При параллельном переносе на вектор окружность

Параллельный перенос окружности по вектору

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

Содержание:

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Преобразования декартовой системы координат

Параллельный перенос и поворот системы координат

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

При параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат При параллельном переносе на вектор окружность

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат При параллельном переносе на вектор окружностьВычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим При параллельном переносе на вектор окружностьСледовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол При параллельном переносе на вектор окружность(Рис. 47): При параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны При параллельном переносе на вектор окружностьа координаты этой точки в старой системе координат равны При параллельном переносе на вектор окружностьТаким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид При параллельном переносе на вектор окружностьВ матричном виде эти равенства можно записать в виде При параллельном переносе на вектор окружностьгде матрица перехода При параллельном переносе на вектор окружность

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу При параллельном переносе на вектор окружностьобратную к матрице А: При параллельном переносе на вектор окружность

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

При параллельном переносе на вектор окружностьЗапишем обратную матрицу При параллельном переносе на вектор окружность

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем При параллельном переносе на вектор окружностьСледовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

При параллельном переносе на вектор окружность

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол При параллельном переносе на вектор окружность

Решение:

Воспользуемся полученными формулами При параллельном переносе на вектор окружностьт.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы При параллельном переносе на вектор окружностьк каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат При параллельном переносе на вектор окружностьполучим При параллельном переносе на вектор окружностьВыберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства При параллельном переносе на вектор окружностьтогда уравнение принимает вид При параллельном переносе на вектор окружностьВыполним поворот системы координат на угол При параллельном переносе на вектор окружностьтогда При параллельном переносе на вектор окружностьПодставим найденные соотношения в уравнение параболы При параллельном переносе на вектор окружностьгде параметр параболы При параллельном переносе на вектор окружность

Пример:

Преобразовать уравнение параболы При параллельном переносе на вектор окружностьк каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса При параллельном переносе на вектор окружностьт.е. точка При параллельном переносе на вектор окружность— начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид При параллельном переносе на вектор окружностьПроведем поворот системы отсчета на угол При параллельном переносе на вектор окружностьтогда

При параллельном переносе на вектор окружностьследовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция При параллельном переносе на вектор окружность

Проведем следующее преобразование При параллельном переносе на вектор окружностьПроизводя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

При параллельном переносе на вектор окружностьи новые координаты При параллельном переносе на вектор окружностьполучим уравнение При параллельном переносе на вектор окружностькоторое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом При параллельном переносе на вектор окружностьмежду радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки). При параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла При параллельном переносе на вектор окружностьявляются значения, лежащие в интервале При параллельном переносе на вектор окружностьИз рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами При параллельном переносе на вектор окружность

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда При параллельном переносе на вектор окружностьгде число При параллельном переносе на вектор окружность(Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу При параллельном переносе на вектор окружностьи на каждом луче отложим ему соответствующее значение р. При параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение При параллельном переносе на вектор окружностьописывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение При параллельном переносе на вектор окружностьописывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает видПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды: При параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 52. Кардиоида При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность

Рис. 53. Кардиоида При параллельном переносе на вектор окружность

Аналогично выглядят кардиоиды При параллельном переносе на вектор окружностьно они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: При параллельном переносе на вектор окружностьВеличина При параллельном переносе на вектор окружностьравна нулю при При параллельном переносе на вектор окружность

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид При параллельном переносе на вектор окружность

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация
  • Экстремум функции
  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Корзина

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Параллельный перенос» представлена на примере решения задач 145 — 148;
  • – в контрольных работах с номерами 149 — 154 данной рабочей тетради по математике рассматривается поворот плоскости вокруг точки на угол;
  • – повторение курса геометрии 9 класса в решениях приведено на примере заданий 155 — 173: углы треугольника, площадь треугольника через катеты и гипотенузу, вычисление радиуса описанной окружности, стороны ромба, подобные треугольники.

Видео:63 Окружность и параллельный переносСкачать

63 Окружность и параллельный перенос

Параллельный перенос

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьОпределение:

Параллельным переносом на вектор При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что два вектора равны

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Задача 145.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьвектор При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

A → A1 : При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

B → B1 : При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Теорема:

При параллельном переносе на вектор При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьсохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

f – параллельный перенос на вектор При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

M При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьM1

N При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьN1

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьДоказать:

Точка M переводится движением в точку M1 с условием, что два вектора равны: M При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьM1: При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= MM1

Точка N переводится движением в точку N1 с условием, что два вектора равны: N При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьN1: При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= NN1

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM1 || NN1 и построенные отрезки равны MM1 = NN1

Значит, четырехугольник MM1N1N – параллелограмм.

Поэтому MN = M1N1, значит f – движение.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Задача 146.

A При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA1:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

B При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

C При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC1:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

A При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA1: При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

B При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

C При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC1:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность***

Задача 147.

точка D лежит на AC: D При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAC

точка C лежит на AD: C При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAD

BC При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1D

б) Доказать: ABB1D – равнобедренная трапеция

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность: a || При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

2) Точка B переводится движением в точку B1

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

3) Проведем прямую B1D, параллельную отрезку BC:

Рассмотрим четырехугольник BB1DC.

Т.к. основания BB1 || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB1DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB1 = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B1D

Т.к. BB1 || AD параллельны и AB При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1D не параллельны, следовательно, ABB1D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B1D, то ABB1D – равнобедренная трапеция.

Задача 148.

Дано: При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

вектор При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

окр (O;R) При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьокр (O1;R1)

ΔABC При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔA1B1C1

EFPQ При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьE1F1P1Q1

как показано на рисунке.

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПоворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что угол поворота

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьMOM1 = α и OM1 = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

Задача 149.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьДано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

1) A При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAOA1 = 75°

2) B При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBOB1 = 75°

Теорема:

Поворот является движением.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьf – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM1N1 по двум сторонам и углу между ними:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьMON = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьM1ON1

Тогда MN = M1N1, значит, f – движение.

Задача 150.

точка O – центр поворота

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьα = 180°

1) A При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAOA1 = 180°

2) B При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBOB1 = 180°

Задача 151.

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

1) B При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBAB1 = 160°

2) C При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCAC1 = 160°

Задача 152.

точка O – центр поворота

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПостроить:

1) A При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAOA1 = 120°

2) B При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBOB1 = 120°

Задача 153.

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПостроить:

1) проведем луч CO

2) C При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC1;

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCOC1 = 60°

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C1;R) будут тоже совпадать.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Задача 154.

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

ΔABC При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔABC

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьADB = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBDC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCDA

A При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB

B При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC

C При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

Повторение.

Задача 155.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABC : При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBCA : При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 3 : 7 : 8

Найти: наибольший угол треугольника

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, составим и решим уравнение:

3x + 7x + 8x = 180

Наибольший угол При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 8 • 10 = 80°

Задача 156.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABC > При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBAC на 60°

Найти: угол при основании треугольника

Пусть x° – угол при основании треугольника. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

(x + 60°) + x + x = 180°

Значит, При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBAC = 40°.

Задача 157.

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

Найти: больший катет b

Пусть x – коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора составим и решим уравнение:

(5x) 2 + (12x) 2 = 26 2

25x 2 + 144x 2 = 676

b = 12 • 2 = 24 (см)

Задача 158.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

c = 13 – гипотенуза

По теореме Пифагора получаем:

a = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 12

Тогда площадь треугольника

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьab = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность=

= 30 (квадратных единиц)

Задача 159.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

c = 4 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность– гипотенуза

Найти: площадь треугольника SΔABC = ?

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьab

Т.к. Δ ABC – равнобедренный, то углы при основании по 45° и катеты равны a = b.

По теореме Пифагора получаем:

Тогда (4 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность) 2 = 2a 2

Тогда площадь треугольника

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьab = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность=

= 8 (квадратных единиц)

Задача 160.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA = 90°

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьa = 6

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Т.к. AH – медиана, то CH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьc

По теореме Пифагора получаем:

Тогда CH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьc = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 5 (ед)

Точка H – центр описанной окружности

Т.к. R = AH, то R = AH = CH = 5 ед.

Задача 161.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

соотношение острых углов

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABC : При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 1 : 2

AC = 4 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Найти: радиус описанной окружности R = ?

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

Тогда При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 30°,

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABC = 2 • 30° = 60°

Следовательно, BC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB

По теореме Пифагора получаем:

AC 2 + При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= AB 2

AC 2 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB 2

AB 2 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 64

R = AD = BD = 8 : 2 = 4 (ед)

Задача 162.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

радиус описанной окружности

Тогда AB = 2,5 • 2 = 5

По теореме Пифагора получаем:

AC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 4 (ед)

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьЗадача 163.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

tg При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

0,6 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность; AC = 3 • При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 5 (ед)

Задача 164.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA = 90°

Найти: При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABC = ?

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьРешение:

Т.к. AH = AC, то Δ AHC – равнобедренный.

Точка H – радиус вписанной окружности, поэтому AH = CH, но AH = AC, следовательно, AH = CH = AC.

Тогда Δ AHC – равносторонний.

Значит, При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьHAC = AHC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьHCA = 60°.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABC = 180° – (90° + 60°) = 30°.

Задача 165.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностькв.ед.

Найти: длину биссектрисы BH = ?

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьТ.к. Δ ABC – правильный, то все углы по 60°.

Рассмотрим Δ ABC – равнобедренный, где

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBAC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBCA = 60°.

Тогда BH – медиана, высота.

Значит, перпендикулярны отрезки BH При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAC.

Рассмотрим треугольники Δ ABH и Δ BHC.

AB = BC, по условию.

AH = CH, BH – медиана.

Значит, треугольники равны Δ ABH = Δ BHC.

Т.е. SΔABH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьSΔABC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность(кв.ед.)

SΔABH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAH • BH

Рассмотрим треугольник Δ ABH.

Т.к. BH – биссектриса, то угол При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABH = 30°, поэтому

AH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB

SΔABH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB • BH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

AB • BH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность(*)

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

AB 2 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB 2 + BH 2

BH 2 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB 2

BH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB (**)

Используя результат (**) в уравнении (*), получаем

AB • При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAB = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

AB 2 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

AB = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Тогда AB • BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность• BH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Задача 166.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьрадиус описанной окружности

R = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Найти: площадь треугольника

Рассмотрим Δ ABO (AO = BO = R) При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔ ABO – равнобедренный.

Проведем из вершины O к AB высоту OH.

Рассмотрим Δ AOH, где При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAHO = 90°.

Т.к. При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьHAO = 30°, то OH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAO При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьOH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьR

OH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

По теореме Пифагора получаем:

OH 2 + AH 2 = OA 2

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность+ AH 2 = ( При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность) 2 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность+ AH 2 =

= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

AH 2 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Тогда площадь треугольника

SΔAOH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAH • OH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Следовательно, SΔABO = 2 • SΔAOH = 2 • При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность(кв.ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABC = 3 • SΔABO = 3 • При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 2 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 2,25 (кв.ед.)

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьЗадача 167.

Площадь ромба SABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

Найти: сторону ромба AB = ?

SABCD = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAC • BD

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда

SABCD = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность3x • 4x

Следовательно, диагональ BD = 4x = 4 • 8 = 32

AC = 3x = 3 • 8 = 24

Поэтому половина диагонали AO = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность• 24 = 12

BO = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBD = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность• 32 = 16

По теореме Пифагора получаем:

AO 2 + BO 2 = AB 2

Сторона ромба AB = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 20

Задача 168.

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьоснование AD = 16

Найти: площадь треугольника

SΔABD = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAD • BH

Проведем высоту BH к основанию AD.

По свойству равнобедренного треугольника:

BH – медиана, биссектриса, высота.

Т.к. BH – медиана, то AH = DH = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим треугольник Δ ABH, где угол При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAHB = 90°.

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

BH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 6 (ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABD = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAD • BH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность•16 • 6 = 48 (кв.ед.)

Ответ: площадь треугольника SΔABD = 48 кв.ед.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

Задача 169.

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

Найти: основание AC = ?

Т.к. треугольник Δ ABC –равнобедренный, то BH – высота, медиана, биссектриса.

Тогда AC = AH + CH = AH + AH = 2 AH

Рассмотрим Δ ABH – прямоугольный.

Пусть AC = (x) ед. При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAH = ( При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность) ед.

Тогда AB = (x – 15) ед. (по условию).

По теореме Пифагора решим уравнение:

(x – 15) 2 = ( При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность) 2 + 15 2 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьx 2 – 30x + 225 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность+ 225

4 (x 2 – 30x) = x 2

4x 2 – 120x = x 2

3x 2 – 120x = 0 | : x

Таким образом, 40 ед. – длина основания.

Ответ: AC = 40 ед.

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Подобные треугольники

Задача 170.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьтреугольник Δ ABC, два угла

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA = 54°

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB = 18°

CH – биссектриса угла При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔ ABC

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 180° – ( При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA + При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB)

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса угла При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC, то

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBCH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьHCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьHBC = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьB = 18°

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBCH = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьA = 54°

Тогда При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCHB = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьC = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔ ABC.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьЗадача 171.

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= ?

Углы равны При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьCBO = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Углы равны При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBCO = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьOAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда треугольники подобны Δ BCO При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔ AOD.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность. Тогда 4AO = 10BO При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBO = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьAO

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 0,4 = k

Пусть BO = x, AO = 8 – x. Тогда 10x = 4 • (8 – x)

x = 2 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность(см)

Следовательно, BO = 2 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьсм.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= k = 0,4

Ответ: BO = 2 При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьсм, При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 0,4.

Задача 172.

ΔABC При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔA1B1C1 ,

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьпериметр треугольника:

P (ΔABC) = 12 +16 + 20 = 48 (дм)

Т.к. треугольники подобны, то

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= k (*)

Тогда соотношение периметров треугольников

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= k (**)

Из равенств (*) и (**) следует

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

B1C1 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 20 (дм)

Тогда При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

A1B1 = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= 15 (дм)

Задача 173.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔBMC:

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьBAD = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьMBC, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AB.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьMCB = При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьMDA, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.

Тогда, по первому признаку подобия треугольников:

треугольники подобны Δ AMD При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружностьΔ BMC.

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность,

но AM = AB + BM = 3,9 + BM

8 • BM = 5 (3,9 + BM)

При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность,

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

При параллельном переносе на вектор окружностьЕсли при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

При параллельном переносе на вектор окружность

то параллельный перенос задаётся формулами:

При параллельном переносе на вектор окружность

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:

При параллельном переносе на вектор окружность

Свойства параллельного переноса

1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).

2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.

В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

При параллельном переносе на вектор окружностьЕсли при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

При параллельном переносе на вектор окружность

то параллельный перенос задаётся формулами:

При параллельном переносе на вектор окружность

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:

При параллельном переносе на вектор окружность

Свойства параллельного переноса

1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).

2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.

В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

Видео:Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать

Центростремительное ускорение. 9 класс.

Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Корзина

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Параллельный перенос» представлена на примере решения задач 145 — 148;
  • – в контрольных работах с номерами 149 — 154 данной рабочей тетради по математике рассматривается поворот плоскости вокруг точки на угол;
  • – повторение курса геометрии 9 класса в решениях приведено на примере заданий 155 — 173: углы треугольника, площадь треугольника через катеты и гипотенузу, вычисление радиуса описанной окружности, стороны ромба, подобные треугольники.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

Параллельный перенос

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьОпределение:

Параллельным переносом на вектор При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что два вектора равны

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Задача 145.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьвектор При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

A → A1 : При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

B → B1 : При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Теорема:

При параллельном переносе на вектор При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьсохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

f – параллельный перенос на вектор При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

M При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьM1

N При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьN1

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьДоказать:

Точка M переводится движением в точку M1 с условием, что два вектора равны: M При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьM1: При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= MM1

Точка N переводится движением в точку N1 с условием, что два вектора равны: N При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьN1: При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= NN1

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM1 || NN1 и построенные отрезки равны MM1 = NN1

Значит, четырехугольник MM1N1N – параллелограмм.

Поэтому MN = M1N1, значит f – движение.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Задача 146.

A При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA1:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

B При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

C При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC1:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

A При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA1: При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

B При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

C При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC1:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность***

Задача 147.

точка D лежит на AC: D При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAC

точка C лежит на AD: C При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAD

BC При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1D

б) Доказать: ABB1D – равнобедренная трапеция

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность: a || При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

2) Точка B переводится движением в точку B1

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

3) Проведем прямую B1D, параллельную отрезку BC:

Рассмотрим четырехугольник BB1DC.

Т.к. основания BB1 || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB1DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB1 = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B1D

Т.к. BB1 || AD параллельны и AB При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1D не параллельны, следовательно, ABB1D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B1D, то ABB1D – равнобедренная трапеция.

Задача 148.

Дано: При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

вектор При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

окр (O;R) При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьокр (O1;R1)

ΔABC При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔA1B1C1

EFPQ При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьE1F1P1Q1

как показано на рисунке.

Видео:Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 2.3. Параллельный переносСкачать

Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 2.3. Параллельный перенос

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПоворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что угол поворота

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьMOM1 = α и OM1 = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

Задача 149.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьДано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

1) A При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAOA1 = 75°

2) B При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBOB1 = 75°

Теорема:

Поворот является движением.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьf – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM1N1 по двум сторонам и углу между ними:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьMON = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьM1ON1

Тогда MN = M1N1, значит, f – движение.

Задача 150.

точка O – центр поворота

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьα = 180°

1) A При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAOA1 = 180°

2) B При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBOB1 = 180°

Задача 151.

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

1) B При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBAB1 = 160°

2) C При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCAC1 = 160°

Задача 152.

точка O – центр поворота

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПостроить:

1) A При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAOA1 = 120°

2) B При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBOB1 = 120°

Задача 153.

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПостроить:

1) проведем луч CO

2) C При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC1;

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCOC1 = 60°

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C1;R) будут тоже совпадать.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Задача 154.

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

ΔABC При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔABC

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьADB = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBDC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCDA

A При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB

B При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC

C При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

Повторение.

Задача 155.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABC : При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBCA : При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 3 : 7 : 8

Найти: наибольший угол треугольника

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, составим и решим уравнение:

3x + 7x + 8x = 180

Наибольший угол При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 8 • 10 = 80°

Задача 156.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABC > При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBAC на 60°

Найти: угол при основании треугольника

Пусть x° – угол при основании треугольника. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

(x + 60°) + x + x = 180°

Значит, При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBAC = 40°.

Задача 157.

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

Найти: больший катет b

Пусть x – коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора составим и решим уравнение:

(5x) 2 + (12x) 2 = 26 2

25x 2 + 144x 2 = 676

b = 12 • 2 = 24 (см)

Задача 158.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

c = 13 – гипотенуза

По теореме Пифагора получаем:

a = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 12

Тогда площадь треугольника

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьab = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность=

= 30 (квадратных единиц)

Задача 159.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

c = 4 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность– гипотенуза

Найти: площадь треугольника SΔABC = ?

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьab

Т.к. Δ ABC – равнобедренный, то углы при основании по 45° и катеты равны a = b.

По теореме Пифагора получаем:

Тогда (4 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность) 2 = 2a 2

Тогда площадь треугольника

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьab = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность=

= 8 (квадратных единиц)

Задача 160.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA = 90°

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьa = 6

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Т.к. AH – медиана, то CH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьc

По теореме Пифагора получаем:

Тогда CH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьc = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 5 (ед)

Точка H – центр описанной окружности

Т.к. R = AH, то R = AH = CH = 5 ед.

Задача 161.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

соотношение острых углов

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABC : При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 1 : 2

AC = 4 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Найти: радиус описанной окружности R = ?

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

Тогда При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCAB = 30°,

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABC = 2 • 30° = 60°

Следовательно, BC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB

По теореме Пифагора получаем:

AC 2 + При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= AB 2

AC 2 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB 2

AB 2 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 64

R = AD = BD = 8 : 2 = 4 (ед)

Задача 162.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

радиус описанной окружности

Тогда AB = 2,5 • 2 = 5

По теореме Пифагора получаем:

AC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 4 (ед)

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьЗадача 163.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 90°

tg При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

0,6 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность; AC = 3 • При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 5 (ед)

Задача 164.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA = 90°

Найти: При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABC = ?

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьРешение:

Т.к. AH = AC, то Δ AHC – равнобедренный.

Точка H – радиус вписанной окружности, поэтому AH = CH, но AH = AC, следовательно, AH = CH = AC.

Тогда Δ AHC – равносторонний.

Значит, При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьHAC = AHC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьHCA = 60°.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABC = 180° – (90° + 60°) = 30°.

Задача 165.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

SΔABC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностькв.ед.

Найти: длину биссектрисы BH = ?

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьТ.к. Δ ABC – правильный, то все углы по 60°.

Рассмотрим Δ ABC – равнобедренный, где

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBAC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBCA = 60°.

Тогда BH – медиана, высота.

Значит, перпендикулярны отрезки BH При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAC.

Рассмотрим треугольники Δ ABH и Δ BHC.

AB = BC, по условию.

AH = CH, BH – медиана.

Значит, треугольники равны Δ ABH = Δ BHC.

Т.е. SΔABH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьSΔABC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность(кв.ед.)

SΔABH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAH • BH

Рассмотрим треугольник Δ ABH.

Т.к. BH – биссектриса, то угол При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABH = 30°, поэтому

AH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB

SΔABH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB • BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

AB • BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность(*)

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

AB 2 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB 2 + BH 2

BH 2 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB 2

BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB (**)

Используя результат (**) в уравнении (*), получаем

AB • При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAB = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

AB 2 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

AB = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Тогда AB • BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность• BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Задача 166.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьрадиус описанной окружности

R = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Найти: площадь треугольника

Рассмотрим Δ ABO (AO = BO = R) При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔ ABO – равнобедренный.

Проведем из вершины O к AB высоту OH.

Рассмотрим Δ AOH, где При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAHO = 90°.

Т.к. При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьHAO = 30°, то OH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAO При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьOH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьR

OH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

По теореме Пифагора получаем:

OH 2 + AH 2 = OA 2

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность+ AH 2 = ( При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность) 2 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность+ AH 2 =

= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

AH 2 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Тогда площадь треугольника

SΔAOH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAH • OH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьПри параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Следовательно, SΔABO = 2 • SΔAOH = 2 • При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность(кв.ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABC = 3 • SΔABO = 3 • При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 2 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 2,25 (кв.ед.)

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьЗадача 167.

Площадь ромба SABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

Найти: сторону ромба AB = ?

SABCD = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAC • BD

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда

SABCD = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность3x • 4x

Следовательно, диагональ BD = 4x = 4 • 8 = 32

AC = 3x = 3 • 8 = 24

Поэтому половина диагонали AO = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность• 24 = 12

BO = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBD = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность• 32 = 16

По теореме Пифагора получаем:

AO 2 + BO 2 = AB 2

Сторона ромба AB = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 20

Задача 168.

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьоснование AD = 16

Найти: площадь треугольника

SΔABD = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAD • BH

Проведем высоту BH к основанию AD.

По свойству равнобедренного треугольника:

BH – медиана, биссектриса, высота.

Т.к. BH – медиана, то AH = DH = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим треугольник Δ ABH, где угол При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAHB = 90°.

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 6 (ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABD = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAD • BH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность•16 • 6 = 48 (кв.ед.)

Ответ: площадь треугольника SΔABD = 48 кв.ед.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

Задача 169.

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

Найти: основание AC = ?

Т.к. треугольник Δ ABC –равнобедренный, то BH – высота, медиана, биссектриса.

Тогда AC = AH + CH = AH + AH = 2 AH

Рассмотрим Δ ABH – прямоугольный.

Пусть AC = (x) ед. При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAH = ( При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность) ед.

Тогда AB = (x – 15) ед. (по условию).

По теореме Пифагора решим уравнение:

(x – 15) 2 = ( При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность) 2 + 15 2 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьx 2 – 30x + 225 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность+ 225

4 (x 2 – 30x) = x 2

4x 2 – 120x = x 2

3x 2 – 120x = 0 | : x

Таким образом, 40 ед. – длина основания.

Ответ: AC = 40 ед.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Подобные треугольники

Задача 170.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьтреугольник Δ ABC, два угла

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA = 54°

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB = 18°

CH – биссектриса угла При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔ ABC

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 180° – ( При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA + При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB)

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса угла При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC, то

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBCH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьHCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьHBC = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьB = 18°

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBCH = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьA = 54°

Тогда При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCHB = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьC = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔ ABC.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьЗадача 171.

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= ?

Углы равны При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьCBO = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Углы равны При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBCO = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьOAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда треугольники подобны Δ BCO При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔ AOD.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность. Тогда 4AO = 10BO При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBO = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьAO

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 0,4 = k

Пусть BO = x, AO = 8 – x. Тогда 10x = 4 • (8 – x)

x = 2 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность(см)

Следовательно, BO = 2 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьсм.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= k = 0,4

Ответ: BO = 2 При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьсм, При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 0,4.

Задача 172.

ΔABC При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔA1B1C1 ,

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьпериметр треугольника:

P (ΔABC) = 12 +16 + 20 = 48 (дм)

Т.к. треугольники подобны, то

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= k (*)

Тогда соотношение периметров треугольников

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= k (**)

Из равенств (*) и (**) следует

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

B1C1 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 20 (дм)

Тогда При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

A1B1 = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= 15 (дм)

Задача 173.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔBMC:

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьBAD = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьMBC, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AB.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьMCB = При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьMDA, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.

Тогда, по первому признаку подобия треугольников:

треугольники подобны Δ AMD При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружностьΔ BMC.

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность,

но AM = AB + BM = 3,9 + BM

8 • BM = 5 (3,9 + BM)

При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность= При параллельном переносе на вектор окружность При параллельном переносе на вектор окружность,

💥 Видео

Физика - движение по окружностиСкачать

Физика - движение по окружности

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Урок 8. Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.Скачать

Урок 8.  Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 класс

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
Поделиться или сохранить к себе: