Как найти секущую при параллельных прямых

Содержание
  1. Углы при пересечении двух прямых
  2. Углы при пересечении параллельных прямых
  3. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
  4. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  5. Определения параллельных прямых
  6. Признаки параллельности двух прямых
  7. Аксиома параллельных прямых
  8. Обратные теоремы
  9. Пример №1
  10. Параллельность прямых на плоскости
  11. Две прямые, перпендикулярные третьей
  12. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  13. Признаки параллельности прямых
  14. Пример №2
  15. Пример №3
  16. Пример №4
  17. Аксиома параллельных прямых
  18. Пример №5
  19. Пример №6
  20. Свойства параллельных прямых
  21. Пример №7
  22. Пример №8
  23. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  24. Расстояние между параллельными прямыми
  25. Пример №9
  26. Пример №10
  27. Справочный материал по параллельным прямым
  28. Перпендикулярные и параллельные прямые
  29. 🔥 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Углы при пересечении двух прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

Как найти секущую при параллельных прямых

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8.Как найти секущую при параллельных прямых
Внутренние накрест лежащие углы: ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5.Как найти секущую при параллельных прямых
Внешние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.Как найти секущую при параллельных прямых
Внутренние односторонние углы: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6.Как найти секущую при параллельных прямых
Внешние односторонние углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8.Как найти секущую при параллельных прямых

Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

  • внутренние накрест лежащие углы равны;
  • сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  • соответственные углы равны;
  • внешние накрест лежащие углы равны;
  • сумма внешних односторонних углов равна 180°.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Как найти секущую при параллельных прямых

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Как найти секущую при параллельных прямых Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Как найти секущую при параллельных прямых Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Как найти секущую при параллельных прямых). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Как найти секущую при параллельных прямых

Как найти секущую при параллельных прямых

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Как найти секущую при параллельных прямыхимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Как найти секущую при параллельных прямых, но не принадлежит прямой Как найти секущую при параллельных прямых. Говорят, что прямые Как найти секущую при параллельных прямыхпересекаются в точке М.
Как найти секущую при параллельных прямых

Это можно записать так: Как найти секущую при параллельных прямых— знак принадлежности точки прямой, «Как найти секущую при параллельных прямых» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Как найти секущую при параллельных прямыхпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Как найти секущую при параллельных прямых

Как найти секущую при параллельных прямых

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Как найти секущую при параллельных прямыхперпендикулярны (рис. 12), то пишут Как найти секущую при параллельных прямых

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Как найти секущую при параллельных прямых

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аКак найти секущую при параллельных прямыхb.
  2. Если Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2 = 90°, то а Как найти секущую при параллельных прямыхАВ и b Как найти секущую при параллельных прямыхАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аКак найти секущую при параллельных прямыхb.
  3. Если Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2Как найти секущую при параллельных прямых90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Как найти секущую при параллельных прямыхa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Как найти секущую при параллельных прямыхОFА = Как найти секущую при параллельных прямыхОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2). Из равенства этих треугольников следует, что Как найти секущую при параллельных прямыхЗ = Как найти секущую при параллельных прямых4 и Как найти секущую при параллельных прямых5 = Как найти секущую при параллельных прямых6.
  6. Так как Как найти секущую при параллельных прямых3 = Как найти секущую при параллельных прямых4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Как найти секущую при параллельных прямых5 = Как найти секущую при параллельных прямых6 следует, что Как найти секущую при параллельных прямых6 = 90°. Получаем, что а Как найти секущую при параллельных прямыхFF1 и b Как найти секущую при параллельных прямыхFF1, а аКак найти секущую при параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Как найти секущую при параллельных прямых1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Как найти секущую при параллельных прямых
2) Заметим, что Как найти секущую при параллельных прямых2 = Как найти секущую при параллельных прямых3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2 и Как найти секущую при параллельных прямых2 = Как найти секущую при параллельных прямых3 следует, что Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аКак найти секущую при параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Как найти секущую при параллельных прямыхAOF = Как найти секущую при параллельных прямыхABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Как найти секущую при параллельных прямых1 + Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Как найти секущую при параллельных прямых3 + Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Как найти секущую при параллельных прямыхl + Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180° и Как найти секущую при параллельных прямых3 + Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180° следует, что Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Как найти секущую при параллельных прямыхa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Как найти секущую при параллельных прямых

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аКак найти секущую при параллельных прямыхb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Как найти секущую при параллельных прямых

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямыхF и Как найти секущую при параллельных прямых2 = Как найти секущую при параллельных прямыхF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аКак найти секущую при параллельных прямыхb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Как найти секущую при параллельных прямых

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Как найти секущую при параллельных прямых

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Как найти секущую при параллельных прямых2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Как найти секущую при параллельных прямых2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Как найти секущую при параллельных прямыхb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Как найти секущую при параллельных прямых3 = Как найти секущую при параллельных прямыхB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых3. Кроме того, Как найти секущую при параллельных прямых2 = Как найти секущую при параллельных прямых3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых3 и Как найти секущую при параллельных прямых2 = Как найти секущую при параллельных прямых3 следует, что Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2.

Как найти секущую при параллельных прямых

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Как найти секущую при параллельных прямых4 = Как найти секущую при параллельных прямыхBAF. Действительно, Как найти секущую при параллельных прямых4 и Как найти секущую при параллельных прямыхFAC равны как соответственные углы, a Как найти секущую при параллельных прямыхFAC = Как найти секущую при параллельных прямыхBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Как найти секущую при параллельных прямых1 + Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180° (рис. 97, а).

Как найти секущую при параллельных прямых

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Как найти секущую при параллельных прямых2 + Как найти секущую при параллельных прямых3= 180°.

4) Из равенств Как найти секущую при параллельных прямых= Как найти секущую при параллельных прямых3 и Как найти секущую при параллельных прямых2 + Как найти секущую при параллельных прямых3 = 180° следует, что Как найти секущую при параллельных прямых1 + Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Как найти секущую при параллельных прямыхBAF + Как найти секущую при параллельных прямыхTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сКак найти секущую при параллельных прямыха (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Как найти секущую при параллельных прямых

Так как Как найти секущую при параллельных прямых1 = 90°, то и Как найти секущую при параллельных прямых2 = Как найти секущую при параллельных прямых1 = 90°, а, значит, сКак найти секущую при параллельных прямыхb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхпараллельны, то есть Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых Как найти секущую при параллельных прямых(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Как найти секущую при параллельных прямых, лучи АВ и КМ.

Как найти секущую при параллельных прямых

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, то Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых Как найти секущую при параллельных прямых(рис. 161).

Как найти секущую при параллельных прямых

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Как найти секущую при параллельных прямых(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Как найти секущую при параллельных прямых, перпендикулярную прямой Как найти секущую при параллельных прямых. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Как найти секущую при параллельных прямыхи строят другую перпендикулярную прямую Как найти секущую при параллельных прямых, затем — третью прямую Как найти секущую при параллельных прямыхи т. д. Поскольку прямые Как найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямыхперпендикулярны одной прямой Как найти секущую при параллельных прямых, то из указанной теоремы следует, что Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых.

Как найти секущую при параллельных прямых

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Как найти секущую при параллельных прямых

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Как найти секущую при параллельных прямых, параллельной прямой Как найти секущую при параллельных прямыхи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, то Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхтретьей прямой Как найти секущую при параллельных прямых, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Как найти секущую при параллельных прямых

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Как найти секущую при параллельных прямых3 иКак найти секущую при параллельных прямых5,Как найти секущую при параллельных прямых4 иКак найти секущую при параллельных прямых6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Как найти секущую при параллельных прямых2 иКак найти секущую при параллельных прямых8,Как найти секущую при параллельных прямых1 иКак найти секущую при параллельных прямых7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Как найти секущую при параллельных прямых2 иКак найти секущую при параллельных прямых6,Как найти секущую при параллельных прямых3 иКак найти секущую при параллельных прямых7,Как найти секущую при параллельных прямых1 иКак найти секущую при параллельных прямых5,Как найти секущую при параллельных прямых4 иКак найти секущую при параллельных прямых8 — соответственные углы;
  • Как найти секущую при параллельных прямых3 иКак найти секущую при параллельных прямых6,Как найти секущую при параллельных прямых4 иКак найти секущую при параллельных прямых5 — внутренние односторонние углы;
  • Как найти секущую при параллельных прямых2 иКак найти секущую при параллельных прямых7,Как найти секущую при параллельных прямых1 иКак найти секущую при параллельных прямых8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Как найти секущую при параллельных прямых

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых— данные прямые, АВ — секущая, Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2 (рис. 166).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказать: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Как найти секущую при параллельных прямыхи продлим его до пересечения с прямой Как найти секущую при параллельных прямыхв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Как найти секущую при параллельных прямых1 = Как найти секущую при параллельных прямых2 по условию, Как найти секущую при параллельных прямыхBMK =Как найти секущую при параллельных прямыхAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Как найти секущую при параллельных прямыхANM =Как найти секущую при параллельных прямыхBKM = 90°. Тогда прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2 (рис. 167).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказать: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхи секущей Как найти секущую при параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямыхl +Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180° (рис. 168).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказать: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхи секущей Как найти секущую при параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Как найти секущую при параллельных прямых

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Как найти секущую при параллельных прямыхAOB = Как найти секущую при параллельных прямыхDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Как найти секущую при параллельных прямыхBAO=Как найти секущую при параллельных прямыхCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Как найти секущую при параллельных прямыхBAK = 26°, Как найти секущую при параллельных прямыхADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Как найти секущую при параллельных прямыхBAC = 2 •Как найти секущую при параллельных прямыхBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Как найти секущую при параллельных прямыхADK +Как найти секущую при параллельных прямыхBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Как найти секущую при параллельных прямых1=Как найти секущую при параллельных прямых2. Так как Как найти секущую при параллельных прямыхBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Как найти секущую при параллельных прямых2 =Как найти секущую при параллельных прямых3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Как найти секущую при параллельных прямых||Как найти секущую при параллельных прямых.

Реальная геометрия

Как найти секущую при параллельных прямых

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Как найти секущую при параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Как найти секущую при параллельных прямыхпроходит через точку М и параллельна прямой Как найти секущую при параллельных прямых(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Как найти секущую при параллельных прямыхв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Как найти секущую при параллельных прямых

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямых||Как найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых(рис. 187).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказать: Как найти секущую при параллельных прямых||Как найти секущую при параллельных прямых.

Доказательство:

Предположим, что прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых, параллельные третьей прямой Как найти секущую при параллельных прямых. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Как найти секущую при параллельных прямых||Как найти секущую при параллельных прямых. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2,Как найти секущую при параллельных прямых3 =Как найти секущую при параллельных прямых4. Доказать, что Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых.

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых. Так как Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых, то Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямыхпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Как найти секущую при параллельных прямых

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Как найти секущую при параллельных прямых, которая параллельна прямой Как найти секущую при параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых, которые параллельны прямой Как найти секущую при параллельных прямых. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых, АВ — секущая,Как найти секущую при параллельных прямых1 иКак найти секущую при параллельных прямых2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказать: Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2.

Доказательство:

Предположим, чтоКак найти секущую при параллельных прямых1 Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых, параллельные прямой Как найти секущую при параллельных прямых. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иКак найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямых— секущая,Как найти секущую при параллельных прямых1 иКак найти секущую при параллельных прямых2 — соответственные (рис. 196).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказать:Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых, Как найти секущую при параллельных прямых— секущая,Как найти секущую при параллельных прямых1 иКак найти секущую при параллельных прямых2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказать:Как найти секущую при параллельных прямыхl +Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Как найти секущую при параллельных прямых2 +Как найти секущую при параллельных прямых3 = 180°. По свойству параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямыхl =Как найти секущую при параллельных прямых3 как накрест лежащие. Следовательно,Как найти секущую при параллельных прямыхl +Как найти секущую при параллельных прямых2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, т. е.Как найти секущую при параллельных прямых1 = 90°. Согласно следствию Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, т. е.Как найти секущую при параллельных прямых2 = 90°.

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Как найти секущую при параллельных прямых

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Как найти секущую при параллельных прямыхАОВ =Как найти секущую при параллельных прямыхDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Как найти секущую при параллельных прямых

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Как найти секущую при параллельных прямыхABD =Как найти секущую при параллельных прямыхCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Как найти секущую при параллельных прямыхADB =Как найти секущую при параллельных прямыхCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхпараллельны, то пишут: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых(рис. 211).

Как найти секущую при параллельных прямых

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Как найти секущую при параллельных прямых

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Как найти секущую при параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеКак найти секущую при параллельных прямых2 =Как найти секущую при параллельных прямых3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоКак найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых3. Значит,Как найти секущую при параллельных прямых1 =Как найти секущую при параллельных прямых2.

Как найти секущую при параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямыхи АВКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, то расстояние между прямыми Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Как найти секущую при параллельных прямых. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Как найти секущую при параллельных прямых

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых, А Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, С Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, АВКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых, CDКак найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Как найти секущую при параллельных прямых

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Как найти секущую при параллельных прямыхCAD =Как найти секущую при параллельных прямыхBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Как найти секущую при параллельных прямыхравны (см. рис. 285). Прямая Как найти секущую при параллельных прямых, проходящая через точку А параллельно прямой Как найти секущую при параллельных прямых, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Как найти секущую при параллельных прямых, которая параллельна прямой Как найти секущую при параллельных прямых. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Как найти секущую при параллельных прямыхбудет перпендикуляром и к прямой Как найти секущую при параллельных прямых(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Как найти секущую при параллельных прямыхADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Как найти секущую при параллельных прямыхBAD +Как найти секущую при параллельных прямыхADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Как найти секущую при параллельных прямых

Тогда Как найти секущую при параллельных прямыхBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Как найти секущую при параллельных прямыхАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Как найти секущую при параллельных прямых, параллельную прямой Как найти секущую при параллельных прямых.

Как найти секущую при параллельных прямых

Тогда Как найти секущую при параллельных прямых|| Как найти секущую при параллельных прямых. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Как найти секущую при параллельных прямыхравноудалены от прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхна расстояние Как найти секущую при параллельных прямыхАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых, то есть расстояние от точки М до прямой Как найти секущую при параллельных прямыхравно Как найти секущую при параллельных прямыхАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Как найти секущую при параллельных прямых. Но через точку К проходит единственная прямая Как найти секущую при параллельных прямых, параллельная Как найти секущую при параллельных прямых. Значит, точка М принадлежит прямой Как найти секущую при параллельных прямых.

Таким образом, все точки прямой Как найти секущую при параллельных прямыхравноудалены от прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Как найти секущую при параллельных прямых. Прямая Как найти секущую при параллельных прямых, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Как найти секущую при параллельных прямых

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Как найти секущую при параллельных прямыхКак найти секущую при параллельных прямых

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Как найти секущую при параллельных прямых

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямых— параллельны.

Как найти секущую при параллельных прямых

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Как найти секущую при параллельных прямыхи Как найти секущую при параллельных прямыхесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Как найти секущую при параллельных прямых

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

решение задач на параллельность прямыхСкачать

решение задач на параллельность прямых

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Углы при параллельных прямыхСкачать

Углы при параллельных прямых

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данирСкачать

Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данир

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.Скачать

Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.

Углы между параллельными прямыми и секущей | Геометрия | АлгебраСкачать

Углы между параллельными прямыми и секущей  |  Геометрия | Алгебра

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей  Задачи на признаки параллельност
Поделиться или сохранить к себе: