Отрицательный арккосинус на окружности

Обратная тригонометрическая функция: Арккосинус (arccos)

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Определение

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция.

Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x , при -1≤x≤1.

Если косинус угла у равен х (cos y = x), значит арккосинус x равняется y :

Примечание: cos -1 x означает обратный косинус, а не косинус в степени -1.

Например:

arccos 1 = cos -1 1 = 0° (0 рад)

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

График арккосинуса

Функция арккосинуса пишется как y = arccos (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Отрицательный арккосинус на окружности

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Свойства арккосинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арккосинуса с формулами.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи (y=cosx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (cosx=1), то (x=2pi k, kinmathbb); (cosx=0), то (x=fracpi2+pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (0leq xleq pi) (верхняя половина числовой окружности).

(arccosfrac12=fracpi3, arccosleft(-frac<sqrt>right)=frac)
(arccos2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

Отрицательный арккосинус на окружности
1. Область определения (-1leq xleq1) .
2. Функция ограничена сверху и снизу (0leq arccosxleq pi) . Область значений (yin[0;pi])
3. Максимальное значение (y_=pi) достигается в точке x =-1
Минимальное значение (y_=0) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Отрицательный арккосинус на окружностиЗначениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение (cosx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (pmfracpi3) — это базовые корни.
Если взять верхний корень (fracpi3) и прибавить к нему полный оборот (fracpi3+2pi=frac), косинус полученного угла (cosfrac=frac12), т.е. (frac) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi3+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (-fracpi3+2pi k).
Получаем ответ: (x=pmfracpi3+2pi k)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
(x=pm arccosfrac12+2pi k)
А т.к. арккосинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi3), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (cosx=0,8)

Отрицательный арккосинус на окружностиНайдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8.
Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
(x=pm arccos0,8+2pi k)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для (arccos(-a)).

Отрицательный арккосинус на окружностиПо построению: $$ begin angle DA’O=angle BAO=angle CAO=90^\ OD=OB=OC=1\ OA’=OA=a end Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) begin Delta DA’O=Delta BAO=Delta CAORightarrow\ Rightarrow angle DOC=angle A’OA-alpha+alpha=angle A’OA=180^=pi\ -arccosa+pi=arccos(-a) end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arccosx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (0leq yleq pi).
Обратная функция (y=cosx) должна иметь ограниченную область определения (0leq xleq pi) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:
Отрицательный арккосинус на окружности
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (cos x=-1)
Отрицательный арккосинус на окружности
(x=pi+2pi k)
б) (cos x=frac<sqrt>)
Отрицательный арккосинус на окружности
(x=pmfracpi4+2pi k)
в) (cos x=0)
Отрицательный арккосинус на окружности
(x=pmfracpi2+2pi k=fracpi2+pi k)
г) (cos x=sqrt)
Отрицательный арккосинус на окружности
(sqrtgt 1, xinvarnothing)
Решений нет
д) (cos x=0,7)
Отрицательный арккосинус на окружности
(x=pm arccos(0,7)+2pi k)
e) (cos x=-0,2)
Отрицательный арккосинус на окружности
(x=pm arccos(-0,2)+2pi k)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8; arccos(-0,5); arccosfracpi7 $$

Отрицательный арккосинус на окружностиСпособ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: (angle A_1OAltangle A_2OAangle A_3OA)
$$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Отрицательный арккосинус на окружностиСпособ 2. Решение с помощью графика (y=arccosx)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; (fracpi7); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: (arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5))

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arccos(x^2-3x+3)=0) begin x^2-3x+3=cos0=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end Ответ:

(б) arccos^2x-arccosx-6=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0Rightarrow (t-3)(t+2)=0Rightarrow left[ begin t_1=3\ t_2=-2lt 0 — text end right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin arccosx=3\ x=cos3 end Ответ: cos3

(в) arccos^2x-pi arccosx+frac=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: begin t^2-pi t+frac=0\ D=(pi^2)-4cdot frac=frac, sqrt=fracpi3\ left[ begin t_1=frac=fracpi3\ t_2=frac=frac end right. Rightarrow left[ begin arccosx_1=fracpi3\ arccosx_2=frac end right. Rightarrow left[ begin x_1=cosleft(fracpi3right)=frac12\ x_2=cosleft(fracright)=-frac12 end right. end Ответ: (left)

🎦 Видео

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020

Отрицательный аргумент у тригонометрических функций [понять нельзя заучивать]Скачать

Отрицательный аргумент у тригонометрических функций [понять нельзя заучивать]

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Занятие 4. Арксинус и арккосинус. Основы тригонометрииСкачать

Занятие 4. Арксинус и арккосинус. Основы тригонометрии

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинусСкачать

Алгебра 10 класс. 18 октября. Что такое arccos арккосинус
Поделиться или сохранить к себе: