC?

Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC.

Треугольники FDC и ADC равносторонние.

Докажите, что AB параллельно CD.

Видео:Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AС?

Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AС.

Треугольники ABC И ADC равнобедренные и прямоугольные (угол В = углу D = 90 градусов) Докажите что AB ПАРАЛЛЕЛЬНО СD.

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Две прямые пересекаются в точке М ?

Две прямые пересекаются в точке М .

Докажите что любые прямые пересекающие эти прямые и не проходящие через точку М, лежат в одной плоскости.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Доказать, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящую через точку вне прямой лежат в одной плоскости?

Доказать, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящую через точку вне прямой лежат в одной плоскости.

Видео:Параллельные прямыеСкачать

Даны прямая а и точка А?

Даны прямая а и точка А.

А не принадлежит а.

Докажите, что все прямые, пересекающие прямую и проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.

Вы перешли к вопросу Рямая АВ пересекает параллельные прямые PK и MN?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Видео:№88. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость α соответственно в точках А и В. Точки С и DСкачать

Прямая ab пересекает параллельные прямые pk

Вопрос по геометрии:

рямая АВ пересекает параллельные прямые PK и MN. сумма углов PAB и MBA равна 116 градусов .Какие из высказываний верные? 1) точки K и М лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ 2) Точки P и N лежат в разных плоскостях относительно прямой АВ

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Верно первое утверждение.

В противном случае сумма углов PAB и MBA равна не 116 градусов, а 180, поскольку углы будут внутренними односторонними.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:№88. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость α соответственно в точках А и В. Точки С и DСкачать

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Любовь Ильина 4 лет назад Просмотров:

1 10 класс Аксиомы стереометрии СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Сколько плоскостей, соответствующих граням куба, можно провести через выделенные элементы? Назовите эти плоскости

2 Способы задания плоскости в пространстве 1. (А 1 D 1 C 1 ); 2. (ADD 1 ); 3. (ABB 1 ); 4. (A 1 B 1 C 1 ); 5. (ABB 1 ), (ABC), (ADD 1 ); 6. (ABB 1 ), (ADD 1 ); 7. (ADD 1 ), (A 1 B 1 C 1 ); 8. (ABC); 9. (BB 1 C 1 ); 10. (AA 1 B 1 ); 11. (CDD 1 ); 12. (ADD 1 ).

3 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ 1. а) Каким плоскостям принадлежат точки K, L, M, N, Q? б) Каким плоскостям принадлежат прямые KL, QN, D 1 M? в) В какой точке пересекаются прямая KL и плоскость DD 1 C 1, DC и (BB 1 C 1 ), QN и (BB 1 C 1 ), QN и (A 1 B 1 C 1 ), MD 1 и (AA 1 D 1 )? г) По какой прямой пересекаются плоскости A 1 B 1 C 1 и DD 1 C 1, (KLN) и (A 1 B 1 C 1 ), (KLN) и (DD 1 C 1 ), (KLN) и (BB 1 C 1 ). 2. а) Каким плоскостям принадлежат точки M, P, K? б) Каким плоскостям принадлежат прямые MN, KF, AD? в) В какой точке пересекаются прямая MN и (AA 1 B 1 ), MN и (A 1 B 1 D 1 ), MN и (ABC), MN и (CC 1 D 1 )? г) По какой прямой пересекаются плоскости AA 1 D 1 и AA 1 B 1, (MNK) и (CC 1 D 1 ), (MNK) и (ABC)? 3. а) Каким плоскостям принадлежат точки A, P, C, M? б) Каким плоскостям принадлежат прямые AD, PD, PC? в) В какой точке пересекаются прямая AD и плоскость BDC, AB и (BDC), AB и (PDC), DM и (ABC)? г) По какой прямой пересекаются плоскости ABC и ADC, (ABD) и (PDC), (ABC) и (PDC)?

4 4. а) Каким плоскостям принадлежат точки N, F, S? б) Каким плоскостям принадлежат прямые MN, PK, SC? в) В какой точке пересекаются прямая MN и (ABC), PK и (ASD), FP и (BSC), PK и (ABS)? г) По какой прямой пересекаются плоскости ABC и BSC, (MNK) и (ABC), (MNK) и (ABS)? 6. а) Каким плоскостям принадлежат точки B, L, M, K, P? б) Каким плоскостям принадлежат прямые AB, BB 1, MN, PQ? в) В какой точке пересекаются прямая AA 1 и плоскость ABC, BC и (AA 1 B 1 ), MN и (ABC), MN и (A 1 B 1 C 1 ), PQ и (ABC)? г) По какой прямой пересекаются плоскости ABC и AA 1 C 1, (A 1 B 1 C 1 ) и (B 1 BC), (PQ 1 К) и (BB 1 C 1 ), (PQK) и (ABC)? 5. а) Каким плоскостям принадлежат точки M, K, P? б) Каким плоскостям принадлежат прямые MK, MN, CP? в) В какой точке пересекаются MK и (ABC), MN и (AA 1 B 1 ), MN и (BB 1 C 1 )? г) По какой прямой пересекаются плоскости (MNP) и (AA 1 B 1 ), (MNP) и (ABC), (MNP) и (BB 1 C 1 )?

5 8. а) Каким плоскостям принадлежат точки K, N, C 1, L? б) Каким плоскостям принадлежат прямые OK, FL, PM, NQ? в) В какой точке пересекаются прямая NQ и плоскость A 1 B 1 C 1, CQ и (AA 1 D 1 ), FQ и (AA 1 D 1 )? г) По какой прямой пересекаются плоскости ABC и KMP, (ABB 1 ) и (KMP), (NQZ) и (A 1 B 1 C 1 )? 7. а) Каким плоскостям принадлежат точки N, B, K? б) Каким плоскостям принадлежат прямые BC, NP, LF? в) В какой точке пересекаются прямая MK и плоскость BB 1 C 1, NQ и (ABC), NQ и (A 1 B 1 C 1 ), MK и (ABC)? г) По какой прямой пересекаются плоскости AA 1 B 1 и BB 1 C 1, (MNP) и (AA 1 B 1 ), (MNP) и (A 1 B 1 C 1 ), (MNP) и (ABC)? 9. а) Каким плоскостям принадлежат точки A, O, K, F? б) Каким плоскостям принадлежат прямые AD, MK, MP? в) В какой точке пересекаются прямая PK и плоскость BCF, FO и (MNP), AC и (BDF), KN и (ACF)? г) По какой прямой пересекаются плоскости ACF и BDF, (MNK) и (CDF), (MNK) и (BDF), (MKP) и (ACF)?

6 10. а) Каким плоскостям принадлежат точки M, O, K? б) Каким плоскостям принадлежат прямые MK, NP, PK, AA 1? в) В какой точке пересекаются прямая MK и плоскость BB 1 D 1, NP и (AA 1 C 1 ), O 1 Q и (ABC), AC и (BB 1 D 1 )? г) По какой прямой пересекаются плоскости AA 1 C 1 и BB 1 D 1, (MNK) и (DD 1 C 1 ), (MNK) и (BB 1 D 1 ), (MPK) и (AA 1 C 1 )? 12. а) Каким плоскостям принадлежат точки F, M, Q? б) Каким плоскостям принадлежат прямые PM, QN, CF? в) В какой точке пересекаются прямая NQ и плоскость ABC, NQ и (AA 1 C 1 ), NQ и (AA 1 B 1 )? г) По какой прямой пересекаются плоскости (MNQ) и (ABC), (MNQ) и (A 1 B 1 C 1 ), (MNQ) и (AA 1 B 1 )? 11. а) Каким плоскостям принадлежат точки M, Q, S? б) Каким плоскостям принадлежат прямые AD, SQ, KN? в) В какой точке пересекаются прямая КР и плоскость ASB, KN и (ASC), MP и (BSD)? г) По какой прямой пересекаются плоскости ASC и ABC, (ASC) и (BSD), (MNP) и (BSC), (MNP) и (ASC)? Аксиомы стереометрии и следствия из них а) K (ABB 1 ), K (A 1 B 1 C 1 ), K (LMN), L (A 1 B 1 C 1 ), L (BB 1 C 1 ), L (KMN), M (A 1 B 1 C 1 ), M (DCC 1 ), M (KLN),

7 Q (ABC), Q (DD 1 C 1 ), Q (KMN). б) KL (A 1 B 1 С 1 ), KL (LMN), QN (DD 1 C 1 ), QN (KMN), D 1 M (A 1 B 1 C 1 ), D 1 M (DD 1 C 1 N). в) KL (DD 1 C 1 ) = M, DC (BB 1 C 1 ) = C, QN (BB 1 C 1 ) = N, QN (A 1 B 1 C 1 ) = M, MD 1 (AA 1 D 1 ) = D 1. г) (A 1 B 1 C 1 ) (DD 1 C 1 ) = D 1 C 1, (KLN) (A 1 B 1 C 1 ) = KL, (KLN) (DD 1 C 1 ) = QN, (KLN) (BB 1 C 1 ) = LN. Остальные аналогично.

8 ОШИБКИ В ИЗОБРАЖЕНИИ Найдите ошибку в изображении. Обоснуйте ответ

9 Ошибки в изображении 1. Точки А, В и С лежат на одной прямой. 2. Точки А, В и С лежат на одной прямой. 3. AC BD. 8. PK C 1 D MN BD. 9. BC AD. 5. A 1 D 1 BB AC m. 6. A 1 D AB LQ FP. 7. MN BB MN A 1 B 1.

10 Параллельность прямых и плоскостей ЛЕММА О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ 1. Дано: MN средняя линия АВС, MN = N. Докажите, что AC. 2. Дано: ABCD параллелограмм, AB = M. Докажите, что DC. 3. Дано: ABCD трапеция, AB = M. Докажите, что DC. 4. Дано: ABCD и BKFC параллелограммы, K (ABC), а KB. Докажите, что a (ABCD). 5. Дано: DABC пирамида, a BD. Докажите, что a (ABC). 6. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 призма, a AA 1. Докажите, что a (ABC).

11 7. Дано: ABCD параллелограмм, BMC тупоугольный, M (ABC), MN BC, a MN. Докажите, что a (ABC). 8. Дано: ABCD параллелограмм, DN BC, M (ABC), a DN. Докажите, что a (AMB). 9. Дано: ABC, K AB, CAB = LKB, AC. Докажите, что KL. 10. Дано: AK CL = B, CAB = = BKL, AC. Докажите, что KL. 11. Дано: ABCD и ADFM параллелограммы, M (ABC), AK = KB, BL = LC. Докажите, что KL (ADF). 12. Дано: ABCD ромб, AB = A, AC BD = O, BM = MC. Докажите, что OM.

12 Лемма о параллельных прямых 1. MN средняя линия ABC MN AC. MN, следовательно, и AC. 2. ABCD параллелограмм AB DC. AB, следовательно, и DC. 3. ABCD трапеция с основаниями AB и DC AB DC. AB, следовательно, и DC. 4. a KB, KB (ABC). Следовательно, a (ABC). 5. a BD, BD (ABC). Следовательно, a (ABC). 6. a AA 1, AA 1 (ABC). Следовательно, a (ABC). 7. a MN, MN (ABC). Следовательно, a (ABC). 8. DN AB, cледовательно, a (AMB). a DN и DN (AMB), следовательно, a (AMB). 9. CAB = LKB и они соответственные, AC KL. AC и AC KL, следовательно, KL. 10. CAB = BKL и они накрест лежащие, следовательно, AC KL. AC и AC KL, следовательно, KL. 11. KL средняя линия ABC, KL AC. AC (ADF) и KL AC, следовательно, KL (ADF). 12. OM средняя линия ABC, OM AB. AB и OM AB, следовательно, OM.

13 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Дано: ABC, AB = M, BC = N, AC. Докажите, что AC MN. 2. Дано: ABC, AB = M, BC = N, MN AC. Докажите, что AC. 3. Дано: ABCD трапеция, AM = MB, CN = ND, BC. Докажите, что AD MN. 4. Дано: ABCD трапеция, AM = MB, CN = ND, AD MN. Докажите, что BC. 5. Дано: ABCD параллелограмм, AB = M, CD = N, AD. Докажите, что AD MN. 6. Дано: ABCD параллелограмм, AB = M, CD = N, MN AD. Докажите, что BC. 7. Дано: (ACC 1 ) (BCC 1 ) = CC 1, BB 1 CC 1. Докажите, что BB 1 (ACC 1 ). 8. Дано: ABCD параллелограмм, F ABCD. Докажите, что DC (ABF).

14 9. Дано: DABC пирамида, ABC правильный, O центр ABC, M DC, MC = 2DM. Докажите, что OM (ABD). 10. Дано: DABC пирамида, M середина AB, N середина AC. Докажите, что MN (BCD). 11. Дано: DABC пирамида, M середина AD, N середина BD, MN, (ABC) = PK. Докажите, что AB PK. 12. Дано: FABCD пирамида, CF CD, F a, a CF, ABCD прямоугольник. Докажите, что a AB.

15 Параллельность прямой и плоскости. Параллельность прямых в пространстве AC и MN, следовательно, AC MN. AC (ABC), MN (ABC), AC MN, следовательно, AC MN. Остальные аналогично. Указание: чтобы утверждать, что прямые параллельны, надо доказать, что они: 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются. Из того, что прямая параллельна плоскости, следует, что она не пересекает никакую прямую, лежащую в этой плоскости.

16 СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ 1. Докажите, что 2. Докажите, что 3. Докажите, что 4. Докажите, что 5. Докажите, что 6. Докажите, что

17 7. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб, AB = a. Найдите расстояние между AB 1 и DC. 8. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб, AB = a. Найдите расстояние между AB 1 и CD ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб, AB = a. Найдите расстояние между AB и DВ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб, AB = a. Найдите расстояние между A 1 B и DB ABC правильный, AB = a, AA 1 BB 1 CC 1, AA 1 = BB 1 = CC 1. Найдите расстояние между AA 1 и BC. 12. ABC правильный, AB = a, AA 1 BB 1 CC 1, AA 1 = BB 1 = CC 1. Найдите расстояние между A 1 B и CC 1.

18 Скрещивающиеся прямые У к а з а н и е : воспользоваться признаком скрещивающихся прямых и доказать, что одна прямая лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.

19 УГЛЫ С СОНАПРАВЛЕННЫМИ СТОРОНАМИ 1. ABCD параллелограмм, BAD = 40, AA 1 BB 1 CC 1 DD 1, AA 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1. Найдите угол между прямыми AB и A 1 D 1 ; BC и A 1 B ABC, BAC = 60 ; AСB = = 100, AA 1 BB 1 CC 1, AA 1 = BB 1 = = CC 1. Найдите угол между прямыми AB и C 1 B 1 ; A 1 B 1 и A 1 C ABCD параллелограмм, AA 1 BB 1 CC 1 DD 1, AA 1 = BB 1 = = CC 1 = DD 1, ADD 1 = 50. Найдите угол между прямыми BC и DD 1 ;BB 1 и A 1 D ABCD прямоугольник, AОB = 60, AA 1 BB 1 CC 1 DD 1,AA 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1. Найдите угол между прямыми A 1 B 1 и AC; AB и A 1 D 1.

20 5. ABCD прямоугольник, AA 1 ВВ 1 CC 1 DD 1, AA 1 = BB 1 = CC 1 == DD 1, BB 1 AC, AM = MD, CN = = ND. Найдите угол между прямыми MN и DD 1 ; BB 1 и A 1 C ABC правильный, AA 1 BB 1 CC 1, AA 1 = BB 1 = CC 1, AM = MC, BN = NC. Найдите угол между прямыми AB и B 1 C 1 ; MN и A 1 C ABC, AA 1 BB 1 CC 1 = F, A 1 B 1 AB, A 1 C 1 AC, B 1 C 1 BC, BAC = 30, ABC = 80. Найдите угол между прямыми AB и B 1 C 1 ; A 1 C 1 и BC. 8. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Найдите угол между прямыми AD и CC 1 ; AB 1 и D 1 C.

21 9. ABC правильный, AA 1 BB 1 CC 1, AA 1 = BB 1 = CC 1, AK = KC, BM = MC, A 1 K 1 = K 1 C 1, B 1 M 1 = = M 1 C 1. Найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1, AM и B 1 K ABC, AA 1 BB 1 CC 1, AA 1 = = BB 1 = CC 1, AB = 2, AC = CB = =. Найдите угол между прямыми AC и C 1 B 1, AB и A 1 C ABCD ромб, AA 1 BB 1 CC 1 DD 1, AA 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1, ABC = 60. Найдите угол между прямыми BC и C 1 D 1 ; BD и A 1 C ABCDFK правильный шестиугольник, AA 1 BB 1 CC 1 DD 1 FF 1 KK 1, AA 1 = BB 1 = CC 1 = = DD 1 = FF 1 = KK 1. Найдите угол между прямыми BD и D 1 F 1 ; AB и C 1 D 1.

22 Углы с сонаправленными сторонами 1. (AB, A 1 D 1 ) = 40, (BC, A 1 B 1 ) = (AB, C 1 B 1 ) = 100, (A 1 B 1, A 1 C 1 ) = (BC, DD 1 ) = 50, (BB 1, A 1 D 1 ) = (A 1 B 1, AC) = 60, (AB, A 1 D 1 ) = (MN, DD 1 ) = 90, (BB 1, A 1 C 1 ) = (AB, B 1 C 1 ) = 60, (MN, A 1 C 1 ) = (AB, B 1 C 1 ) = 30, (A 1 C 1, BC) = (AD, CC 1 ) = 90, (AB 1, D 1 C) = (AB, A 1 C 1 ) = 60, (AM, B 1 K 1 ) = (AC, C 1 B 1 ) = 45, (AB, A 1 C 1 ) = (BC, C 1 D 1 ) = 120, (BD, A 1 C 1 ) = (BD, D 1 F 1 ) = 90, (AB, C 1 D 1 ) = 60.

23 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Докажите, что (ABC) (MNK). 1. MN AB, MK AC. 2. ABM = BMN, NKB = KBC BAD = NMD, CBD = KND. 5. BAM + AMN = 180, CBN + BNK =

24 7. AM BN CK, AM = BN = CK. 8. MO = OC, NO = OB, AO = OK. 9. CM = MD, AK = KD, BN = ND. 10. AK = KD, BN = ND, CF MQ. 11. MN AC, PK BC. 12. APCMNBKD куб. Параллельность плоскостей У к а з а н и е : воспользоваться признаком параллельности плоскостей и доказать, что две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости.

25 Перпендикулярность прямых и плоскостей ПРЯМАЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ 1. Дано: а (ABC), BM биссектриса. Докажите, что а BM. 2. Дано: а (ABC), BM медиана. Докажите, что а BM. 3. Дано: ABCD прямоугольник, а (ABC). Докажите, что а BD. 4. Дано: (O; R), а (ABC). Докажите, что а AM. 5. Дано: ABCD параллелограмм, AB, BC. Докажите, что AC = BD. 6. Дано: ABCD параллелограмм, AD, AB, AD = 12, AB = 5. Найдите DB.

26 7. Дано: ABCD параллелограмм, BD, AC. Докажите, что BAC = DAC. 8. Дано: ABCD параллелограмм, BD, AC, AB = 5. Найдите периметр параллелограмма. 9. Дано: AB, AC, M середина CB, AC = 6, AB = 8. Найдите AM. 10. Дано: AB, AC, M середина CB, AM = 2,5, AC = 3. Найдите AB. 11. Дано: ABCD равнобедренная трапеция, BC = 10, AD = 20, AC, BD. Найдите площадь трапеции. 12. Дано: ABCD трапеция. AB, AD, AB = 2, DC = 6, а меньшая из боковых сторон равна 3. Найдите площадь трапеции.

27 Прямая, перпендикулярная плоскости. Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости 1. a (ABC) и BM (ABC), следовательно, a BM. 2. a (ABC) и BM (ABC), следовательно, a BM. 3. a (ABC) и BD (ABC), следовательно, a BD. 4. a (ABC) и AM (ABC), следовательно, a AM. 5. BC и AB, следовательно, BC AB. ABCD параллелограмм и ABC = 90, следовательно, ABCD прямоугольник и AC = BD. 6. DB = AC и BD, следовательно, АC BD. ABCD параллелограмм и АC BD, следовательно, ABCD ромб и BAC = DAC. 8. Р = АМ = AB = S = 225. Указание: ABCD равнобедренная трапеция со взаимно перпендикулярными диагоналями, следовательно,. 12. S = 12.

28 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 1. Дано: ABC, BD (ABC), AB = BC, AM = MC. Докажите, что AC (BDM). 2. Дано: ABC, AB = BC, BD AB, BD BC. Докажите, что BD (ABC). 3. Дано: ABCD ромб, AF = FC, BF = FD. Докажите, что FO (ABC). 4. Дано: ABCD ромб, FO (ABC). Докажите, что AC (BFD). 5 Дано: ABCD ромб, BF AB, BF BC. Докажите, что BF (ABC). 6. Дано: ABCD ромб, BF (ABC). Докажите, что AC (BFD). 7. Дано: ABCD прямоугольник, FB (ABC). 8. Дано: ABCD квадрат, FB (ABC).

29 Докажите, что DC (BFC). Докажите, что AC (BFD). 9. Дано: ABCD квадрат, FB (ABC). Докажите, что AD (ABF). 10. Дано: ABC, ACD = 90, BD (ABC). Докажите, что AC (BCD). 11. Дано: AD AC, AC AB, BD CB. Докажите, что BD (ABC). 12. Дано: AD AC, AC AB, BD CD. Докажите, что BD (ACD).

30 Признак перпендикулярности прямой и плоскости У к а з а н и е : воспользоваться признаком перпендикулярности прямой к плоскости и доказать, что прямая, не лежащая в плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.

31 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 1. Дано: ABC равносторонний, AB = 2, BD (ABC), BD =. Найдите S ADС. 2. Дано: ABC, AB = ВС = 10, AC = 12, BD (ABC), BD = 6. Найдите S ADС. 3. Дано: ABC, ABC = 90, AB = BC = BD =. Найдите S ADC., BD (ABC), 4. Дано: ABC, BAC = 150, AB = AC = 24, BF (ABC), FM AC, FM = 15. Найдите BF. 5. Дано: ABC, ACB = 90, BF BC, AC FC, AF = 25, AB = 24. Найдите BF. 6. Дано: ABC, ACB = 90, BF (ABC), AF = 25, AC = 15. Найдите S ACF.

32 7. Дано: ABCD прямоугольник, FB (ADC), FC = 8, DC = 6. Найдите S CDF. 8. Дано: ABCD ромб, AB =, BAD = 45, BF AB, BF BC, BM AD, FM = 5. Найдите BF. 9. Дано: ABCD прямоугольник, BF AB, AF AD, BD = 7, DF = 25. Найдите S BDF. 10. Дано: ABCD прямоугольник, BF (ABC), AC = 12, FD = 13. Найдите BF. 11. Дано: ABCD квадрат, BF (ABC), BF = 4, AC = 6. Найдите S ACF. 12. Дано: ABCD прямоугольник, AOB = 30, BD = 12, BF (ABC), BF = 4. Найдите S ACF.

33 Перпендикулярность прямой и плоскости 1. S ADC = S CDF = S ADC = BF = S ADC = S BDF = BF = BF = BF = S ACF = S ACF = S ACF = 30.

34 ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ 1. Дано: AB, AC = 13, AB = 12. Найдите BC. 2. Дано: AB, AB = 24, BC = 7. Найдите AC. 3. Дано: AB, ACB = 30, AC = 10. Найдите AB. 4. Дано: AB, AB =, AC = 4. Найдите ACB. 5. Дано: AB, ACB = 45, AB =. Найдите AC. 6. Дано: AB, AC =, ACB = 30, BAD = 45. Найдите AD.

35 7. Дано: AB, ACB = 60, AD =, BD = 2. Найдите AC. 8. Дано: AB, CB = BD, ADC = 60, ACB = 30, CD = 8. Найдите AB. 9. Дано: AB, CBD = 90, CD =, AB = 4, CB = BD. Найдите AD. 10. Дано: AB, CD =, CAD = 90, AB = 8, AC = AD. Найдите BD. 11. Дано: AB, CBD = 120, CD =, ADB = 60, АС = AD. Найдите AD. 12. Дано: AB, AC = AD = CD, AB = BC. Найдите CBD.

36 Перпендикуляр и наклонная 1. BC = AC = AD = AC = AD = BD = AB = AC = AD = ACB = AB = CBD = 90.

37 ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ 1. Дано: AB, AC = 20, AD =, ACB = 30. Найдите ADB. 2. Дано: AB, AC = AD = CD = 2, ACB = 45. Найдите CBD. 3. Дано: AB, ACB = 30, AC = 12, BD = 8. Найдите AD. 4. Дано: AB, ACB = 45. AC =, AD = 13. Найдите BD. 5. Дано: AB, AB = 10, ACB = = ADB = 45, CAD = 60. Найдите CD. 6. Дано: AB, ACB = ADB = = 30, AB = 2, CAD = 60. Найдите CD.

38 7. Дано: AB, CAD = 90, R = 6 (радиус окружности, описанной около ACD), ADC = 30, ACB = 45. Найдите AB. 8. Дано: AB, ACB = ADB = = 45, CAD = 60, R = (радиус окружности, описанной около ACD). Найдите AB. 9. Дано: AB, ACB = ADB = = 30, CAD = 60, r = (радиус окружности, вписанной в ACD). Найдите AB. 10. Дано: AB, CAD = 90, ACB = ADB = 30, R = (радиус окружности, описанной около ACD). Найдите AB. 11. Дано: AB, AB = 24, AC =, BCD = 90, CD = 3, BDF = 120, DF = 3. Найдите AF. 12. Дано: AB, BC = BD, BCD = 60, BDF = 60, DF = 8, AF =, CD = 15. Найдите AB.

39 Перпендикуляр и наклонная 1. ADB = CD =. 9. AB = CBD = CD = AB = AD = AB =. 11. AF = BD = AB =. 12. AB = 10.

40 ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Установите, перпендикулярны ли прямые а и b. 1. ABCD прямоугольник, FB (ABC). 2. ABCD параллелограмм, FB (ABC). 3. ABCD прямоугольник, FB (ABC). 4. ABCD ромб, FB (ABC). 5. BD (ABC), ABC = 40, BAC = BD (ABC), ABC = 10, BAC = 70.

41 7. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 8. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 9. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 10. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 11. AD (ABC), BM и CF высоты. 12. AD (ABC), BM и CF медианы. Теорема о трех перпендикулярах У к а з а н и е : в задачах 1, 4, 5, 7, 9, 11 воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах.

42 УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Найдите (AD 1, (DD 1 C 1 )). 2. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Найдите (CC 1, (AB 1 C 1 )). 3. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Найдите tg (AA 1, (AB 1 D 1 )). 4. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Найдите (DC 1, (AB 1 D 1 )). 5. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Найдите (DC 1, (AA 1 C 1 )). 6. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Найдите (AD 1, (AB 1 C 1 )).

43 7. ABCA 1 B 1 C 1 прямая призма, ΔABC правильный, AB = 1, BB 1 =. Найдите (CB 1, (AA 1 C)). 8. ABCA 1 B 1 C 1 прямая призма, АB = BC, CB 1 = 10, BB 1 = 3, AC = 8. Найдите (CB 1, (AA 1 C)). 9. ABCA 1 B 1 C 1 прямая призма, ACB = 90, BB 1 =, AC = 1, CB =. Найдите (A 1 B, (AA 1 C)). 10. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед, АB =, AD = 3, AA 1 = 4. Найдите cos (B 1 D, (DCC 1 )). 11. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямой параллелелепипед, АBСD ромб, BCD = 60, AB = 2, DD 1 = 2. Найдите tg (B 1 D, (DCC 1 )). 12. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямой параллелепипед, ABCD ромб, ABС = 120, АВ = 4, СС 1 =. Найдите (DC 1, (BB 1 D 1 )).

44 Угол между прямой и плоскостью

45 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ Найдите расстояние от точки F до прямой AB. 1. Дано: ABC, AC = CB = 10, AB = 12, CF (ABC), CF = Дано: ABC, CAB = 90, CB = 15, AB = 9, CF (ABC), CF = Дано: ABCD квадрат, AB = 4, FD (ABC), FD = Дано: ABCD прямоугольник, АB =, FC (ABC), FAB = Дано: ABCD ромб, r вписанной окружности = 5, FO (ABC), AC BD = O, FO = Дано: ACBD ромб, AD = 8, DAC = 120, CF (ABC), CF = 4.

46 7. Дано: ABCD трапеция, AB = 5, СD = 3, S ABCD = 48, CF (ABC), CF = Дано: ABCD трапеция, AC CB, R описанной окружности = 7, S ACB = 56, CF (ABC), CF = Дано: ABC, C = 90, AC = 15, CB = 20, CF (ABC), CF = Дано: ABC, AB = 25, AC = 20, CB = 15, CF (ABC), CF = Дано: ABC, AB = 21, AC = 17, CB = 10, CF (ABC), CF = Дано: ABC, ABC = 150, CB = 10, CF (ABC), CF = 12. Расстояние от точки до прямой 1. FM = FK = FM = AF = FO = FM = AF = FM = FM = BF = FK = FM = 13.

47 Призма и параллелепипед ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА АВСА 1 В 1 С 1 правильная призма. 1. Дано: А 1 М = МВ 1. Найдите С 1 МВ. 2. Дано: АВ = 6, АА 1 = 8. Найдите. 3. Дано: АВ =, МС АВ, C 1 МС = 30. Найдите S бок. 4. Дано: О центр АВС, ОР CC 1, ОР = 3, АВ = 2. Найдите S бок. 5. О центр АВС, ОР СС 1, СС 1 = 6, АВ = ОР. Найдите S бок. 6. АВ 1 А 1 В = М, ВС 1 В 1 С = К, МК = 1, АА 1 = 4. Найдите S бок.

48 7. Дано: ВВ 1 = 3, С 1 НС = 30. Найдите AB. 8. Дано: АВ = АА 1, О центр описанной около АВС окружности. Найдите C 1 ОC. 9. Дано: О центр вписанной в АВС окружности, ОК = 2, КОС 1 = 135. Найдите высоту призмы. 10. Дано: СH высота АВС, СВ : ВВ 1 = 1 : 2, = 18. Найдите высоту призмы. 11. Дано: = 108, АВ : АА 1 = = 4 : 3. Найдите. 12. Дано: S бок. =, НВ высота АВС, НН 1 В 1 В квадрат. Найдите АВ.

49 Правильная треугольная призма 1. С 1 MB = S бок = СС 1 = = S бок = H = S бок = AB = P = S бок = С 1 OC = AB = 10.

50 ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 правильная призма. 1. Дано: DC = CC 1. Найдите BDC Дано: S осн = 18, АА 1 = 8. Найдите DB Дано: AB =, СM = МC 1, AC BD = О, MOC = 45. Найдите высоту призмы. 4. Дано: АВ = 9,. Найдите C 1 AC. 5. Дано: AB = 4, C 1 DC =, cos =. Найдите В 1 DС Дано: S бок = 240, CC 1 = 12. Найдите.

51 7. Дано: С 1 OC = 60, AB = 5. Найдите. 8. Дано: = 36, = = S ABCD. Найдите ОС 1 С. 9. Дано: В 1 ОС 1 = 60, АС 1 = 8. Найдите S осн. 10. Дано: S бок = 48, BD =. Найдите tg B 1 DC Дано: BB 1 D =, tg =, = 9. Найдите S бок. 12. Дано: угол между AD 1 и B 1 C равен 60, DD 1 = 5. Найдите S ABCD. Правильная четырехугольная призма 1. BDС 1 = B 1 DC 1 = S осн = DB 1 = = tg B 1 DC 1 = 0,6. 3. H = = S бок = С 1 AC = OС 1 C = S ABCD = 75.

52 ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 правильная призма. 1. Найдите A 1 ED. 2. Дано: АА 1 = 3, В 1 Е = 5. Найдите S бок. 3. Дано: AA 1 = 1, =. Найдите AB. 4. Дано:, АВ = 2. Найдите АА Дано: FC 1 =, C 1 FC = 45. Найдите S бок. 6. Дано: FC = 20, FС 1 = 25. Найдите S бок. 7. Дано: AE =, А 1 E= 8. Найдите S бок. 8. Дано: FF 1 = 2, FF 1 = F 1 C 1. Найдите S бок.

53 9. Дано: АВ = 3,. Найдите ВВ Дано: АВ = 2, ВВ 1 = 1. Найдите. 11. Дано:, АА 1 =. Найдите. 12. Дано. Найдите АА 1.

54 Правильная шестиугольная призма 1. A 1 ED = S бок = BB 1 = S бок = S бок = = AB = S бок = = AA 1 = S бок = AA 1 = 1.

55 ПРЯМАЯ ПРИЗМА 1. Дано: ABC, AB = AC = 5, BC = 6, BM = MC, AMA 1 = 45. Найдите S бок. 2. Дано: ABC, ACB = 90, AA 1 = 9, AC = 12, BC = 20. Найдите. 3. Дано: ABCD ромб, BAD = = 60, B 1 DB = 45, BB 1 = 2. Найдите S бок. 4. Дано: ABCD параллелограмм, AB = 3, AD = 8, S бок = 220. Найдите АА Дано: ABC, AB = 3, BC = 5, ABC = 120, = 35. Найдите АА Дано: ABC, АВ = 1, АС = 3, cos =,. Найдите AA 1.

56 7. Дано: ABC, AC = 12, sin C =, AA 1 = 6. Найдите tg ((ABC), (A 1 BC)). 8. Дано: ABC, S ABC = 7,5, АС = 15, AA 1 = 12. Найдите tg ((ABC), (AB 1 C)). 9. Дано: ABCD параллелограмм, CD =, ADC = 60, AA 1 = 6. Найдите tg ((ABC), (A 1 BC)). 10. Дано: ABCD параллелограмм, AB =, AA 1 = 3, tg ((ABC), (AB 1 C 1 )) =. Найдите BAD. 11. Дано: ABCD ромб, AB = 10, (AD, B 1 C 1 ) = 13, (AD, BC) = 5. Найдите S бок. 12. Дано: ABCD ромб, AB = 2, (DC, A 1 B 1 ) = 10, AA 1 = 8. Найдите S осн.

57 Прямая призма 1. S бок = AA 1 = tg A 1 KA = = AA 1 = BAD = S бок = tg A 1 KA = S бок = AA 1 = tg B 1 KB = S осн = 12.

58 ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямой параллелепипед. 1. Дано: ABCD ромб, AB = 5, BAD = 60, B 1 D = 13. Найдите BB Дано: ABCD ромб, AB = 12, BD = 16, AA 1 = 10. Найдите S бок. 3. Дано: AB = 3, BD = 4, B 1 DB = 45. Найдите S бок. 4. Дано: AB = 3, AD = 8, BAD = 60, = 35. Найдите BB Дано: AB = 8, AD = 15, BAD = 60, = 130. Найдите BB Дано: AD = 5, DC = 3, ADC = 120, = 35. Найдите AA Дано: ABCD ромб, AB = 6, BAD = 30, BM AD, B 1 MB = Дано: ABCD ромб, AB = 10, BM AD, BB 1 = 12.

59 Найдите S бок. Найдите. 9. Дано: ABCD ромб, AB = 2, BAD = 60, AA 1 =. Найдите. 10. Дано: ABCD ромб, AB = B 1 O = 2, AA 1 =. Найдите BAD. 11. Дано: ABCD ромб, AB = 2, BAD = 60, AA 1 = 1. Найдите ((ABC), (AB 1 C)). 12. Дано: ABCD ромб, AB = 2, BAD = 60,. Найдите AA 1. Прямой параллелепипед 1. BB 1 = BB 1 = B 1 O = S бок = AA 1 = BAD = S бок = S бок = BOB 1 = BB 1 = = AA 1 = 1.

60 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед. 1. Дано: AD = 4, DC = 8, CC 1 = 6, AM = MB, BN = NB 1, CP = PC 1, DK = KC. Найдите S сеч. 2. Дано: AD = 8, DC = 6, CC 1 = 3, A 1 M = MB 1, B 1 N = NC 1. Найдите P сеч. 3. Дано: AB = 5, AD = 12, BDB 1 = 45. Найдите BB Дано: AD = 8, DB 1 = 20, BDB 1 = 60. Найдите S осн. 5. Дано: AB = 3, AD = 4, BB 1 = 12. Найдите AC Дано: AB = 7, AD = 24, = 50. Найдите BB 1.

61 7. Дано: AD = 6, CC 1 = 2, = 20. Найдите S бок. 8. Дано: AB 1 C 1 D квадрат, AD = 10, AB = 6. Найдите S бок. 9. Дано: DB 1 = 6, AD =, DB 1 C = 45. Найдите AA Дано: DB 1 = 8, BDB 1 = 30, CDB 1 = 45. Найдите AD. 11. Дано: DB 1 = 15, sin =, sin =. Найдите S ocн. 12. Дано: DB 1 = 5, cos = 0,5, sin = 0,3. Найдите AD.

62 Прямоугольный параллелепипед 1. S сеч = АС 1 = АА 1 = Р сеч = BB 1 = АD = BB 1 = S бок = S осн = S осн = S бок = АD = 2.

63 НАКЛОННАЯ ПРИЗМА. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1. Дано: ABCD прямоугольник, (АА 1 D 1 ) (ABC). Докажите, что AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C прямоугольники. 2. Дано: ABC прямоугольный, С = 90, (АА 1 C 1 C) (ABC). Докажите, что ВВ 1 С 1 С прямоугольник. 3. Дано: ABC прямоугольный, C = 90, C 1 B (ABC). Докажите, что АА 1 С 1 С прямоугольник. 4. Дано: ABC правильный, A 1 равноудалена от всех вершин нижнего основания. Докажите, что ВВ 1 С 1 С прямоугольник. 5. Дано: ABC правильный, AМ и А 1 М 1 медианы, (АA 1 М 1 ) (ABC). Докажите, что ВВ 1 С 1 С прямоугольник. 6. Дано: ABC равнобедренный, AB = AC, CAA 1 = BAA 1. Докажите, что CC 1 B 1 B прямоугольник. 7. Дано: ABC равнобедренный, AB = AC, АМ медиана, A 1 O (ABC), O AМ. 8. Дано: A 1 O (ABC), O AK, AK CB.

64 Докажите, что ВВ 1 С 1 С прямоугольник. Докажите, что ВВ 1 С 1 С прямоугольник. 9. Дано: ABCD ромб, AC BD = O, A 1 O CB. Докажите, что BB 1 D 1 D прямоугольник. 10. Дано: AA 1 (MNK). Докажите, что ρ(cc 1, BB 1 ) = KN. 11. Дано: ABC прямоугольный, C = 90, CC 1 B 1 B прямоугольник. Докажите, что высота призмы лежит в (АА 1 С 1 ). 12. Дано: AA 1 (MNK). Докажите, что S бок = P MNK AA 1.

65 НАКЛОННАЯ ПРИЗМА (Sбок = Р сеч l) 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, AA 1 (MNK), MNPK ромб, MK = 5, AA 1 = 12. Найдите S бок. 2. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, AA 1 (MNK), MNPK ромб, AA 1 = 2, S бок = 40. Найдите MN. 3. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, BB 1 MN, BB 1 NK, MN NK, MN = 3, NK = 4, BB 1 = 12. Найдите S бок. 4. Дано: AA 1 (MNK), MN = 2, NK = 3, MN = 4, S бок = 45. Найдите AA Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, AA 1 (MNK), MNK правильный, S MNK =, S бок = 72. Найдите AA Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, BB 1 MK, BB 1 KN, MK KN, BB 1 = 1, MK = KN, S бок = + 8. Найдите S MNK. 7. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, AA 1 (MNK), 8. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, AA 1 (MNK), MNPK квадрат, S MNPK = S бок.

66 MNPK квадрат, S MNPK = 4, AA 1 = 5. Найдите S бок. Найдите MN : AA Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, ABCD прямоугольник, AD (MNP), MNPK квадрат, MN = 3, AD = 5, AA 1 = 4. Найдите S пол. 10. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, (ABB 1 ) (BCC 1 ), Найдите S бок., BB 1 = Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, BB 1 (MNK), S AA1 B 1 B = 30, S BB1 C 1 C = 80, BB 1 = 10, ((AA 1 B)(BB 1 C)) = 60. Найдите S бок. 12. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, AA 1 (MNK), ((AA 1 C 1 ), (BB 1 C 1 )) = 120, S AA1 C 1 C = 15, S BB1 C 1 C = 25, CC 1 = 5. Найдите S бок.

67 Наклонная призма (Sбок = Р сеч l) 1. S бок = АА 1 = S пол = MN = S MNK = S бок = S бок = S бок = S бок = АА 1 = MN : AA 1 = S бок = 75.

68 КУБ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 1. Найдите B 1 AC. 2. Найдите B 1 AD. 3. Найдите (B 1 D, AC). 4. Найдите (B 1 D, (AD 1 C)). 5. Найдите sin. 6. Найдите tg.

69 7. Дано: AD =. Найдите P AB1 C. 8. Дано: DB 1 =. Найдите S AA1 С 1 С. 9. Дано: S AB1 C 1 D =. Найдите S пол. 10. Дано: DB 1 =. Найдите S пол. 11. Дано: DC 1 =. Найдите S пол. 12. Дано: BD 1 B 1 D = Q, AC BD = O, DM = MC, QM =. Найдите S пол..

70 Куб 1. B 1 AС = sin =. 9. S пол = B 1 AD = tg =. 10. S пол = (B 1 D, AC) = = S пол = (B 1 D, (AD 1 C)) = S пол = 96.

71 Пирамида ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1. Дано: FABCD правильная пирамида, FO (ABC). Докажите, что AD FO. 2. Дано: FABCD правильная пирамида, MN AC. Докажите, что MN (BDF). 3. Дано: FABCD правильная пирамида, FO (ABC). Докажите, что FD AC. 4. Дано: FABC правильная пирамида, FO (ABC). Докажите, что (BFD) (AFC). 5. Дано: FABC правильная пирамида, FO (ABC). Докажите, что (ABC) (AFK). 6. Дано: FABC правильная пирамида, FO (ABC). Докажите, что BC (AKF).

72 7. Дано: FABC правильная пирамида, FO (ABC), AK BC. Докажите, что AF CB. 8. Дано: SABC правильная пирамида, KL AC, LM BS. Докажите, что KL LM. 9. Дано: SABC правильная пирамида, KN BC, NM AS. Докажите, что сечение KLMN прямоугольник. 10. Дано: FABC правильная пирамида, FO (ABC), AK BC, AH FK. Докажите, что AH (BCF). 11. Дано: SABC правильная пирамида, SO высота, KD AS. Докажите, что AS (BCD). 12. Дано: SABCD правильная пирамида, KN BA, KL BS. Докажите, что (KLMN) (ASB), KLMN трапеция.

73 ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА DABC правильная пирамида. DO (ABC). CK AB, AM BC, BN AC. 1. AB =, AD = 5. Найдите DO. 2. AD =, ADB = 120. Найдите P осн. 3. O 1 и O 2 точки пересечения медиан треугольников ABD и BCD соответственно, O 1 O 2 = 2. Найдите S осн. 4. BC = CD =. Найдите DO. 5. KP биссектриса, DP : PC = = 2 : 3. Найдите DKC. 6. AB =, tg = 6. Найдите DO. 7. AB =, cos = 0,2. Найдите апофему DM. 8. AB =, DO = 8. Найдите cos.

74 9. AB =, DO = 24. Найдите cos. 10. PL BC, O PL, AB = 18, DM =. Найдите S PDL. 11. (PQL) (BCD), O (PQL), AB = 6, DC =. Найдите S PQL. 12. AB = 6, CD =. Найдите S DKC.

75 Правильная треугольная пирамида 1. DO = DKС = cos = 0, Р осн = DO = S PDL = S осн =. 7. DM = S PQL = DO = cos = 0, S DKC = 9.

76 ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА. ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ DABC правильная пирамида. DO (ABC). Найдите площадь боковой поверхности. 1. DM BC, DM = 2, ODM = AB =, DM BC, DMO = AM BC, AM = 9, DMO = DO =, DM BC, ODM = DM BC, DM = 6, AMD = AO = 6, DO = AD =, DO = AB = AD = 2.

77 9. ADB = 120, AD = ADB = 90, AD = DP = PC, OP =, 12. AB = 18, tg =. BC =.

78 Правильная треугольная пирамида. Площадь боковой поверхности 1. S бок = S бок = S бок =. 2. S бок = S бок =. 10. S бок = S бок = S бок =. 11. S бок =. 4. S бок = S бок =. 12. S бок = 162.

79 ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА FABCD правильная пирамида. FO (ABC), FM DC. 1. OF = 3, AD =. Найдите FC. 2. AFC = 90, AF = 2. Найдите S осн. 3. FC = 5, FO = 3, AP = PB, AN = ND. Найдите S NPF. 4. AFC = 60, AF = 4. Найдите S осн. 5. AB = 6, tg =. Найдите S бок. 6. DFC = 60, AF = 4. Найдите S бок.

80 7. OF = 6, FMO = 60. Найдите S бок. 8. OF = 3, S осн = 64. Найдите S бок. 9. OF = 3, FMO = 60. Найдите S бок. 10. FO =, FMO = 60. Найдите S пол. 11. AB = 6, cos =. Найдите S бок. 12. AB = 6, cos =. Найдите FO. Правильная четырехугольная пирамида 1. FC = S осн = S бок = S пол = S осн = S бок = S бок = S бок = S NPF =. 6. S бок =. 9. S бок = FO = 6.

81 ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА FABCDEK правильная пирамида. FO (ABO). 1. Дано: AFD равносторонний, AF = 4. Найдите S осн. 2. Дано: FM AK, FM = 5, FO = 4. Найдите AB. 3. Дано: CFK равносторонний, BK =. Найдите FO. 4. Дано: AB = 6, FO = 8. Найдите ρ(o, FD). 5. Дано: AB =, FO = 8. Найдите ρ(o, (DFE)). 6. Дано: AB =, FO = 8. Найдите ρ(kc, (DFE)). 7. Дано: AB =, FO = Дано: AB =, FO = 8.

82 Найдите ρ(k, (DFE)). Найдите ρ(ab, (DFE)). 9. Дано: AB =, FO = 8. Найдите cos ((ABC), (DFE)). 10. Дано: AB =, FO = 4. Найдите cos (BK, FE). 11. Найдите (BK, FD). 12. Найдите (AC, FE).

83 Правильная шестиугольная пирамида 1. S осн =. 7. ON = 4,8. 2. AB =. 8. LN = 9,6. 3. FO =. 9. cos OMF = 0,6. 4. OM = 4, cos FEC = 0, ON = 4, (BK, FD) = ON = 4, (AC, FE) = 90.

84 НЕПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА 1. Дано: ABC, ACB = 90, DO (ABC), DO = 8, O точка пересечения медиан, AD = 10, AC =. Найдите BC. 2. Дано: ABC, ACB = 90, AC = CB, DO (ABC), AD = 5, DO = 3, O точка пересечения медиан. Найдите S осн. 3. Дано: ABC, ACB = 90, AO = OB = 9, DO (ABC), Q точка пересечения медиан, DQ = 5. Найдите DO. 4. Дано: ABC, ACB = 90, AC = 3, BC = 4, DO (ABC), O центр вписанной окружности, DO =. Найдите ρ(d, AC). 5. Дано: ABC, ACB = 90, AC = 6, BC = 8, DO (ABC), DO =, O центр вписанной окружности. Найдите S ADC. 6. Дано: ABC, ACB = 90, AC = 6, BC = 8, DO (ABC), DO =, O центр вписанной окружности. Найдите S бок.

85 7. Дано: ABCD прямоугольник, FO (ABC), AD = 3, FC = 5, DC = 4. Найдите AFC. 8. Дано: ABCD прямоугольник, FO (ABC), FO = 12, радиус описанной около основания окружности равен 5. Найдите cos (FD, ABC). 9. Дано: ABCD ромб, BAD = 60, FO (ABC), FO = 1, FM DC, FM = 2. Найдите AD. 10. Дано: ABCD ромб, AC = 12, BD = 16, FO (ABC), FO = 1,4. Найдите апофему боковой грани. 11. Дано: ABCD квадрат, AB =, FO (ABC), FO = 8, AO : OC = 3 : 1. Найдите большее боковое ребро. 12. Дано: ΔABC равносторон-ний, AB =, DO (ABC), DO = 3, CO : OM = 1 : 2. Найдите cos ((ADB), (ABC)).

86 Неправильная пирамида 1. BC = S ADC = AD = S осн = 14,4. 6. S бок = FM = DO = AFC = AF = DM = cos FDO =. 12. cos DMO = 0,8.

87 ПИРАМИДА, У КОТОРОЙ ОДНО ИЗ БОКОВЫХ РЕБЕР ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ОСНОВАНИЮ 1. Дано: ABC, АC = AB = 13, CN = NB, AN = 12, AD (ABC), AD = 5. Найдите S BCD. 2. Дано: ABC, ACB = 90, AC = CB = 6, AD (ABC), AD = 8. Найдите S BCD. 3. Дано: ABC, AB = BC = AC = 2, AD (ABC), AD = 1. Найдите S BCD. 4. Дано: ABC, ACB = 90, AD (ABC), AD = 4, ACD = 30, BD = 10. Найдите S BCD. 5. Дано: ABCD квадрат, BF (ABC), DF = 8, BFD = 30. Найдите S осн. 6. Дано: ABCD квадрат, BF (ABC), BF =, BFM = 45, DM = MC. Найдите S осн.

88 7. Дано: ABCD квадрат, S ABCD = 6, BF (ABC), FDB = 60. Найдите BF. 8. Дано: ABCD квадрат, S ABCD = 4, BF (ABC), BF =. Найдите S AFD. 9. Дано: ABCD ромб, BAD = 60, AB = 6, BF (ABC), BDF = 45. Найдите BF. 10. Дано: ABCD ромб, BAD = 60, BM = (ABC), BDF = 45. Найдите BF., DM = MC, BF 11. Дано: ABCD ромб, BAD = 30, AB = 6, BK AD, BF (ABC), BF = 4. Найдите S AFD. 12. Дано: ABCDEF правильный шестиугольник, BS (ABC), BS = AB. Найдите SFB.

89 Пирамида, у которой одно из боковых ребер перпендикулярно основанию 1. S BCD = S BCD = BF = BF = S BCD = S осн = S AFD = S AFD = S BCD = S осн = BF = SFB = 30.

90 ПИРАМИДА, ОКОЛО ОСНОВАНИЯ КОТОРОЙ ОПИСАНА ОКРУЖНОСТЬ 1. Дано: DAO = DBO = DCO = = 45, ACB = 90, AC = 6, CB = 8. Найдите H. 2. Дано: AF = BF = CF = DF, FO (ABC), ABCD прямоугольник, AB = 6, AD = 8, AF = 13. Найдите H. 3. Дано: AD = CD = BD, DO (ABC), AОC = 70. Найдите ABC. 4. Дано: DO (ABC), AO = OB = = OC, AD + CD + BD = 6. Найдите AD + 2CD + 3BD. 5. Дано: AD = BD = CD = 13, DO (ABC), DO = 12, ABC = 30. Найдите AC. 6. Дано: DAO = DCO = DBO = = 45, DO (ABC), BC = 8, CAB = 30. Найдите DO.

91 7. Дано: DAO = DCO = DBO, DO (ABC), DO = 3, DC = 5, ACB = 90. Найдите AB. 8. Дано: AD = BD = CD = 13, DO (ABC), ABC, ACB = 90, ABC = 30, AC = 5. Найдите DO. 9. Дано: AD = BD = CD = 25, DO = 24, ABC = 30. Найдите AC. 10. Дано: AD = BD = CD, AB = BC = 6, ABC = 120, DO (ABC), DO = 8. Найдите AD. 11. Дано: ABCD параллелограмм, AB = 6, AF = BF = CF = = DF = 13, FO (ABC), FO = 12. Найдите S осн. 12. Дано: ABCD ромб, AB = 3, AF = BF = CF = DF. Найдите S осн.

92 Пирамида, около основания которой описана окружность 1. H = Σ = AB = AD = H = AC = DO = S осн = ABC = DO = AC = S осн = 9.

93 ПИРАМИДА, В ОСНОВАНИЕ КОТОРОЙ ВПИСАНА ОКРУЖНОСТЬ 1. Дано: MD AB, ND BC, KD AC, MD = ND = KD =, DO (ABC), DKO = 30, S осн. = 48. Найдите P осн. 2. Дано: MD AB, ND BC, KD AC, DO (ABC), DMO = DNO = DKO = 45, AB = АC = = 10, BC = 12. Найдите DO. 3. Дано: MD AC, ND BC, KD AB, DO (ABC), DO = 4, AB = AC = 10, BC = 12. Найдите MD. 4. Дано: MD AB, ND BC, KD AC, DO (ABC), DMO = = DNO = DKO = 60, AB = = FC = 10, BC = 12. Найдите S бок.

94 5. Дано: MD AB, ND BC, KD AC, DO (ABC), MD = ND == KD = 4, ACB = 90, AC = 6, BC = 8. Найдите угол наклона боковых граней к (ABC). 6. Дано: MD AB, ND BC, KD AC, DO (ABC), DO =, MD = ND = KD, ACB = 90, AC = 3, BC = 4. Найдите S бок. 7. Дано: ABCD параллелограмм, A = 30, MF AB, NF BC, KF DC, LF AD, MF = NF = = KF = LF = 5, FO (ABC), FO = 4. Найдите P осн. 8. Дано: ABCD прямоугольник, MF AB, NF BC, KF DC, LF AD, MF = NF = = KF = = LF = 5, FO (ABC), FO = 4. Найдите S осн.

95 9. Дано: ABCD трапеция, AB = = CD, ABC = 30, FO (ABC), O центр вписанной в трапецию окружности, FO = 3, FM = 5, OM BC. Найдите P осн. 10. Дано: ABCD трапеция, AB = CD, ABC = 30, P ABCD = 48, FO (ABC), O центр вписанной в трапецию окружности, OM BC, FM = 5. Найдите FO. 11. Дано: MD AC, ND BC, KD AB, MD = ND = KD, DO (ABC), DO =, AB = 8, BC = 10, AC = 12. Найдите MD. 12. Дано: MD AC, ND BC, KD AB, MD = ND = KD, DO (ABC), DO =, AB = 9, BC = 13, AC = 14. Найдите MD. Пирамида, в основание которой вписана окружность 1. P осн = S бок = P осн = FO = DO = DKO = S осн = MD = MD = S бок = P осн = MD = 4.

96 Сечения многогранников СЕЧЕНИЯ КУБА ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 1. Дано: CM = MC 1 = CN = ND, S AB1 MN = 36. Найдите S MNK. 2. Дано: BC : CK = 3 : 2, AB 1 = 15. Найдите MN. 3. Дано: AM = MB, BN = NB 1, B 1 K = KC 1, C 1 P = PD 1, D 1 E = ED, AF = FD. Найдите NKP. 4. Дано: AM = MB, BN = NB 1, B 1 K = KC 1, C 1 P = PD 1, D 1 E = ED, AF = FD, S MNKPEF =. Найдите S ABCD. 5. Дано: AM = MB, BN = NB 1, B 1 K = KC 1, C 1 P = PD 1, D 1 E = = ED, AF = FD, S ABCD = 4. Найдите S MNKPEF. 6. Дано: AM = MB, BN = NB 1, B 1 K = KC 1, C 1 P = PD 1, D 1 E = = ED, AF = FD, NF =. Найдите AB.

97 7. Дано: AM = MD, DN = ND 1, DP = PC, AB =. Найдите S MNP. 8. Дано: AB =. Найдите S AB1 C. 9. Дано: BD 1 (AB 1 C) = M. Найдите (BD 1, (AB 1 C)). 10. Дано: BD 1 (AB 1 C) = M, AB =. Найдите ρ(d 1, (AB 1 C)). 11. Дано: AC 1 (A 1 BD) = M, DB 1 = 6. Найдите ρ(a, (A 1 BD)). 12. Дано: AC 1 (A 1 BD) = M, AC 1 (B 1 CD 1 ) = N, AC 1 = 30. Найдите MN.

98 Сечения куба 1. S MNK = S сеч =. 9. α = MN = AB = D 1 M = NKP = S MNP =. 11. AM = S ABCD = S сеч =. 12. MN = 10.

99 СЕЧЕНИЯ В ПИРАМИДЕ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА 1. Дано: FABCD пирамида, ABCD квадрат, AB = 6, (A 1 B 1 C 1 ) (ABC), Q (A 1 B 1 C 1 ), FQ = QO, FO (ABC). Найдите S A1 B 1 C 1 D Дано: FABCD пирамида, ABCD квадрат, AB = 5, (A 1 B 1 C 1 ) (ABC), AA 1 : A 1 F = 3 : 2. Найдите S A1 B 1 C 1 D Дано: ABC, ACB = 90, AC = 3, AB = 5, CD (ABC), CD = CB, AM = MC, AN = NB, (MNK) (BCD). Найдите S MNK. 4. Дано: ABC, CD (ABC), CD = 4, AC = BC = 5, CK AB, CK = 3, CC 1 = C 1 D, (ABC) (A 1 B 1 C 1 ). Найдите S бок. DA1 B 1 C 1.

100 5. Дано: FABC пирамида, (A 1 B 1 C 1 ) (ABC), FO (ABC), FO (A 1 B 1 C 1 ) = Q, FQ : FO = = 1 : 2, S бок.fabcd = 32. Найдите S бок.fa1 B 1 C Дано: FABCD пирамида, (A 1 B 1 C 1 ) (ABC), AA 1 : A 1 F = 1, S бок.fa1 B 1 C 1 = 16. Найдите S бок. усеч. шир. 7. Дано: FABC пирамида, AB = AC = BC = AF = BF = CF = 6, FO (ABC), O (MNK), (MNK) (BCF). Найдите S MNK. 8. Дано: FABC пирамида, AB = AC = BC = AF = BF = CF = 8, AM = MВ, AK = KC, (MNK) (BCF). Найдите S MNK.

101 9. Дано: FABC пирамида, AF (ABC), AF (MNK), AB = AC = CB = 6, AM : AF = 1 : 3. Найдите S сеч. 10. Дано: FABC пирамида, AF (ABC), AF (MNK), AF = AB = = AC = CB = 6, AM : MC = 1 : 2. Найдите S сеч. 11. Дано: FABC пирамида, AB = AC = BC = AF = BF = = CF = 6, AM = MB, AK = KC, (MNK) AF. Найдите S сеч. 12. Дано: FABC пирамида, AB = AC = BC = AF = BF = = CF = 6, (MNK) (ABC), S бок. усеч. пир. =. Найдите MN. Сечения в пирамиде. Усеченная пирамида 1. S сеч = S бок = S сеч =. 10. S сеч = S сеч = S бок = S сеч =. 11. S сеч = S сеч = S бок = S сеч =. 12. MN = 2.

102 Векторы в пространстве ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, B 1 E = EC 1, C 1 F = FD 1, А 1 М = МВ 1. Найдите векторы, указанные на рисунке: 1) сонаправленные ; 2) имеющие длину, равную длине ; 3) равные. 2. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 правильная призма, A 1 F = FC 1, C 1 E = EB 1, AM = MC, AN = NB. Назовите векторы, указанные на рисунке: 1) противоположно направленных ; 2) имеющих длину, равную длине ; 3) равные. 3. Дано: ABCD правильная пирамида, AB = AD, AM = MB, AN = = NC, DE = EB, DF = FC. Назовите векторы, указанные на рисунке: 1) сонаправленные ; 2) имеющие длину, равную длине ; 3) равные.

103 4. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 призма, ABCD ромб, A 1 AB = A 1 AD, A 1 E = EB 1, A 1 F = FD 1. Назовите векторы, указанные на рисунке: 1) сонаправленные ; 2) противоположно направленные. 3) имеющие длину, равную длине. 5. Дано: DABC пирамида, AB = 6, NC = 4, CD = 12, AM = MC, BN = NC, DK : KC = 1 : 5. Найдите: 6. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, AB = 9, AD = 8, AA 1 = 12. Найдите:

104 7. Дано: DABC пирамида, AD (ABC), ACB = 90, AD = 3, AC = 4, CB = 12. Найдите: 8. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, A 1 AC = A 1 AB, AA 1 = 4, AB = BC = AC = 3. Найдите: 9. Дано: FABCD правильная пирамида, AC BD = O, FE = EC, EN = NC, OP = PD. Какие векторы, из указанных на рисунке, коллинеарны? 10. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 правильная призма, CE = EC 1, BF = FB 1, FM = MB 1, AD : DC = 3 : 1. Какие векторы, из указанных на рисунке, коллинеарны?

105 11. Дано: DABC пирамида, AM = MB, BN = NC, E и F точки пересечения медиан граней ABD и BDC соответственно, AC = 18. Коллинеарны ли и? Найдите. 12. Дано: FABCD правильная пирамида, ABCD параллелограмм, AM = MB, DN = NC, E и P точки пересечения медиан граней ABF и CDF соответственно, AD = 12. Коллинеарны ли и? Найдите.

106 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ 1. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма. Найдите: а) ; б). 2. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма. Найдите: а) ; б). 3. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. Укажите вектор, равный: а) ; б). 4. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. Укажите вектор, равный: а) ; б).

107 5. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. Укажите вектор, равный: а) б). ; 6. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. Укажите вектор, равный: а) б). ; 7. Дано: FABCD пирамида, ABCD прямоугольник, AB = 8, BC = 15. Найдите. 8. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, AB = BC = AC =, AM = MB. Найдите.

108 9. Дано: DABC правильная пирамида, AB =. 10. Дано: FABCD правильная пирамида, AB = 6. Найдите Найдите Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, A 1 AB = A 1 AC, AС = АB, ВC = 6, AA 1 = 8. Найдите. 12. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 призма, ABCD ромб, A 1 Q (ABC), Q AC, AB = 5, AC = 6, AA 1 = 6. Найдите. Сложение и вычитание векторов

109 Найдите: k, m, n. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 2. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. 3. Дано: DABC пирамида, AM = MB, BN = NC,. 4. Дано: DABC пирамида, AM = MB, BN = NC,.

110 5. Дано: DABC пирамида, AM = MB, BN = NC, AF = FD, DP = PC, NF MP = Q. 6. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, ACC 1 = BCC 1. 7. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед,. 8. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед,.

111 9. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 призма, BC 1 B 1 C = M,. 10. Дано: DABC пирамида, BM = MD, MN = NC,. 11. Дано: DABC пирамида, AM = MC, BN = NC, BM AN = O,. 12. Дано: DABC пирамида, AM = MC, BN = NC, BM AN = O,.

112 Умножение вектора на число 1. k = 1, m = 2, n =. 7. k =. 2. k = 2, m = 1, n =. 8. k = k =. 9. k = 1, m =, n =. 4. k =. 10. k =, m =, n =. 5. k = 2, m =, n = k =. 6. k =, m = 1, n = k = 1, m = 1, n = 3.

113 КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Найдите: k, m, n. 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, 2. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. 3. Дано: DABC пирамида, ABCD параллелограмм,. 4. Дано: FABCD пирамида, ABCD параллелограмм,.

114 5. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб, CP = PC 1, 6. Дано: DABC пирамида, AM = MC. 7. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, DC 1 CD 1 = M,. 8. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, AN = NB, B 1 P = PN,.

115 9. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, DP : PC 1 = 5 : 3,. 10. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед, AM : MD = 2 : 7, DP : PC 1 = 3 : 5,. 11. Дано: DABC пирамида, AM = MC, BN = NC, BM AN = O, 12. Дано: DABC пирамида, AM = MC, AN = NB, BM CN = = O, AP : PD = 1 : 3,

116 Компланарные векторы k =, m =, n =. 3. k =, m =, n = k = 1, m =, n =. 4. k = 1, m = 1, n = k =, m = 1, n =. 5. k = 1, m = 1, n =. 10. k =, m =, n =. 6. k =, m = 1, n =. 11. k =, m =, n =. 7. k =, m = 1, n =. 12. k =, m =, n =.

📸 Видео

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

6 класс, 44 урок, Параллельные прямыеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать