Arcsin корень 3 2 на окружности

Обратная тригонометрическая функция: Арксинус (arcsin)

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Определение

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x , при -1≤x≤1.

Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y :

Примечание: sin -1 x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin -1 1 = 90° (π/2 рад)

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x) . График в общем виде выглядит следующим образом ( -1≤x≤1 , -π/2≤y≤π/2 ):

Arcsin корень 3 2 на окружности

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Арксинус и арккосинус. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Арксинус и арккосинус − теория, примеры и решения

Функция арксинус и ее график

Как известно, функция синус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции синус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Arcsin корень 3 2 на окружности

Однако, функцию синус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

Arcsin корень 3 2 на окружности,Arcsin корень 3 2 на окружности,Arcsin корень 3 2 на окружности, Arcsin корень 3 2 на окружностии т.д.

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция sin x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке Arcsin корень 3 2 на окружности. Обратную функцию обозначают x=arcsin y. Поменяв местами x и y, получим:

y=arcsin x.(1)

Функция (1) − это функция, обратная к функции

Arcsin корень 3 2 на окружности.

График функции арксинус можно получить из графика функции Arcsin корень 3 2 на окружностис помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Arcsin корень 3 2 на окружности

Свойства функции арксинус.

  1. Область определения функции: Arcsin корень 3 2 на окружности.
  2. Область значений функции: Arcsin корень 3 2 на окружности.
  3. Функция является нечетной: Arcsin корень 3 2 на окружности.
  4. Функция возрастает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором sin x>1 (см. график функции синус (Рис.1). При |a|≤1, в отрезке Arcsin корень 3 2 на окружности(дуга DAB) уравнение (2) имеет одно решение (см. Рис.3):

Arcsin корень 3 2 на окружности.
Arcsin корень 3 2 на окружности

В отрезке Arcsin корень 3 2 на окружности(дуга DCB) функция синус убывает и принимает значения от 1 до −1. Следовательно в этом отрезке уравнение (2) также имеет решение:

Arcsin корень 3 2 на окружности.
Arcsin корень 3 2 на окружности.
Arcsin корень 3 2 на окружности
Arcsin корень 3 2 на окружности,
Arcsin корень 3 2 на окружности,
Arcsin корень 3 2 на окружности.

Таким образом уравнение (3) имеет два решения в отрезке Arcsin корень 3 2 на окружности:

Arcsin корень 3 2 на окружности
Arcsin корень 3 2 на окружности

которые совпадают при |a|=1.

Поскольку функция синус периодичная с основным периодом , имеем

Arcsin корень 3 2 на окружности

Тогда получим решение (2) в виде

Arcsin корень 3 2 на окружности,(3)
Arcsin корень 3 2 на окружности.(4)

Решения (3) и (4) удобно представить одним уравнением:

Arcsin корень 3 2 на окружности.(5)

Действительно. При четных k (k=2n) из уравнения (5) получают все решения, представленные уравнением (3), а при нечетных k (k=2n+1) − все решения, представленные уравнением (4).

При a=1, arcsin a и π−arcsin a совпадают (т.к. Arcsin корень 3 2 на окружностиArcsin корень 3 2 на окружности), следовательно решение уравнения sin t=1 имеет вид:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

При |a|=−1, из (3) и (4) следует:

Arcsin корень 3 2 на окружности,(6)
Arcsin корень 3 2 на окружности.(7)

Но поворот Arcsin корень 3 2 на окружностиэквивалентно повороту Arcsin корень 3 2 на окружности. То есть уравнения (6) и (7) эквивалентны. Тогда решение уравнения sin t=−1 запишем в виде:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

При |a|=0, из (3) и (4) имеем следующее решение уравнения sin t=0:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Arcsin корень 3 2 на окружности,
Arcsin корень 3 2 на окружности.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Arcsin корень 3 2 на окружности,
Arcsin корень 3 2 на окружности.

Функция арккосинус и ее график

Как известно, функция косинус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции косинус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Arcsin корень 3 2 на окружности

Однако, функцию косинус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

Arcsin корень 3 2 на окружности,Arcsin корень 3 2 на окружности,Arcsin корень 3 2 на окружности, Arcsin корень 3 2 на окружностии т.д.

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция cos x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке Arcsin корень 3 2 на окружности. Обратную функцию оброзначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, получим:

y=arccos x.(8)

Функция (8) − это функция, обратная к функции

Arcsin корень 3 2 на окружности.

График функции арксинус можно получить из графика функции Arcsin корень 3 2 на окружностис помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Arcsin корень 3 2 на окружности

Свойства функции арксинус.

  1. Область определения функции: Arcsin корень 3 2 на окружности.
  2. Область значений функции: Arcsin корень 3 2 на окружности.
  3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
  4. Функция убывает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором cos x>1 (см. график функции косинус (Рис.4). При |a|≤1, в отрезке [0; π] (дуга ABC) уравнение (9) имеет одно решение t1=arccos a. В отрезке [−π; 0] (дуга CDA) уравнение (9) имеет одно решение t2=−arccos a(см. Рис.6):

Arcsin корень 3 2 на окружности

Таким образом, в интервале [−π; π] уравнение (9) имеет два решения y=± arccos a, которые совпадают при a=1.

Поскольку функция косинус периодичная с основным периодом :

Arcsin корень 3 2 на окружности

то общее решение (9) имеет следующий вид:

Arcsin корень 3 2 на окружности(10)

При a=1, числа arccos a и −arccos a совпадают (они равны нулю), тогда решение уравнения cos t=1 можно записать так:

Arcsin корень 3 2 на окружности(11)
Arcsin корень 3 2 на окружности(12)

Решение тригонометрического уравнения cos t=0 можно записать одним уравнением:

Arcsin корень 3 2 на окружности

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Решение. Воcпользуемся формулой (10):

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Так как Arcsin корень 3 2 на окружности, то

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Решение. Используя формулу (10), имеем

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Так как Arcsin корень 3 2 на окружности(Arcsin корень 3 2 на окружности), то

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Пример 3. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Arcsin корень 3 2 на окружности.

Решение. Используя формулу (10), имеем

Arcsin корень 3 2 на окружности.

С помощью онлайн калькулятора вычисляем : Arcsin корень 3 2 на окружности. Тогда решение можно записать так:

Видео:Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α— 1— 3 2— 2 2— 1 201 22 23 2
a r c sin α к а к у г о л— π 2— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3
в г р а д у с а х— 90 °— 60 °— 45 °— 30 °0 °30 °45 °60 °
a r c sin α к а к ч и с л о— π 2— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α— 1— 3 2— 2 2— 1 201 22 23 21
a r c cos α к а к у г о лπ5 π 63 π 42 π 3π 2π 3π 4π 60
в г р а д у с а х180 °150 °135 °120 °90 °60 °45 °30 °0 °
a r c cos α к а к ч и с л оπ5 π 63 π 42 π 3π 2π 3π 4π 60

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α— 3— 1— 3 303 313
a r c t g a к а к у г о лв р а д и а н а х— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3
в г р а д у с а х— 60 °— 45 °— 30 °0 °30 °45 °60 °
a r c t g a к а к ч и с л о— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Arcsin корень 3 2 на окружности

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Arcsin корень 3 2 на окружности

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Arcsin корень 3 2 на окружности

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Видео:Как найти значения аркфункций? (Перечень, ДВИ)Скачать

Как найти значения аркфункций? (Перечень, ДВИ)

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Arcsin корень 3 2 на окружности

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Arcsin корень 3 2 на окружности

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

💥 Видео

Вычисление аркфункцийСкачать

Вычисление аркфункций

Занятие 4. Арксинус и арккосинус. Основы тригонометрииСкачать

Занятие 4. Арксинус и арккосинус. Основы тригонометрии

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

Как отбирать корни с помощью числовой окружности? Тригонометрические уравнения Часть 6 из 6Скачать

Как отбирать корни с помощью числовой окружности? Тригонометрические уравнения Часть 6 из 6

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

3 СПОСОБА ОТБОРА КОРНЕЙ В ЗАДАНИИ #12 (по окружности, неравенством и подбором)Скачать

3 СПОСОБА ОТБОРА КОРНЕЙ В ЗАДАНИИ #12 (по окружности, неравенством и подбором)

Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Как решать тригонометрические неравенства?
Поделиться или сохранить к себе: