При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки 6 см и 32 см а диаметр в отношении 3 : 4 найдите радиус окружности?

Геометрия | 5 — 9 классы

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки 6 см и 32 см а диаметр в отношении 3 : 4 найдите радиус окружности.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Содержание
  1. Постройте окружность?
  2. Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центраокружности до этой хорды равно 5?
  3. Что такое окружность?
  4. Хорда окружности, перпендикулярная диаметру, делит его на части, равные 24 см и 6см?
  5. Через точку окружности проведены хорда и диаметр окружности?
  6. Дано : AB и BD — хорды окружности ?
  7. Хорда перпендикулярна диаметру окружности и делит его в отношении 18 : 16?
  8. Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности?
  9. Хорда CD пересекает диаметр AB в точке К?
  10. Что такое окружность, радиус, хорда, диаметр?
  11. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  12. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  13. Свойства хорд и дуг окружности
  14. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  15. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  16. Теорема о бабочке
  17. Пересечение хорды с диаметром окружности
  18. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  19. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  20. Свойства хорд и дуг окружности
  21. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  22. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  23. Теорема о бабочке
  24. Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства
  25. Как построить геометрическую хорду
  26. Свойства
  27. Взаимосвязь с радиусом и диаметром
  28. Хорда и радиус
  29. Отношения со вписанными углами
  30. Взаимодействия с дугой
  31. Хорда окружности — определение, свойства, теорема
  32. Хорда в геометрии
  33. Свойства отрезка окружности
  34. Ключевая теорема
  35. Касательная и секущая
  36. Решение задач

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Постройте окружность?

Длина хорды 16см.

Центр хорды удалён от центра окружности на 6 см.

Вычислите радиус и диаметр окружности.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центраокружности до этой хорды равно 5?

Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центра

окружности до этой хорды равно 5.

Найдите диаметр окружности.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Что такое окружность?

Что такое окружность?

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Хорда окружности, перпендикулярная диаметру, делит его на части, равные 24 см и 6см?

Хорда окружности, перпендикулярная диаметру, делит его на части, равные 24 см и 6см.

Найдите длину этой хорды.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Через точку окружности проведены хорда и диаметр окружности?

Через точку окружности проведены хорда и диаметр окружности.

Найдите диаметр окружности, если хорда равна 45 см, а её проекция на диаметр 27 см.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Дано : AB и BD — хорды окружности ?

Дано : AB и BD — хорды окружности .

Каждая хорда меньше диаметра окружности.

Найдите центр окружности .

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Хорда перпендикулярна диаметру окружности и делит его в отношении 18 : 16?

Хорда перпендикулярна диаметру окружности и делит его в отношении 18 : 16.

Радиус окружности равен 34.

Найдите треугольник наибольшей площади, опирающийся на хорду и вписанный в окружность.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности?

Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности.

Найдите косинус угла между хордой и диаметром.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Хорда CD пересекает диаметр AB в точке К?

Хорда CD пересекает диаметр AB в точке К.

Найдите отрезки, на которые точка К делит диаметр, если радиус окружности равен 6см, СK = 4см, DK = 5 см.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Что такое окружность, радиус, хорда, диаметр?

Что такое окружность, радиус, хорда, диаметр?

На этой странице сайта, в категории Геометрия размещен ответ на вопрос При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки 6 см и 32 см а диаметр в отношении 3 : 4 найдите радиус окружности?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Сумма углов треугольника равна 180°. Величина тупого угла больше 90°, но меньше 180°. Значит на два других угла остается меньше 90°. Значит эти два угла могут быть только острыми.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Прости за качество ) Решение на фотографии.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Представьте, что это ровные круги) если совсем непонятно : один круг с радиусом в 4 клетки, второй — 3 клетки. Поставьте циркуль и отведите второй конец на 4 клетки, потом уменьшите на одну клетку, не убирая циркуль, и проведите второй круг.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Пусть ВС = х см, тогда АВ = (х + 6) см. Р = 2 * (АВ + ВС) 2 * (х + 6 + х) = 48 2х + 6 = 48 : 2 2х + 6 = 24 2х = 24 — 6 2х = 18 х = 18 : 2 х = 9 ВС = 9 см АВ = 9 + 6 = 15см Противоположные стороны параллелограмма равны Ответ : АВ = СД = 15см, ВС = АД..

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Пусть х одна сторона. Тогда х + 2 вторая сторона. Зная, что Р = 36, составим уравнение : 2х + 2х + 4 = 364х = 32Х = 8 см. Одна сторона 8 см, значит другая 8 + 2 = 10 см. S = 3×10 = 30см ^ 2Ответ 30.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Условия задач даны на фото.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

В этом треугольнике 6² = 3² + (3√3)² то есть 36 = 9 + 27 36 = 36 Значит треугольник ABC — прямоугольный, а радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Гипотенуза в этом треугольнике AC = 6, значит R = 1 /..

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Вот посмотри если в первом что то не понятно мне все равно я свое дело сделал.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Значит так, у нас есть смежные и верти кальные углы смежные в сумме дают 180 градусов, а вертикальные равны если ты нарисуешь крестик , то верхние углы смежные значит 180 — 94 ты получаешь 2 угол вертикальные углы это 1. 2 + 3. 4. Углы 3 и 2 , и4 и..

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Сумма двух углов по одной стороне параллелограмма = 180° 1) если один угол = х°, то другой = 2х (по условию) х + 2х = 180 3х = 180 х = 60 2х = 120 Противолежащие углы параллелограмма равны, ⇒ углы параллелограмма = 60° ; 120° ; 60° ; 120° — — — — — -..

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

При пересечении хорды с диаметром окружности хордаОтрезки и прямые, связанные с окружностью
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаСвойства хорд и дуг окружности
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаТеорема о бабочке

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
КругПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
РадиусПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
ХордаПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
ДиаметрПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
КасательнаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
СекущаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Окружность
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Пересекающиеся хорды
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Пересекающиеся хорды
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Тогда справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ОГЭ Задание 26 Свойство диаметра и хордыСкачать

ОГЭ Задание 26 Свойство диаметра и хорды

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись теоремой 1, получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Пересечение хорды с диаметром окружности

Видео:ОГЭ Задание 26 Свойства хордСкачать

ОГЭ Задание 26 Свойства хорд

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

При пересечении хорды с диаметром окружности хордаОтрезки и прямые, связанные с окружностью
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаСвойства хорд и дуг окружности
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
При пересечении хорды с диаметром окружности хордаТеорема о бабочке

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Видео:Задание 26 Свойство секущих Свойство диаметра и хордыСкачать

Задание 26  Свойство секущих  Свойство диаметра и хорды

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:ОГЭ Задание 24 Круг хорда диаметр радиусСкачать

ОГЭ Задание 24 Круг хорда диаметр радиус

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хордаДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПри пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Пересекающиеся хорды
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда
Пересекающиеся хорды
При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Тогда справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись теоремой 1, получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства

При пересечении хорды с диаметром окружности хордаХорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. При пересечении хорды с диаметром окружности хордаЕсли расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. При пересечении хорды с диаметром окружности хордаЕсли описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. При пересечении хорды с диаметром окружности хордаЕсли стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. При пересечении хорды с диаметром окружности хордаЕсли углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. При пересечении хорды с диаметром окружности хордаДве равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Поделиться или сохранить к себе: