Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.
Возможны два случая:
1) точка F лежит между A и C (рис. 1);
2) точка A лежит между F и C (рис. 2).
Рассмотрим первый случай.
поэтому треугольники CDF и CDB равны (обща сторона и все углы равны). Значит, BC = FC = AC − AF = 2.
Тогда искомый радиус равен 
Рассмотрим второй случай.
∠AFD = ∠AED = ∠ABC, поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC + AF = 6. Тогда искомый радиус равен 
Ответ: 
Замечание: на самом деле при внимательном рассмотрении оказывается, что первый случай невозможен, так как оказывается, что 
— самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задачи. При проверке, полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и верно получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Продолжение биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекает окружность
В неравнобедренном треугольнике АВС ∠BAC = 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность υ1 в точке Е. Окружность υ2, описанная около треугольника ADE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.
А) Докажите, что DE — биссектриса угла FDB.
Б) Найдите радиус окружности υ2, если известно, что АС=6, AF=2.
А) [math]angle CEB=angle BAC=45^circ[/math] (опираются на одну и ту же дугу)
[math]angle ABE=angle ECA[/math] (опираются на одну и ту же дугу)
[math]Rightarrowangle EDB=180^circ-angle CEB-angle ABE=180^circ-45^circ-angle ECA=135^circ-angle ECA[/math]
[math]angle ECB=angle ECA[/math] (из условия)
Тогда [math]angle EDB=angle ECB+angle CBD[/math] (как внешний) или[math]angle EDB=angle ECA+angle CBD[/math]
[math]angle AEC=angle CBD[/math] (опираются на одну и ту же дугу)
[math]angle AFD=angle AED[/math] (опираются на одну и ту же дугу в окружности [math]v_2[/math])[math]Rightarrowangle AFD=angle CBD[/math]
[math]angle EDA=180^circ-angle EDB[/math] (как смежные)
Найдем [math]angle FDE[/math]: [math]angle FDE=angle EDA-angle FDA[/math];[math]angle FDA=180^circ-angle FAD-angle FDA[/math] (из [math]bigtriangleup FAD[/math]), где [math]angle DFA=angle CBD[/math] (смотреть выше) и [math]angle FAD=180^circ-angle DAC=180^circ-45^circ=135^circ[/math] (как смежные)
[math]Rightarrowangle FDA=180^circ-angle CBD-45^circ+angle CBD=[/math][math]135^circ-angle EDB+angle CBD=135^circ-angle ECA-angle CBD+angle CBD=[/math][math]135^circ-angle ECA=angle EDB[/math]
Имеем, что [math]angle FDE=angle EDBRightarrow DE[/math] — биссектриса [math]angle FDB[/math]
[math]bigtriangleup FDA=bigtriangleup BDC[/math] (по стороне и двум прилежащим углам, CD — общая)
В пункте а) показывалось, что [math]angle ADF=45^circ-angle CBD[/math]
[math]Rightarrow sin(angle ADF)=sin(45^circ-angle CBD)[/math][math]=sin(45^circ)cos(angle CBD)-cos(45^circ)sin(angle CBD)=frac2cdotfrac<sqrt>8-frac2cdotfrac8[/math][math]=frac<2sqrt-6>=frac<sqrt-3>8[/math]
Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
Задача 11028 .
Условие
В неравнобедренном треугольнике АВС угол BAC = 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность θ_(1) в точке Е. Окружность θ_(2), описанная около треугольника АDE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.
А) Докажите, что центр окружности θ_(1) лежит на прямой FB.
Б) Найдите радиус окружности θ_(2), если известно, что АС=6, AF=2.
Решение
А) какая-то неясность с центрами и окружностями.
Центр окружности θ_(2) наверное, лежит на прямой FB.
Б)∠AСD=∠DCB — биссектриса СD делит угол пополам.
∠AВС=∠AED как вписанные углы, опирающиеся на дугу АС окружности θ _(1);
∠AED=∠AFD как вписанные углы, опирающиеся на дугу АD окружности θ _(2).
Значит, ∠AFD=∠AВС.
Δ СВF и ΔСBD равны по общей стороне СD и двум прилежащим к ней углам ( два угла в треугольниках равны, значит и третьи углы равны).
ВС=FC=FA+AC=2+6=8
По теореме синусов из треугольника АВС:
ВС/sin ∠ВАС = 2R
По теореме косинусов из Δ АВС:
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos45 °
8^2=AB^2+6^2-2*6*AB*sqrt(2)/2 ⇒ AB^2-6sqrt(2)*AB-28=0 ⇒
По свойству биссектрисы СD треугольника АВС:
AD:DB=АС:СВ=6:8 ⇒ [b]AD:DB=3:4[/b] и AD=(3/4)BD
💡 Видео
Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
№230. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMBСкачать
Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
ОГЭ 16🔴Скачать
Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать
ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Найти угол между биссектрисой и высотойСкачать
Секретные формулы биссектрисы треугольника!😉❤️🔥#математика #егэСкачать
Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать
Геометрия Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этогоСкачать
Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
