Как найти хорду окружности по дуге

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Как посчитать хорду окружности

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Онлайн калькулятор

Как найти хорду окружности по дуге

Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)

Как посчитать длину хорды (градусы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Как посчитать длину хорды (радианы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Теория

Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?

Формула

Пример

Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Формула длины хорды окружности

Хорда — отрезок соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности, самая большая хорда.

L — хорда

R — радиус окружности

O — центр окружности

α — центральный угол

Формула длины хорды, ( L ):

Как найти хорду окружности по дуге

Калькулятор для расчета длины хорды окружности :

Дополнительные формулы для окружности:

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как найти хорду окружности по дугеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как найти хорду окружности по дугеСвойства хорд и дуг окружности
Как найти хорду окружности по дугеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти хорду окружности по дугеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти хорду окружности по дугеТеорема о бабочке

Как найти хорду окружности по дуге

Видео:Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак найти хорду окружности по дуге
КругКак найти хорду окружности по дуге
РадиусКак найти хорду окружности по дуге
ХордаКак найти хорду окружности по дуге
ДиаметрКак найти хорду окружности по дуге
КасательнаяКак найти хорду окружности по дуге
СекущаяКак найти хорду окружности по дуге
Окружность
Как найти хорду окружности по дуге

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти хорду окружности по дуге

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти хорду окружности по дуге

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти хорду окружности по дуге

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти хорду окружности по дуге

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти хорду окружности по дуге

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти хорду окружности по дуге

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак найти хорду окружности по дугеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак найти хорду окружности по дугеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак найти хорду окружности по дугеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак найти хорду окружности по дугеУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак найти хорду окружности по дугеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как найти хорду окружности по дуге

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак найти хорду окружности по дуге

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак найти хорду окружности по дуге

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак найти хорду окружности по дуге

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак найти хорду окружности по дуге

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак найти хорду окружности по дуге

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак найти хорду окружности по дуге

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти хорду окружности по дуге

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак найти хорду окружности по дуге
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак найти хорду окружности по дуге
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак найти хорду окружности по дуге
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак найти хорду окружности по дуге

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти хорду окружности по дуге

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Пересекающиеся хорды
Как найти хорду окружности по дуге
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как найти хорду окружности по дуге
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как найти хорду окружности по дуге
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как найти хорду окружности по дуге
Пересекающиеся хорды
Как найти хорду окружности по дуге

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти хорду окружности по дуге

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Видео:Задание 16 из ОГЭ. Найдите длину большей дуги.Скачать

Задание 16 из ОГЭ. Найдите длину большей дуги.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Тогда справедливо равенство

Как найти хорду окружности по дуге

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как найти хорду окружности по дуге

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти хорду окружности по дуге

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как найти хорду окружности по дуге

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти хорду окружности по дуге

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как найти хорду окружности по дуге

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Как найти хорду окружности по дуге

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как найти хорду окружности по дуге

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📹 Видео

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хордСкачать

Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хорд

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Окружность круг хорда диаметр радиус дуга сектор сегментСкачать

Окружность   круг   хорда   диаметр   радиус   дуга   сектор   сегмент
Поделиться или сохранить к себе: