Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности
Данная презентация дает наглядное представление о касательной к окружности.Ученики наглядно видят области применения касательной: в архитектуре. в медицине .в машиностроении и т. д.
Просмотр содержимого документа «Касательная к окружности»
Урок математики в 6 б классе
Из опыта работы учителя математики МБОУ «Гимназия№11» Гусейновой А.Г.
1.Изучение понятия касательной к окружности, свойства касательной.
2. Применение новых знаний к решению задач, связанных с конкретными ситуациями.
3. Формирование у обучающихся системы научных знаний.
Совершенствование умений в решении практических задач.
6. Совершенствование умений и навыков в решении исследовательских задач.
1. Скорость скутера по течению реки — 27 км/ч, а против течения — 24 км/ч. Чему равна скорость течения реки? (1,5 км/ч)
2. Катя и Сергей одновременно отправились навстречу друг другу. Катя идёт пешком со скоростью 4 км/ч, а Сергей едет на велосипеде со скоростью, в 2 раза большей. Через какое время ребята встретятся, если первоначально расстояние между ними было 3 км? (через 15 минут)
3,6 • 3; 5,1: 3; 2,8: 7; 0,36: 9; 0,012: 4.
4. Как изменится положение запятой в десятичной дроби, если: а) эту дробь уменьшить в 100 раз; б) эту дробь увеличить в 1000 раз;
в) эту дробь сначала уменьшить в 10 раз, а потом увеличить в 100 раз?
Устный опрос по теме.
На экране будут появляться элементы окружности (круга). Вам нужно их узнать и дать им определения.
Окружность – множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки – центра окружности.
Дать определение радиуса:
Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.
Дать определение хорды:
.
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Дать определение диаметру:
.
Диаметр – это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр.
Дать определение дуги окружности:
.
Дуга – это часть окружности, ограниченная двумя точками.
Каждым значениям из левого столбца поставьте в соответствие утверждение из правого столбца:
— Мы устали чуточку, отдохнем минуточку.
— Кто согласен с тем, что «Прямая является касательной по отношению к окружности, если она имеет одну общую точку с ней». – встаньте.
— Нарисуйте глазками окружность, а теперь головой, туловищем.
Задача №273.По готовому чертежу рис.5.3 учебника определите, какая из 4 параллельных прямых является касательной к окружности?
Прямая b является касательной, так как она имеет с окружностью одну общую точку.
В таблице даны радиус окружности и расстояние от центра этой окружности до некоторой прямой. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности в каждом случае? Проверьте себя, выполнив построения.
Условие задачи в виде таблицы записано на доске.
Радиус окружности в см
Расстояние от центра окружности до прямой в см
Прямая пересекает окружность(Секущая)
Прямая касается окружности(Касательная)
Прямая не пересекает окружность(не пересекающая)
Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов, касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры таких окружностей?
Из истории математики
Определение касательной впервые встречается в учебнике «Элементы геометрии» французского математика Лежандра, написанного в конце 19 века. А то, что касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, было уж известно греческому ученому Архиту Тарентскому, жившему в 4 веке до н.э.
Касательная к окружности нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь — все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, медицине, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.
— Как располагаются прямая и плоскость?
— Какая прямая называется касательной к окружности?
— Сколько касательных можно провести через данную на окружности точку?
— Сколько всего касательных существует у окружности?
Оцените урок и результат своей деятельности.Выберите один из вариантов:
Урок геометрии в 8-м классе «Касательная к окружности»
Разделы: Математика
Цели:
ввести понятие касательной, точки касания,
рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач в природе и технике.
Образовательные:
Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности,
Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.
Воспитательные:
Развивать мышление и речь учащихся,
Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии,
Привитие интереса к математике.
Практические: сформировать умение строить касательную к окружности, рассмотреть примеры в природе и технике.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование:
Карточки с заданиями,
Циркуль, треугольник, линейка
Мультимедийный проектор, слайды,
Модель “Дуб и кот”, маркер.
Оформление кабинета:
Рисунки детей “У лукоморья дуб зелёный…”
Плакат с высказыванием Козьмы Пруткова
“Наука изощряет ум; ученье вострит память”
I. Организационный момент. (1мин.)
Постановка целей урока.
Ребята этот урок мы посвятим изучению свойства касательной к окружности, научимся строить её. Рассмотрим применение касательной для построения кривых.
II. Повторение изученного материала. (4минут)
1) У каждого ученика карточка с копиркой.
Учащиеся сдают листочки с ответами.
Учитель зачитывает предложение полностью, ученик у которого ответ неверный ставит “минус”, верный – “плюс”.
III. Подготовка к восприятию нового материала. (5минут)
В тетради начертить окружность произвольного радиуса с центром в точке О, провести три прямые, так чтобы получилось разное количество общих точек у прямой и окружности.
Один ученик выполняет задание у доски.
Обозначим прямые и полученные точки:
d r нет общих точек
d=r 1 общая точка
IV. Объяснение нового материала. (7минут)
На этом уроке мы рассмотрим свойства окружности и прямой c.
1. Работа с учебником.
На страница 159 найти и прочитать определение касательной к окружности.
Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Назвать на рисунке точку касания и прямую касательную к окружности.
(C— точка касания, прямая с – касательная к окружности)
Какими же свойствами обладает эта прямая? Чтобы ответить на этот вопрос —
проведите отрезок соединяющий центр окружности и точку касания, измерьте получившийся угол. (90)
— Что можно сказать о касательной и радиусе? — Они перпендикулярны.
2. Прочтите теорему.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство разбирается в ходе беседы.
Учащиеся делают новый чертёж.
Допустим, что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА(На рисунке сделать построение другим цветом). Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с радиусом окружности.
Назовите перпендикуляр к прямой р ОВ
-Расстояние от точки О до прямой р , это ОВ, меньше радиуса окружности ОА, который в данном случае будет являться наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р – перпендикуляр, а, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой, т. е. ОВ (2минуты)
Глубоко вдохните, зажмурив глаза как можно сильнее. Напрягите мышцы шеи, лица, головы. Задержите дыхание на 2-3 секунды, потом быстро выдохните, широко раскрыв на выдохе глаза. Повторить 5 раз.
Закройте глаза, помассируйте надбровные дуги и нижние части глазниц круговыми движениями — от носа к вискам.
Закройте глаза, расслабьте брови. Повращайте глазными яблоками слева направо и справа налево. Повторить 10 раз.
Поставьте большой палец руки на расстоянии 25-30 см. от глаз, смотрите двумя глазами на конец пальца 3-5 секунд, закройте один глаз на 3-5 секунд, затем снова смотрите двумя глазами, закройте другой глаз. Повторить 10 раз.
Положите кончики пальцев на виски, слегка сжав их. 10 раз быстро и легко моргните. Закройте глаза и отдохните, сделав 2-3 глубоких вдоха. Повторить 3 раза.
3. Построение касательной. (4 минуты)
Ученик, подготовленный заранее, объясняет построение касательной к окружности в заданной точке. Учащиеся выполняют построение в тетради.
Дано: окружность, О — центр, А — лежит на окружности.
Построить касательную к окружности в точке А.
Построение:
ОА – прямая.
От точки А отложим ОА=ОА.
Из точек О и О проведём окружности, радиусом большим ОА.
Через точки пересечения окружностей проведём прямую а.
Прямая а будет касательной по определению.
4. Построение эвольвенты. (10 минут)
Ученик читает отрывок из “Руслана и Людмилы”
У Лукоморья дуб зелёный Златая цепь на дубе том. И днём и ночью кот учёный Всё ходит по цепи кругом.
Нам эти строки знакомы с детства, мы никогда не задумывались над тем, какую линию вычерчивает кот.
Как вы думаете, что это за линия? (Чаще всего ученики отвечают – окружность)
Два ученика, выходят к столу, на котором расположен ватман, макет дуба и небольшой котёнок (мягкая игрушка), к которому прикреплен маркер, привязанный к “дубу”.
Один ученик придерживает “дуб”, а второй передвигает игрушку “по цепи кругом”. На ватмане вычерчивается кривая.
Учитель показывает слайды построения эвольвенты. Приложение №2. Слайд 3.
Таким образом для построения этой кривой надо хорошо уметь строить касательную в заданной точке.
Ученикам раздаются карточки на которых написан порядок построения эвольвенты. Приложение №1.
После выполнения построения — лучшие работы оцениваются.
С этой же кривой связана и биология . (2 минуты)
1. Ученик рассказывает о берёзовом долгоносике, демонстрируя разрез листа и сворачивает его.
2. Ученик рассказывает о практическом применение касательной к окружности.
КОВШОВАЯ ГИДРОТУРБИНА (ПЕЛТОНА ТУРБИНА)
Гидротурбина, у которой вода (пар) на лопасти (ковши) рабочего колеса поступает через сопла по касательной к окружности, проходящей через середину ковша. Применяют при напорах св. 500 м. Мощность до 110 МВт. Патент на ковшовую гидротурбину в 1889 получил американский инженер А. Пелтон.
VI. Подведение итогов.
Оценки выставляются с учётом диктанта, активности на уроке, за построение эвольвенты. Рефлексия. Приложение №1.
VII. Домашнее задание.
П. 69, вопросы 1-4, №634, решить задачи по готовым чертежам, дополнительную задачу.
Литература:
Н. Ф. Гаврилова Поурочные разработки по геометрии 8 класс. Москва “ВАКО”, 2005.
А. Азевич. Кривые мудрого жучка.
Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. “Тезис”, Екатеринбург, 1994
С. Акимова. Занимательная математика. Нескучный учебник. Тригон, С-Петербург,1997.
💡 Видео
Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
)
А=ОА.
А=ОА.
и О проведём окружности, радиусом большим ОА.
