Как искать арктангенс на окружности (4 видео)

Отбор корней с арктангенсом в задаче 13

Когда мы решаем сложное тригонометрическое уравнение в ЕГЭ по математике, то рассчитываем получить красивые корни, их которых легко отбираются итоговые значения на отрезке. И обычно корни действительно оказываются красивыми.

Но что делать, если получился какой-нибудь арктангенс? Или арксинус? Как грамотно отметить их на тригонометрическом круге и в итоге безошибочно отобрать корни на отрезке? Что ж, попробуем разобраться.

Содержание

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
Арктангенс и решение уравнения tg x=a
📺 Видео

Видео:Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α		— 1	— 3 2	— 2 2	— 1 2	0	1 2	2 2	3 2
a r c sin α к а к у г о л	— π 2	— π 3	— π 4	— π 6	0	π 6	π 4	π 3
a r c sin α к а к у г о л	в г р а д у с а х	— 90 °	— 60 °	— 45 °	— 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c sin α к а к ч и с л о		— π 2	— π 3	— π 4	— π 6	0	π 6	π 4	π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α		— 1	— 3 2	— 2 2	— 1 2	0	1 2	2 2	3 2	1
a r c cos α к а к у г о л	π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6	0
a r c cos α к а к у г о л	в г р а д у с а х	180 °	150 °	135 °	120 °	90 °	60 °	45 °	30 °	0 °
a r c cos α к а к ч и с л о		π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6	0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α		— 3	— 1	— 3 3	0	3 3	1	3
a r c t g a к а к у г о л	в р а д и а н а х	— π 3	— π 4	— π 6	0	π 6	π 4	π 3
a r c t g a к а к у г о л	в г р а д у с а х	— 60 °	— 45 °	— 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c t g a к а к ч и с л о		— π 3	— π 4	— π 6	0	π 6	π 4	π 3

Видео:Находим арктангенс. Алгебра 10 классСкачать

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Арктангенс и решение уравнения tg x=a

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы познакомимся с понятием арктангенса. В начале рассмотрим график функции у = tg t на наименьшем положительном периоде, вспомним ее свойства и сформулируем прямую и обратную задачу для нашей функции. Дадим определение арктангенса как решения обратной задачи. Далее рассмотрим нахождение арктангенса на числовой окружности с помощью линии тангенсов. Докажем важное свойство арктангенса: арктангенс от минус а равен минус арктангенсу а. В конце урока решим несколько задач вычислительного и сравнительного типа, иллюстрируя решение на графике и на круге.