Окружность касается сторон прямоугольника и проходит через вершину (2 видео)

Окружность касается сторон прямоугольника и проходит через вершину

Окружность проходит через вершину С прямоугольника ABCD, касается стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K.

А) Докажите, что угол CKD равен углу KMD.

Б) Найдите сторону AB, зная, что AD = 18, DM = 4.

А) Угол KCD — вписанный в заданную окружность, значит, измеряется половиной градусной меры дуги KM. А угол MKD образован хордой KM этой же окружности и касательной KD к той же окружности, и он измеряется половиной градусной меры дуги KM, заключенной между хордой и касательной. Значит, ∠KCD = ∠MKD. Но эти два угла есть острые углы двух прямоугольных треугольников KCD и MKD. Тогда обязаны быть равными и другие острые углы названных треугольников, т. е. ∠CKD = ∠KMD, что и требовалась доказать.

Б) Из полученного равенства ∠CKD = ∠KMD следует подобие: ΔMKD

Пусть R — радиус заданной окружности, O — ее центр, F ∈ CM, OF ⊥ CM. Пусть E ∈ AB, OE ⊥ AB.

Соединим точки O и K, O и E отрезками , тогда OK = OE = R. Кроме того, OK ⊥ KD. OE || AK как два перпендикуляра к AB. По аналогичной причине Следовательно, AEOK — параллелограмм, откуда AE = OK = R. Но AE = AK как отрезки касательных к окружности, проведенных из точки А. Следовательно, AK = AE = R. В таком случае KD = 18 − R.

Рассмотрим OE и OF как два перпендикуляра, проведенные из одной и той же точки О к параллельным прямым AB и CD, лежат на одной прямой. Тогда AEFD — прямоугольник, откуда: FD = AE = R.

Пусть CD = x, тогда CM = CD − MD = x − 4.

Треугольник COM — равнобедренный, в нем OF — высота по построению, следовательно, OF — медиана.

Это — с одной стороны. С другой же стороны, CF = CD − FD = x − R. Значит,

Так как KD = 18 − R, то в соответствии с равенствами (*) и (**) будем иметь:

Значение R = 34 не подходит по смыслу задачи, так как KD = 18 − R > 0.

При R = 10: AB = CD = x = 2R − 4 = 20 − 4 = 16.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Содержание Задача 28899 6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами. Условие Решение Окружность касается сторон прямоугольника и проходит через вершину 🎦 Видео Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия \| МатематикаСкачать Задача 28899 6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами. Условие 6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 9 см и AD = 8 см. Окружность касается сторон АВ и AD прямоугольника ABCD, проходит через вершину С и пересекает сторону DC в точке N. Найдите площадь трапеции ABND. Решение Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. ОM ⊥ AB; OK ⊥ AD ⇒ AMOK — квадрат. АМ=АК=r ⇒ BM=AB-AM=9-r; KD=AD-AK=8-r; Треугольник СON — равнобедренный ( OC=ON=r) OF- медиана, биссектриса и высота. OF ⊥ CD АВ \|\| СD ⇒ OM ⊥ AB и OF ⊥ CD ⇒ три точки M, O и F лежат на одной прямой, на диаметре MP СN=2BM=2(9-r)=18-2r DN=CD-CN=9-(18-2r)=2r-9 Применяем свойство касательной и секущей: [b]произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.[/b] DC DN=DK^2 r^2-34r+145=0 D=34^2-4145=1156-580=576 r_(1)=(34-24)/2=5 или r_(2)=(34+24)/2=29 ( не удовл. смыслу задачи.) S ( трапеции ABND)=(AB+ND)AD/2=(9+1)8/2=40 О т в е т. 40 кв см. Видео:Геометрия Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершинуСкачать Окружность касается сторон прямоугольника и проходит через вершину БАЗА ЗАДАНИЙ* *Задание № 16. Планиметрия с доказательством.* 1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D. а) Докажите, что ∠ABM =∠DBС = 30°. б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9. 2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3? Ответ: б) 1:3 3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD. а) Докажите, что AB:BC = AP:PD. б) Найдите площадь треугольника COD, где O— центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2. Ответ: б) 18√3 4. В треугольнике ABC точки A ₁ , B ₁ , C ₁ — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°. а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, H— лежат на одной окружности. б) Найдите A₁ H, если BC = 2√3. 5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны. б) Пусть L— точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16. Ответ: б) √10 6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P. а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны. б) Известно, что sin ∠AOC=√15/4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA. Ответ: б) 1:4 7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L. а) Докажите, что CN:CM = LB:LA. б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен √23. Ответ: б) 115/6 8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3. 9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D. а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны. б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12. 10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны. а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD. б) Пусть N— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18. 11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что отрезки AM и MK равны. б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8. Ответ: б) 2,88 12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC = ∠OBC+∠OCB. а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC. б) Найдите угол OHI, если ∠ABC = 55°. 13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый. а) Докажите, что треугольник PQW— прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD. 14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C ₁ , B ₁ соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику AB ₁ C ₁ . б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45°, B ₁ C ₁ =6 и площадь треугольника AB ₁ C ₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB ₁ C _{1 .} 15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC— биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5. 16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота. а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны б) Пусть Р – точка пересечения прямых АС и NH, а Q – точка пересечения прямых ВС и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3. 17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M. а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности. б) Найдите sin ∠BMC если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности. Ответ: б) 0,65 18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно. а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны. б) Найдите отношение ЕН:АС, если угол АВС равен 30. Ответ: б) 3:4 19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно. а) Докажите, что KC = (KL+KM-LM)/2 . б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60. Ответ: б) 5:2 20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD. а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм. б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1. Ответ: б) 3 21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. а) Докажите, что CKCE = ABCD. б) Найдите отношение CK к KE, если ∠ ECD = 15. Ответ: б) 2:1 22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны. б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = 7/25. Ответ: б) 25:36 23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC. Ответ: б) 5:4 24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны. б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q – середина дуги MB. 25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K. а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK. б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23. 26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности. а) Прямая, проходящая через центр окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sin ∠D. б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1. 27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O. а) Докажите, что sin ∠AOD = sin ∠ BOS. б) Найдите площадь трапеции, если ∠ BAD = 90, а основания равны 5 и 7. 28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции. 🎦 Видео Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB вСкачать Окружность касается сторон параллелограмма и биссектрисы.Скачать ОКРУЖНОСТЬ и ПРЯМОУГОЛЬНИК. ГЕНИАЛЬНО!Скачать Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать Окружность касается! И ВСЕХ КАСАЕТСЯ!Скачать В угол C величиной 83° вписана окружность ... \| ОГЭ 2017 \| ЗАДАНИЕ 10 \| ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Геометрия Окружность центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника касаетсяСкачать Задание 24 ОГЭ по математике #3Скачать ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать 🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... \| ЕГЭ БАЗА 2018 \| ЗАДАНИЕ 15 \| ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!Скачать ЗАДАЧА - ПРОСТО ОТДЫХ КАКОЙ-ТО!Скачать Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограммаСкачать ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать Геометрия. ОГЭ по математике 2021. Вебинар \| МатематикаСкачать ОГЭ без рекламы математика задача 25 7 и 8 вариантСкачать Поделиться или сохранить к себе: Search for: Окружность Деление окружности на 31 часть 1154 Окружность Окружность задачи для подготовки к контрольной работе 1149 Окружность Как построить в питоне окружность 1144 Окружность Как найти сторону многоугольника описанного около окружности 1148 Вектор Ферритин ифа вектор бест 1143 Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности О сайте \| \| © 2024 Курс школьной геометрии.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

Получен обоснованный ответ в пункте б.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Содержание

Задача 28899 6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами.
Условие
Решение
Окружность касается сторон прямоугольника и проходит через вершину
🎦 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Задача 28899 6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами.

Условие

6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 9 см и AD = 8 см. Окружность касается сторон АВ и AD прямоугольника ABCD, проходит через вершину С и пересекает сторону DC в точке N. Найдите площадь трапеции ABND.

Решение

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОM ⊥ AB; OK ⊥ AD ⇒
AMOK — квадрат.
АМ=АК=r ⇒ BM=AB-AM=9-r; KD=AD-AK=8-r;

Треугольник СON — равнобедренный ( OC=ON=r)
OF- медиана, биссектриса и высота.
OF ⊥ CD
АВ || СD ⇒ OM ⊥ AB и OF ⊥ CD ⇒ три точки M, O и F лежат на одной прямой, на диаметре MP
СN=2BM=2*(9-r)=18-2r
DN=CD-CN=9-(18-2r)=2r-9
Применяем свойство касательной и секущей:
[b]произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.[/b]
DC* DN=DK^2

r^2-34r+145=0
D=34^2-4*145=1156-580=576
r_(1)=(34-24)/2=5 или r_(2)=(34+24)/2=29 ( не удовл. смыслу задачи.)

S ( трапеции ABND)=(AB+ND)*AD/2=(9+1)*8/2=40

О т в е т. 40 кв см.

Видео:Геометрия Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершинуСкачать

Окружность касается сторон прямоугольника и проходит через вершину

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 16. Планиметрия с доказательством.

1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM =∠DBС = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Ответ: б) 1:3

3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O— центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2.
Ответ: б) 18√3

4. В треугольнике ABC точки A ₁ , B ₁ , C ₁ — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, H— лежат на одной окружности.
б) Найдите A₁ H, если BC = 2√3.

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L— точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Ответ: б) √10

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC=√15/4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
Ответ: б) 1:4

7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен √23.
Ответ: б) 115/6

8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.
Ответ: б) 2,88

12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC = ∠OBC+∠OCB.
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OHI, если ∠ABC = 55°.

13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый.
а) Докажите, что треугольник PQW— прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C ₁ , B ₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику AB ₁ C ₁ .
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45°, B ₁ C ₁ =6 и площадь треугольника AB ₁ C ₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB ₁ C _{1 .}

15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC— биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны
б) Пусть Р – точка пересечения прямых АС и NH, а Q – точка пересечения прямых ВС и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin ∠BMC если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Ответ: б) 0,65

18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН:АС, если угол АВС равен 30.
Ответ: б) 3:4

19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что KC = (KL+KM-LM)/2 .

б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60.
Ответ: б) 5:2

20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1.
Ответ: б) 3

21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что CK*CE = AB*CD.
б) Найдите отношение CK к KE, если ∠ ECD = 15.
Ответ: б) 2:1

22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = 7/25.
Ответ: б) 25:36

23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
Ответ: б) 5:4

24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q – середина дуги MB.

25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центр окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sin ∠D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin ∠AOD = sin ∠ BOS.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠ BAD = 90, а основания равны 5 и 7.

28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

🎦 Видео

Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB вСкачать

Окружность касается сторон параллелограмма и биссектрисы.Скачать

ОКРУЖНОСТЬ и ПРЯМОУГОЛЬНИК. ГЕНИАЛЬНО!Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность касается! И ВСЕХ КАСАЕТСЯ!Скачать

В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Геометрия Окружность центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника касаетсяСкачать

Задание 24 ОГЭ по математике #3Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!Скачать

ЗАДАЧА - ПРОСТО ОТДЫХ КАКОЙ-ТО!Скачать

Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограммаСкачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике 2021. Вебинар | МатематикаСкачать

ОГЭ без рекламы математика задача 25 7 и 8 вариантСкачать