Противоположные стороны шестиугольника лежат на параллельных прямых

Видео:№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

Противоположные стороны шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющ

Противоположные стороны шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

Решение:
Пусть ABCDEF — шестиугольник, в котором AB = DE и AB || DE, BC = EF и BC || EF, CD = AF и CD || AF. Противоположные стороны AB и DE четырёхугольника ABDE равны и параллельны, поэтому ABDE — параллелограмм. Его диагональ AD проходит через середину O диагонали BE. Аналогично докажем, что диагональ FC параллелограмма BCEF также проходит через точку O.

Видео:№557. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причем точки В и D лежатСкачать

Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

Выведены следующие важные свойства равноугольных шестиугольников:

1) Противоположные стороны параллельны.

2) Биссектрисы углов параллельны сторонам.

3) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

4) Три средние линии пересекаются в одной точке.

5) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

Если в шестиугольнике присутствует равноугольность и равносторонность в каких-то комбинациях, то это становится основанием для новых свойств.

Выведены следующие важные свойства полуправильных шестиугольников:

1)Продолжения сторон полуправильного шестиугольника пересекаются под углом 60°.

2)Диагонали полуправильного шестиугольника равны.

3) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его углы равны между собой.

4) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его стороны равны между собой.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Скачать:

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

Предварительный просмотр:

ГБОУ БАШКИРСКАЯ РЕСПУБЛИКАНСКАЯ

ГИМНАЗИЯ-ИНТЕРНАТ №1 ИМЕНИ РАМИ ГАРИПОВА

«Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников»

обучающаяся 11 класса

имени Рами Гарипова

Руководитель: Габдуллина Л.Т.

1.Муниципальное образование: Республиканское ОУ

2.Фамилия, имя, отчество участника: Хабилова Алия Ильдаровна,

3.Общеобразовательное учреждение (по Уставу): Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Башкирская республиканская гимназия-интернат №1 имени Рами Гарипова

5.Домашний адрес: Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Российская, 88

7.Название работы: Равносторонние и равноугольные шестиугольники

8.Фамилия, имя, отчество руководителя: Габдуллина Лилия Талгатовна

Должность: учитель математики

Место работы: ГБОУ БРГИ №1 имени Рами Гарипова

Тема: Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

Актуальность и новизна работы . В школьных учебниках геометрии содержится очень много сведений – теорем, свойств четырехугольников. Изучены, в том числе, свойства следующих видов четырехугольников:

— равносторонний четырехугольник — ромб,

— равноугольный четырехугольник — прямоугольник,

— правильный четырехугольник — квадрат,

— полуправильный четырехугольник – параллелограмм (у него стороны и углы равны через одного).

Шестиугольник является одним из самых распространенных многоугольников в окружающем нас мире, их содержат в себе кристаллические решетки многих химических элементов. В учебниках геометрии и дополнительных источниках информации содержатся сведения про правильный шестиугольник. Влияние на свойства шестиугольника его равноугольность, равносторонность или же полуправильность (равенство сторон и углов через одного) не рассмотрено, свойства изучены недостаточно, что и вызвало актуальность данного исследования.

Цель работы: выявить закономерности, показывающие взаимосвязь между равенством углов или сторон шестиугольника и его свойствами.

Объект исследования : стороны и углы шестиугольника.

Предмет исследования : свойства равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

Проблема и задачи. В рамках выполнения данной исследовательской работы решаются следующие проблемы и вытекающие из них задачи:

— определение новых видов шестиугольников;

— изучение их свойств с помощью компьютерной программы «Живая геометрия» и доказательство;

— определение возможностей применения информационно-компьютерных технологий для открытия новых свойств геометрических фигур.

— анализ научной и учебной литературы;

Основные итоги и выводы.

Выведены следующие важные свойства равноугольных шестиугольников:

1) Противоположные стороны параллельны.

2) Биссектрисы углов параллельны сторонам.

3) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

4) Три средние линии пересекаются в одной точке.

5) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

Если в шестиугольнике присутствует равноугольность и равносторонность в каких-то комбинациях, то это становится основанием для новых свойств.

Выведены следующие важные свойства полуправильных шестиугольников:

1)Продолжения сторон полуправильного шестиугольника пересекаются под углом 60 ° .

2)Диагонали полуправильного шестиугольника равны.

3) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его углы равны между собой.

4) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его стороны равны между собой.

Практическое значение. Результаты и выведенные свойства шестиугольников новых видов могут стать основой для дальнейшего изучения многоугольников различных видов, помогут выяснить геометрические закономерности и соотношения между сторонами и углами многоугольников. Полученные знания способствуют пониманию соотношения между равносторонностью и равноугольностью в шестиугольниках и подойти у изучению темы «Правильные шестиугольники» с другого ракурса.

Тема: Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

В школьных учебниках геометрии содержится очень много сведений – теорем, свойств четырехугольников. Изучены, в том числе, свойства следующих видов четырехугольников:

— равносторонний четырехугольник — ромб,

— равноугольный четырехугольник — прямоугольник,

— правильный четырехугольник — квадрат,

— полуправильный четырехугольник – параллелограмм (у него стороны и углы равны через одного).

Шестиугольник является одним из самых распространенных многоугольников в окружающем нас мире, их содержат в себе кристаллические решетки многих химических элементов. В учебниках геометрии и дополнительных источниках информации содержатся сведения про правильный шестиугольник. Влияние на свойства шестиугольника его равноугольность, равносторонность или же полуправильность (равенство сторон и углов через одного) не рассмотрено, свойства изучены недостаточно, что и вызвало актуальность данного исследования.

По итогам нашего исследования мы сделали вывод о том, что равносторонность для шестиугольника более слабое качество, чем равноугольность, у равностороннего шестиугольника никаких интересных свойств нет, т.е. требование равенства всех сторон слишком слабое.

Найти свойства равноугольного шестиугольника помогла следующая конструкция: продлим стороны до пересечения через одну, получим два правильных треугольника.

Выведены следующие важные свойства равноугольных шестиугольников:

1) Противоположные стороны параллельны.

2) Биссектрисы углов параллельны сторонам.

3) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

4) Три средние линии пересекаются в одной точке.

5) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

Если в шестиугольнике присутствует равноугольность и равностонность в каких-то комбинациях, то это становится основанием для новых свойств.

Выведены следующие важные свойства полуправильных шестиугольников:

1)Продолжения сторон полуправильного шестиугольника пересекаются под углом 60 ° .

2)Диагонали полуправильного шестиугольника равны.

3) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его углы равны между собой.

4) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его стороны равны между собой.

Полученные знания способствуют пониманию соотношения между равносторонностью и равноугольностью в шестиугольниках и подойти у изучению темы «Правильные шестиугольники» с другого ракурса.

1. Исследование свойств равноугольных шестиугольников……..9
2. Равносторонние шестиугольники………………………………14
3. Полуправильные шестиугольники……………………………. 16

Введем три определения для классификации многоугольников.

Определение 1. Многоугольник называется равноугольным , если у него все углы равны.

Примером равноугольного четырёхугольника является прямоугольник. У него много интересных свойств: равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, около него можно описать окружность. Имеются ли аналогичные или новые свойства у равноугольного шести угольника?

Определение 2. Многоугольник называется равносторонним , если у него равны все стороны.

Например, равносторонний четырёхугольник – это ромб. У него равны противоположные углы, диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равностороннего шести угольника?

Определение 3. Будем называть многоугольник с четным количеством сторон полуправильным, если у него стороны равны через одну и углы равны через один.

Полуправильный четырёхугольник – это параллелограмм, у него много интересных свойств, а у полуправильного шестиугольника обнаружатся ли какие-нибудь свойства?

1. Исследование свойств равноугольных шестиугольников

Определение 1 . Многоугольник называется равноугольным , если у него все углы равны.

Примером равноугольного четырёхугольника является прямоугольник. У него много интересных свойств: равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, около него можно описать окружность. Имеются ли аналогичные или новые свойства у равноугольного шести угольника?

В ходе нашего исследования нам удалось обнаружить и доказать интересные свойства, которые мы оформили в виде задач.

Задача 1. Найти градусную меру внутреннего угла равноугольного шестиугольника.

Решение. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF.

Сумма углов внутренних углов любого выпуклого многоугольника вычисляется по формуле S=180 °(n-2), где n – количество сторон многоугольника. Для шестиугольника n=6, подставим под формулу и получим:

Т.к. у равноугольного шестиугольника все углы равны, найдем внутренний угол шестиугольника: α=720 ° /6=120 °

Задача 2. Доказать, что если стороны равноугольного шестиугольника продлевать до пересечения через одну, то получатся два правильных треугольника.

Доказательство. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF.

1.Продолжим стороны до пересечения через одну до пересечения и обозначим точки пересечения N,P,K,G,M,L (см. рис.). Образуются треугольники MNK и LGP.

2.Рассмотрим треугольник MAF. ∠ A является смежным с внутренним углом ∠ FAB, равным 120°, значит , ∠ А =60°. Аналогично, ∠ B = 60°. Значит, ∠ M=180°- ∠ А — ∠ B =180°-60°-60°=60°.

Аналогично, ∠ N= ∠ P= ∠ K= ∠ G= ∠ L =60°. Следовательно, треугольники MNK и LGP равносторонние.

Задача 3. Доказать, что противоположные стороны равноугольного шестиугольника параллельны.

Продолжим стороны равноугольного шестиугольника ABCDEF до пересечения через одну до пересечения и обозначим точки пересечения N,P,K,G,M,L (см. рис.) и рассмотрим четырехугольник LBPE. Так как PE-секущая для прямых BP и LE , а накрест лежащие углы при этом равны: ∠ BPE = ∠ PEK = 60 °, то прямые, а значит, и стороны BP и LE параллельны между собой.

Аналогично, AB параллельна ED, СD параллельна AF.

Таким образом, противоположные стороны равноугольного шестиугольника параллельны.

Задача 4. Доказать, что биссектрисы внутренних углов равноугольного шестиугольника углов параллельны его сторонам.

Доказательство. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF, проведем биссектрисы углов шестиугольника. Рассмотрим биссектрису BE и сторону СD. Накрест лежащие при прямых BE , CD и секущей DE углы равны ∠ FED = ∠ DEL= 60 °, то биссектриса BE параллельна стороне СD.

Аналогично, сторона BC параллельна биссектрисе AD, сторона AB параллельна биссектрисе FС, сторона AF параллельна биссектрисе BE, сторона FE параллельна биссектрисе AD, сторона ED параллельна биссектрисе FC.

Задача 5. Доказать что сумма длин двух смежных сторон равноугольного шестиугольника равна сумме двух противоположных смежных сторон

Доказательство. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF.

1. Рассмотрим треугольники CPD и MAF, они равносторонние. Пусть стороны CP= СD=DP =y, AF=MA=MF =a (стороны треугольников равны), BC =x, FE =b.
2. Рассмотрим параллелограмм MBPE. Найдем стороны параллелограмма:

Так как стороны BP и ME- противолежащие стороны параллелограмма, то они равны, значит, x+y=a+b. Следовательно, BC+CD=AF+FE. Что и требовалось доказать.

Задача 6. Доказать, что три средние линии равноугольного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF.

Проведем медианы с вершин N и G треугольников MNK, LGP. Рассмотрим треугольник MON, проведем среднюю линию JQ, следовательно, JQ параллельна MN. Рассмотрим треугольник MNK, проведем среднюю линию HW, значит MN параллельна HW. JQ=1/2 MN, HW=1/2 MN. Следовательно, JQ=HW и JQWH-параллелограмм. В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам, значит, в шестиугольнике ABCDEF-средние линии пересекаются в одной точке.

Задача 7. Доказать, что середины больших диагоналей равноугольного шестиугольника являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

Доказательство. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF

1. Проведем большие диагонали BE и CF, пусть O-середина CF, O 2 — середина AD, O 3 -середина BE. Четырехугольник FBCE является трапецией, так как FC параллельна FE (по доказанному). O 1 и O 3 являются серединами ее диагоналей.
2. Известно свойство: отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности. Тогда O 1 O 3 параллелен сторонам трапеции BC и FE. Аналогично, O 1 O 2 параллелен основаниям AF и CD трапеции AFDC; O 2 O 3 паралеллен основаниям AB и DE трапеции ABDE
3. Итак, доказано, что стороны треугольника O 1 O 2 O 3 параллельны сторонам шестиугольника. Так как O 1 O 3 параллельна BC, а O 2 O 3 параллельна DE, то угол между сторонами O 1 O 3 и O 2 O 3 равен углу между прямыми BC и DE, то есть равен 60 ° (по доказанному). Аналогично доказываем, что углы между O 1 O 3 и O 1 O 2 так же равны 60 °, тогда он равносторонний. Что и требовалось доказать.

• Следствие 1. Каждая сторона треугольника O 1 O 2 O 3 равна полуразности сторон равноугольного шестиугольника, параллельных этой стороне .
• Следствие 2. Если противолежащие стороны равноугольного шестиугольника равны, то все большие диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам .

Изготовление равноугольного шестиугольника.

Надо взять два равносторонних треугольника и наложить их так, чтобы каждая сторона одного треугольника пересекала две стороны другого, при этом прямая проходящая через эти точки пересечения должна быть параллельной оставшейся (третьей) стороне. Соединяя шесть полученных точек, получим равноугольный шестиугольник.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Пущинские математические регаты учебный год (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

2) Для любых ли положительных чисел с и d верно неравенство: . В каких случаях оно превращается в верное равенство?

Решение. Неравенство верно для любых с и d. В верное равенство оно превращается при с = d. Докажем это.

1 способ. Для положительных a и b существуют такие положительные с и d,что , . Подставим эти выражения в неравенство 1): : . Отсюда получаем .

2 способ. Вычтем из левой части неравенства правую:

Это неравенство верно для всех положительных с и d и превращается в равенство только при с = d.

3) Найдите наименьшее значение функции . При каком х оно достигается?

Решение. Применим доказанное неравенство :

.

Найдем, при каких х достигается это наименьшее значение, равное 4. Так как неравенство превращается в верное равенство только при с = d, то должно быть равно . Отсюда х=1.

3.3. 1) В выпуклом шестиугольнике все углы равны. Чему они равны?

Решение. Выпуклый шестиугольник разбивается диагоналями на 4 треугольника, поэтому сумма всех его углов равна . Если все 6 углов равны, то получаем .

2) Найдите и докажите свойство противоположных сторон шестиугольника, все углы которого равны.

Решение. Противоположные стороны шестиугольника, у которого все углы равны, параллельны. Докажем это.

Назовем шестиугольник АВСDЕF, пусть G – тоска пересечения прямых АВ и ЕF, а Н лежит на прямой ВС так, что точка В лежит между Н и С. Углы GAF, GFА и НВА равны 60о, как смежные с углами 120о. В треугольнике AGF два угла по 60о, следовательно, угол AGF равен также 60о. Накрест лежащие углы при прямых GЕ и НС и секущей ВG равны, следовательно, прямые GЕ и НС параллельны. Аналогично доказывается параллельность других противоположных сторон.

3) В выпуклом шестиугольнике равны все углы и противоположные стороны. Найдите и докажите свойство диагоналей, соединяющих противоположные вершины.

Решение. В шестиугольнике с описанными свойствами большие диагонали пересекаются в одной точке (см. рисунок). Докажем это.

Рассмотрим четырехугольник АСDF, по условию стороны АF и СD равны, а доказанному в пункте 2) — параллельны. Следовательно, АСDF – параллелограмм. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Аналогичное рассуждение для другой пары диагоналей приводит к тому, что все три диагонали пересекаются в одной точке.

3.3. Произведение n первых натуральных чисел обозначается так: n! (читается так: «n-факториал»). Например, (1! считают равным 1).

1) На сколько нулей оканчивается число 10! ?

Решение. Количество нулей на конце произведения зависит от того, в каких степенях входят множители 2 и 5 в это произведение. При вычислении количества нулей в числе вида n! нас интересуют только количества множителей кратных 5, так как четных чисел больше, чем кратных 5. В 10! входит два множителя, кратных 5 в первой степени: 5 и 10. Значит, число оканчивается на два нуля.

2) При каком наименьшем n число n! оканчивается на 12 нулей?

Решение. Рассмотрим только те множители n!, которые кратны 5:

Мы видим, что на каждый десяток натуральных чисел приходится два числа, кратные 5 в первой степени и через каждые 25 чисел встречается число (25, 50, 75…) кратное 52. В произведении 50! Восемь чисел, кратных только 5 и два числа, кратных 52. Значит, оно оканчивается на 12 нулей. Числа меньшие 50! Оканчиваются не больше, чем на 10 нулей.

3) На какую цифру оканчивается сумма 1!+2!+3!+…+2007! ?

Решение. Все числа, начиная с 5! Оканчиваются на 0, значит, последняя цифра будет зависеть только от последней цифры суммы первых четырех факториалов: 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33.

4.1. Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, у которого есть следующие корни:

1) , 2) , 3) .

Решение. 1) , 2) , 3)

1 способ. По теореме Виета для уравнения имеем:

2 способ. Так как уравнение имеет корни , то уравнение имеет корни на 1 больше – то есть те, какие нам нужны . Раскрывая скобки, получим .

4) . Решение.

Сделав замену ,получим уравнение из пункта 3), его корни: , следовательно, корни исходно уравнения.

5) . Решение. .

Представим выражение в следующем виде:

Найдем сначала квадратное уравнение вида , имеющее корни .

Таким образом, уравнение имеет корни , значит, уравнение имеет корень .

4.2. 1) В выпуклом четырехугольнике последовательно соединили середины сторон и получили четырехугольник. Определите вид этого четырехугольника (докажите ваше утверждение).

Решение. Четырехугольник является параллелограммом. Докажем это.

Назовем четырехугольник АВСD, а его середины сторон K, L,M, и N (смотри рисунок).

Проведем диагональ ВD. Отрезки KL и MN являются средними линиями треугольников АВD и ВСD. Значит, оба они параллельны основанию ВD и равны его половине. Таким образом, в четырехугольнике KLMN две противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, он является параллелограммом.

2) Середины сторон выпуклого четырехугольника АВСD лежат на одной окружности. Каким свойством обладает четырехугольника АВСD? Докажите найденное свойство.

Решение. Диагонали четырехугольника АВСD перпендикулярны. Докажем это.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

В пункте 1) было доказано, что KLMN – параллелограмм, значит, его противоположные углы М и К равны. По отношению к окружности эти углы являются вписанными и опираются на две взаимно дополняющие дуги. По теореме о вписанном угле сумма углов М и К равна половине от 360о. Следовательно, углы М и К – прямые и KLMN – прямоугольник. Так как соседние стороны KLMN параллельны диагоналям четырехугольника АВСD, то диагонали четырехугольника АВСD перпендикулярны.

4.3. 1) От четырехугольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали 2 треугольника. Могла ли оставшаяся часть быть:

1) Шестиугольником, 2) Четырехугольником, 3) Треугольником.

Решение. Все три случая возможны. См. рисунки.

2) От 100-угольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали 100 треугольников. Могла ли оставшаяся часть быть:

Решение. При отрезании от n-угольника треугольника возможны три случая:

1) Прямая пересекает две соседние стороны во внутренних точках. В этом случае за одно отрезание число вершин увеличивается на 1.

2) Прямая проходит через две вершины

В этом случае за одно отрезание число вершин уменьшается на 1.

3) Прямая проходит через вершину и внутреннюю точку стороны.

В этом случае число вершин не меняется.

Таким образом, за 100 разрезов можно увеличить или уменьшить количество вершин на любое число, не большее 100. Отсюда следует, что оставшаяся часть могла быть 100-угольником. Для этого достаточно сделать все 100 разрезов типа 3 (вершина – внутренняя точка стороны). Оставшаяся часть может быть треугольником. Для этого нужно сделать 97 разрезов типа 2 (вершина-вершина) и 3 разреза типа 3 (вершина– внутренняя точка стороны). А 300-угольником оставшаяся часть быть не может, так как за 100 разрезов число вершин может увеличиться не больше, чем на 100.

3) От выпуклого n-угольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали n треугольников. В результате чего получили 2007-угольник. Чему может быть равно n?

Решение. n может быть любым натуральным числом большим или равным 1004. Докажем это.

Из 1004 угольника можно 1004 разрезами получить 2007 угольник, если 1003 из них сделать типа 1 (внутренняя точка стороны — внутренняя точка стороны), а один типа 3 (вершина– внутренняя точка стороны). Для любого n меньшего 2007 нужно сделать (2007 – n) разреза типа 1, а остальные типа 3. Для n=2007 нужно все разрезы сделать типа 3. Для любого n, большего 2007, нужно сделать (n-2007) разрезов типа 2 (вершина-вершина), а остальные типа 3.

5 тур (10 минут). Задачи, подобные задачам первых 4 туров, решения которых уже были разобраны.

2.1.* Задайте формулой функцию g(x), которая имеет область определения:

Решение. Например,

4.1.* Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, у которого есть корень: .

Решение. Пусть второй корень уравнения равен , тогда по теореме Виета легко найти коэффициенты, например, такого квадратного уравнения: .

3.2.* Чему равен угол в правильном 100-угольнике?

Решение.

2.2.* Разделите квадрат на пять частей одинаковой площади так, чтобы ни одна из частей не была прямоугольником. Решения поясните.

Разделим квадрат на 5 трапеций, с высотой равной стороне квадрата. Площадь каждой трапеции должна быть равна 1/5 площади квадрата, и, значит, средняя линия должна быть равна 1/5 стороны квадрата. На рисунке отрезок GF – средняя линия трапеции СDMN – равна 1/5 стороны AD, следовательно, площадь трапеции СDMN равна 1/5 площади квадрата.

2.3.* 1) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с шестью другими прямыми?

Решение. Разобьем девять прямых на три тройки параллельных и условие будет выполнено (см. рисунок).

2) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с семью другими прямыми?

Решение. Так расположить прямые нельзя. Если каждая прямая из девяти пересекается ровно с семью прямыми, значит, каждая прямая должна быть параллельна ровно одной прямой. Но разбить девять прямых на пары параллельных невозможно.

3) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с восемью другими прямыми?

Решение. Так расположить прямые можно, достаточно взять 9 прямых, никакие две из которых не параллельны друг другу.

3.3.* Произведение n первых натуральных чисел обозначается так: n! (читается так «n-факториал»). Например, (1! считают равным 1). Назовите две последние цифры суммы 1!+2!+3!+…+2007! ?

Решение. Число оканчивается на две цифры 0. Следовательно, две последних цифры суммы 1!+2!+3!+…+2007! будут зависеть только от двух последних цифр суммы первых девяти факториалов: 1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+9!=

1.1. 1) Придумайте уравнение четвертой степени, которое имеет ровно 2 корня.

Решение. Есть два самых простых способа получить искомое уравнение:

1. Взять квадратное уравнение с двумя корнями и возвести его в квадрат: , корни: .

2. Взять квадратное уравнение с двумя корнями и домножить его на квадратный трехчлен, не имеющий корней: , .

2) Придумайте неравенство четвертой степени, решением которого были бы только два числа: х=0, х=1.

Решение. Например, , левая часть неотрицательна и равна нулю только при х=0, х=1.

3) Придумайте неравенство шестой степени, решением которого были бы только два числа: х= -1, х=1.

Решение. Например, , левая часть неотрицательна и равна нулю только при х= -1, х=1.

1.2. Сколько существует плоскостей, которые разбивают куб на два равных многогранника. Как расположены все такие плоскости?

Решение. Таких плоскостей бесконечно много, все они проходят через центр куба.

Для начала рассмотрим квадрат и найдем те прямые, которые разбивают его на две равные фигуры. Очевидно, любая прямая, проходящая через центр квадрата является искомой (смотри рисунок). Это легко доказать, используя понятие центральной симметрии. Квадрат переходит сам в себя при центральной симметрии относительно своего центра, полуплоскости, на которые делит квадрат прямая, переходят друг в друга, а прямая сама в себя. Значит, для любой точки , из одной части квадрата найдется симметричная ей точка из другой части. Следовательно, части равны друг другу. Рассуждение для куба аналогично.

1.3. Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр.

1) Найдите десятое «замечательное» число

Решение. Десятое замечательное число: 19. Сумма его цифр равна 10 и все числа меньшие его имеют меньшую сумму цифр.

2) Найдите самое большое двухзначное «замечательное» число. Какой у него номер?

Решение. Самое большое двухзначное «замечательное» число: 99. Оно замечательное, так как самое маленькое из всех натуральных, имеющих сумму цифр, равную 18 – все другие числа, меньшие его, имеют хотя бы одну цифру меньшую, чем 9, а значит и меньшую сумму цифр. Номер числа – 18.

📹 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Параллельные прямые (задачи).Скачать

ОГЭ 2022 Математика Задача №23 Вариант 5 Сборник под редакцией Ященко 36 вариантов.Скачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Противоположные стороны параллелограмма равны 8 клСкачать

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 классСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать