Прообраз прямой при параллельном переносе

Прообраз прямой при параллельном переносе

Прообраз прямой при параллельном переносе

Пусть Прообраз прямой при параллельном переносе— вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки M пространства является такая точка M ′ , что вектор Прообраз прямой при параллельном переносе′ равен вектору Прообраз прямой при параллельном переносе: Прообраз прямой при параллельном переносе′ = Прообраз прямой при параллельном переносе(рис. 23).

Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М ′ , а для точки М ′ существует единственный прообраз — точка М .

Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе.

Определение. Параллельным переносом на вектор Прообраз прямой при параллельном переносеназывается такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: Прообраз прямой при параллельном переносе′ = Прообраз прямой при параллельном переносе.

Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор Прообраз прямой при параллельном переносеназывают вектором переноса. Если при переносе на вектор Прообраз прямой при параллельном переносеточка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′ = Прообраз прямой при параллельном переносе( М ) или Прообраз прямой при параллельном переносе( M ) = M ′ .

Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек ( М, М ′ ) .

Прообраз прямой при параллельном переносе

Если при переносе на вектор Прообраз прямой при параллельном переносеточка М отображается на точку M ′ , то Прообраз прямой при параллельном переносе′ = Прообраз прямой при параллельном переносе(рис. 24). Тогда Прообраз прямой при параллельном переносе= – Прообраз прямой при параллельном переносе. Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – Прообраз прямой при параллельном переносе, т. е. преобразование, обратное переносу на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе, есть перенос на вектор – Прообраз прямой при параллельном переносе.

Перенос на нулевой вектор Прообраз прямой при параллельном переносеявляется тождественным преобразованием: Прообраз прямой при параллельном переносе( М ) = М для любой точки М пространства.

5.2. Параллельный перенос в координатах

Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор Прообраз прямой при параллельном переносе( a ; b ; с ) . Найдём зависимость между координатами точки М ( x ; y ; z ) и её образа M ′ ( х ′ ; y ′ ; z ′ ) при переносе на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе.

Прообраз прямой при параллельном переносе

Так как M ′ = Прообраз прямой при параллельном переносе( М ) , то Прообраз прямой при параллельном переносе′ = Прообраз прямой при параллельном переносе(рис. 25). Вектор Прообраз прямой при параллельном переносе′ имеет координаты: Прообраз прямой при параллельном переносе′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство Прообраз прямой при параллельном переносе′ = Прообраз прямой при параллельном переносеравносильно системе трёх равенств x ′ – х = a, y ′ – у = b, z ′ – z = с, откуда

Прообраз прямой при параллельном переносе(1)

Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе( a ; b ; c ) .

Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( Прообраз прямой при параллельном переносе; Прообраз прямой при параллельном переносе; Прообраз прямой при параллельном переносе), C ′ ( Прообраз прямой при параллельном переносе; Прообраз прямой при параллельном переносе; Прообраз прямой при параллельном переносе) — их образы при переносе на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе( a ; b ; с ). На основании (1) имеем

Прообраз прямой при параллельном переносе= x 1 + a, Прообраз прямой при параллельном переносе= y 1 + b, Прообраз прямой при параллельном переносе= z 1 + c,
Прообраз прямой при параллельном переносе= x 2 + a, Прообраз прямой при параллельном переносе= y 2 + b, Прообраз прямой при параллельном переносе= z 2 + c . (2)

Расстояние между точками А и C равно

Прообраз прямой при параллельном переносе.

Найдём расстояние между точками А ′ и C ′ .

Учитывая (2), получаем

| A ′ C ′ | = Прообраз прямой при параллельном переносе=
= Прообраз прямой при параллельном переносе= | AC| .

Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.

5.3. Свойства параллельного переноса

Можно доказать, что параллельный перенос отображает :

— прямую на параллельную ей прямую либо на себя;

— луч на сонаправленный с ним луч;

— вектор Прообраз прямой при параллельном переносена равный ему вектор Прообраз прямой при параллельном переносе(на себя);

— плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.

Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.

Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′ . Докажем, что α′ || α или α′ совпадает с α .

Прообраз прямой при параллельном переносе

На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b ; a ∩ b = O.

Пусть Прообраз прямой при параллельном переносе( a ) = a ′ , Прообраз прямой при параллельном переносе( b ) = b ′ (рис. 26). Тогда a || a ′ , b || b ′ .

Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′ = Прообраз прямой при параллельном переносе( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.

Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.

Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор Прообраз прямой при параллельном переносеявляется любая прямая, параллельная вектору Прообраз прямой при параллельном переносе; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе.

Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор Прообраз прямой при параллельном переносеявляется любая плоскость, параллельная вектору Прообраз прямой при параллельном переносе; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе.

Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.

Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами Прообраз прямой при параллельном переносеи Прообраз прямой при параллельном переносе. Её обычно обозначают не Прообраз прямой при параллельном переносеПрообраз прямой при параллельном переносе, а Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе.

Прообраз прямой при параллельном переносе

Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор Прообраз прямой при параллельном переносеточку М отображает на такую точку М ′ , что Прообраз прямой при параллельном переносе′ = Прообраз прямой при параллельном переносе(рис. 27). Последующий перенос на вектор Прообраз прямой при параллельном переносеточку М ′ отображает на такую точку M ″ , что Прообраз прямой при параллельном переносе″ = Прообраз прямой при параллельном переносе. По правилу сложения векторов имеем Прообраз прямой при параллельном переносе″ = Прообраз прямой при параллельном переносе′ + Прообраз прямой при параллельном переносе″ = Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе. Это означает, что ( Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе)( M ) = M ″ , т. e. перенoc на вектор ( Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе) точку М отображает на точку М ″ .

Таким образом, композиция переносов на векторы Прообраз прямой при параллельном переносеи Прообраз прямой при параллельном переносеесть перенос на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе.

Так как Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе= Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе, то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе)( M ) = ( Прообраз прямой при параллельном переносе+ Прообраз прямой при параллельном переносе)( М ).

5 .4. Скользящая симметрия

Прообраз прямой при параллельном переносе

Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе, который параллелен этой плоскости (рис. 28).

Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:

— скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

— скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

— любая прямая плоскости α , параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;

— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор Прообраз прямой при параллельном переносе) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса Прообраз прямой при параллельном переносе(на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор Прообраз прямой при параллельном переносе);

— скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

— преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором Прообраз прямой при параллельном переносе, является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором – Прообраз прямой при параллельном переносе.

Прообраз прямой при параллельном переносе

Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B ∘ Z A = 2 Прообраз прямой при параллельном переносе. Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

Прообраз прямой при параллельном переносеЕсли при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

Прообраз прямой при параллельном переносе

то параллельный перенос задаётся формулами:

Прообраз прямой при параллельном переносе

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:

Прообраз прямой при параллельном переносе

Свойства параллельного переноса

1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).

2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.

В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Прообраз прямой при параллельном переносе

Параллельный перенос и его свойства

Видео:Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Содержание

Видео:Тема: Движения. Урок: Движения на плоскости. Параллельный переносСкачать

Тема: Движения. Урок: Движения на плоскости. Параллельный перенос

Общие сведения о параллельном переносе

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 198). Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение.

Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (х + а; у + b), где а и b одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами x’ = x + а, у’ = у + b.

Эти формулы выражают координаты х’, у’ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Прообраз прямой при параллельном переносе

Видео:Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | ГеометрияСкачать

Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | Геометрия

Свойства параллельного переноса

Параллельный перенос есть движение.

Действительно, две произвольные точки А(х1; у1) к В (х2; у2) переходят при параллельном переносе в точки А’ (х1 +а; у1 + b), В'(х2 + а; y2+b). Поэтому
АВ 2 =(х21) 2 + (у21 ) 2

Отсюда АВ=А’В’. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Прообраз прямой при параллельном переносе
Действительно, пусть точки A (x1; y1) и В (x2; y2) переходят в точки A'(x1+а; y1 + b) и В’ (х2 + а; y2 + b) (рис. 200). Середина отрезка АВ’ имеет координаты

Прообраз прямой при параллельном переносе
Те же координаты имеет и середина отрезка А’В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА’В’В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны А А’ и ВВ’ параллельны и равны.

Заметим, что у параллелограмма АА’В’В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А ‘В’. Отсюда следует, что при параллельном, переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА’. В случае, когда точка В лежит на прямой АА’, точка В’ тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ’ совпадает с серединой отрезка ВА’ (рис. 201). Значит, все точки А, В, А’, В’ лежат на одной прямой. Далее,

Прообраз прямой при параллельном переносе

Таким образом, в этом случае точки АиВ смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние Прообраз прямой при параллельном переносе а прямая АВ переходит в себя.

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Повторение темы о параллельном переносе

Мы с вами уже познакомились с такой темой, как параллельный перенос. На этом уроке вы узнали, что такое преобразование на плоскости, где все точки перемещаются на одно и то же расстояние, считается параллельным переносом.

Из данного урока, каждому из вас стало понятно, что параллельный перенос является движением, так как при таком переносе любая прямая переходит в такую же параллельную ей прямую.

Прообраз прямой при параллельном переносе

Если мы посмотрим на рисунок, то можем наглядно представить такое движение, как сдвиг площади в направлении данного вектора на его длину.

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Свойства, которыми обладает параллельный перенос в пространстве

• Во-первых, параллельный перенос является движением;
• Во-вторых, при выполнении этого действия все точки смещаются по параллельным прямым и притом на одно и то же расстояние;
• В-третьих, при таком переносе прямая имеет свойство переходить в такую же параллельную прямую или в себя саму;
• В-четвертых, независимо от того, какими точками были A и A’, но точка A переходит в точку A’.
• В-пятых, при таком переносе, т.е параллельном переносе в пространстве, в любом случае плоскость имеет свойство переходить в себя саму или же такую же параллельную ей плоскость.

Прообраз прямой при параллельном переносе

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Истрия и применение в науке

Как правило, в каждого понятия есть свой первооткрыватель, но автор параллельного переноса в пространстве, на жаль, нам неизвестен. А вот применение параллельного переноса в пространстве довольно широко. Как правило, такой перенос используют при преобразовании графической функции в математике, в механике, а также в кристаллографии.

Прообраз прямой при параллельном переносе

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом. В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Примеры из жизни

В повседневной жизни мы с вами также постоянно сталкиваемся с примерами параллельного переноса в пространстве. Таким наглядным примером может быть, применяемая в строительной индустрии скользящая опалубка, этот процесс мы можем наблюдать и при перестановке мебели в квартире, да и следы от подошвы нам также напоминают о параллельном переносе в пространстве.

А также, параллельный перенос можно встретить и в таких необычных ситуациях:

Прообраз прямой при параллельном переносе

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

📹 Видео

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 класс

Урок 8. Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.Скачать

Урок 8.  Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.

Преобразование графиков: параллельный перенос (видео 6) | Функции | МатематикаСкачать

Преобразование графиков: параллельный перенос (видео 6) | Функции | Математика

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

Введение в движения | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | ГеометрияСкачать

Введение в движения | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | Геометрия

9 класс параллельный перенос. Построение игур при параллельном переносе.Скачать

9 класс параллельный перенос. Построение игур при параллельном переносе.

9 класс. Геометрия. Геометрические преобразования. Движение. Симметрия. Гомотетия. Подобие. Урок #8Скачать

9 класс. Геометрия. Геометрические преобразования. Движение. Симметрия. Гомотетия. Подобие. Урок #8

9 класс. Параллельный переносСкачать

9 класс. Параллельный перенос

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)
Поделиться или сохранить к себе: