Поворот трапеции на вектор

Параллельный перенос и поворот

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Матрица поворотаСкачать

Матрица поворота

Параллельный перенос

Введем определение параллельного переноса на вектор. Пусть нам дан вектор $overrightarrow$.

Поворот трапеции на вектор

Рисунок 1. Параллельный перенос

Введем следующую теорему.

Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их параллельном переносе на вектор $overrightarrow$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 2).

Поворот трапеции на вектор

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Значит четырехугольник $_1N_1N$ — параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Поворот

Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $alpha $.

Поворот вокруг точки $O$ на угол $alpha $ — отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $_1=OM, angle M_1=angle alpha $ (Рис. 3).

Поворот трапеции на вектор

Рисунок 3. Поворот

Готовые работы на аналогичную тему

Введем следующую теорему.

Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $alpha $ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 4).

Поворот трапеции на вектор

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Так как, по определению 2, $_1=OM, _1=ON$ и $overrightarrow<_1>=overrightarrow$, а ,$angle MON=angle M_1ON_1$, то

Следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.

Теорема доказана.

Видео:§35 Формулы поворота координатных осейСкачать

§35 Формулы поворота координатных осей

Примеры задач на параллельный перенос и поворот

Построить треугольник $A_1B_1C_1$,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол $^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$.

Решение.

Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$. Так как поворот производится на угол, равный $^0$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ — середины стороны $AC$. По определению, отрезок $BA_1=BA$. Построим его (Рис. 5).

Поворот трапеции на вектор

Построим теперь вершину $C_1$ по определению 2:

[angle CBC_1=^0, BC=BC_1]

Соединим все вершины треугольника $A_1B_1C_1$ (Рис. 6).

Поворот трапеции на вектор

Решение закончено.

Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $overrightarrow$.

Решение.

Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $overrightarrow$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 7).

Поворот трапеции на вектор

Решение закончено.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2022

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Заметки о вращении вектора кватернионом

Структура публикации

  • Получение кватерниона из вектора и величины угла разворота
  • Обратный кватернион
  • Умножение кватернионов
  • Поворот вектора
  • Рысканье, тангаж, крен
  • Серия поворотов

Получение кватерниона из вектора и величины угла разворота

Ещё раз – что такое кватернион? Для разработчика – это прежде всего инструмент, описывающий действие – поворот вокруг оси на заданный угол:

где v – ось, выраженная вектором;
w – компонента, описывающая поворот (косинус половины угла).

Положительное значение угла разворота означает поворот вдоль вектора по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора в его начало.

Например, кватернион поворота вдоль оси Х на 90 градусов имеет следующие значения своих компонент: w = 0,7071; x = 0,7071; y = 0; z = 0. Левая или правая система координат, разницы нет – главное, чтобы все операции выполнялись в одинаковых системах координат, или все в левых или все в правых.

Поворот трапеции на вектор

С помощью следующего кода (под рукой был Visual Basic), мы можем получить кватернион из вектора и угла разворота вокруг него:

В коде rotate_vector – это вектор, описывающий ось разворота, а rotate_angle – это угол разворота в радианах. Вектор должен быть нормализован. То есть его длина должа быть равна 1.

Не забывайте про ситуацию, когда длина может быть 0. Вместо ошибки вам может понадобиться обработать эту ситуацию индивидуально.

Обратный кватернион

Для поворота вектора кватернионом требуется уметь делать обратный разворот и правильно выполнять операцию умножения кватернионов. Под обратным разворотом я имею ввиду обратный кватернион, т. е. тот, который вращает в обратную сторону.

Чтобы получить обратный кватернион от заданного, достаточно развернуть вектор оси в другую сторону и при необходимости нормализовать кватернион. Нормализация кватерниона так же как и в векторах, это просто приведение к длине = 1.

Например, если разворот вокруг оси Y на 90 градусов = (w=0,707; x = 0; y = 0,707; z=0), то обратный = (w=0,707; x = 0; y = -0,707; z=0). Казалось бы, можно инвертировать только компоненту W, но при поворотах на 180 градусов она = 0. Кватернион, который означает «нет разворота» = (w=1; x = 0; y = 0; z=0), то есть у него длина вектора оси = 0.

Умножение кватернионов

Умножение кватернионов крайне полезная штука. Результатом умножения является кватернион, который после поворота даёт такой же результат, если последовательно выполнить развороты умножаемыми кватернионами. Причём разворот будет происходить в локальной для поворачиваемого вектора системе отчёта, т. е. система отчёта поворачиваемого вектора также двигается.

Поворот трапеции на векторПоворот трапеции на вектор

Умножение кватернионов выполняется следующим образом:

Для того, чтобы умножить кватернион на 3D вектор, нужно вектор преобразовать в кватернион присвоив компоненте W = 0 и умножить кватернион на кватернион. Или подставить ноль и выразить это в виде функции:

Поворот вектора

Теперь, собственно, поворот вектора кватернионом:

Вектор описывающий ось (x=1; y=0; z=1). Угол поворота 180 градусов.
Поворачиваемый вектор (x=0; y=0; z=1). Результат равен (x=1; y=0; z=0).

Поворот трапеции на вектор

Рысканье, тангаж, крен

Рассмотрим инструмент формирования кватерниона с помощью поворотов вокруг одной из осей:
Рысканье = heading = yaw = вокруг оси Z; тангаж = altitude = pitch = вокруг оси Y; крен = bank = roll = вокруг оси X.

И в обратную сторону, из кватерниона:

Формулы преобразования зависят от принятой системы координат.

Серия поворотов

Рассмотрим пример:
1. Первый поворот – рысканье (вокруг Z) 90 градусов по часовой;
2. Второй поворот – тангаж (вокруг Y) 90 градусов по часовой;
3. Третий поворот – крен (вокруг X) 90 градусов по часовой.

Рисунки, изображающие поворот и подписанные как «global» демонстрируют повороты относительно неподвижных осей XYZ. Такой результат мы получим, если будем использовать кватернионы разворота по отдельности. Четвёртый рисунок демонстрирует, где окажется вектор, если начальные координаты у него были X=1; Y=0; Z=0.

Рисунки, подписанные как «local» демонстрируют вращение осей вместе с самолетом. То есть все вращения происходят относительно пилота, а не относительно неподвижной системы координат. Четвёртый рисунок показывает, где окажется тот же самый вектор (1; 0; 0) в итоге всех трёх поворотов. Такой результат мы получим, перемножив кватернионы разворота и применив полученный кватернион.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Корзина

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Параллельный перенос» представлена на примере решения задач 145 — 148;
  • – в контрольных работах с номерами 149 — 154 данной рабочей тетради по математике рассматривается поворот плоскости вокруг точки на угол;
  • – повторение курса геометрии 9 класса в решениях приведено на примере заданий 155 — 173: углы треугольника, площадь треугольника через катеты и гипотенузу, вычисление радиуса описанной окружности, стороны ромба, подобные треугольники.

Видео:#193 ПОВОРОТЫ ВЕКТОРОВ // ПАРАЛЛЕЛОГРАММСкачать

#193 ПОВОРОТЫ ВЕКТОРОВ // ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Параллельный перенос

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторОпределение:

Параллельным переносом на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что два вектора равны

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Задача 145.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторвектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

A → A1 : Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

B → B1 : Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Теорема:

При параллельном переносе на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторсохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

f – параллельный перенос на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

M Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторM1

N Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторN1

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторДоказать:

Точка M переводится движением в точку M1 с условием, что два вектора равны: M Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторM1: Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= MM1

Точка N переводится движением в точку N1 с условием, что два вектора равны: N Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторN1: Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= NN1

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM1 || NN1 и построенные отрезки равны MM1 = NN1

Значит, четырехугольник MM1N1N – параллелограмм.

Поэтому MN = M1N1, значит f – движение.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Задача 146.

A Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA1:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

B Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

C Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC1:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

A Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA1: Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

B Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

C Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC1:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор***

Задача 147.

точка D лежит на AC: D Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAC

точка C лежит на AD: C Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAD

BC Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1D

б) Доказать: ABB1D – равнобедренная трапеция

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор: a || Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

2) Точка B переводится движением в точку B1

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

3) Проведем прямую B1D, параллельную отрезку BC:

Рассмотрим четырехугольник BB1DC.

Т.к. основания BB1 || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB1DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB1 = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B1D

Т.к. BB1 || AD параллельны и AB Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1D не параллельны, следовательно, ABB1D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B1D, то ABB1D – равнобедренная трапеция.

Задача 148.

Дано: Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

окр (O;R) Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторокр (O1;R1)

ΔABC Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔA1B1C1

EFPQ Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторE1F1P1Q1

как показано на рисунке.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПоворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что угол поворота

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторMOM1 = α и OM1 = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

Задача 149.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторДано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

1) A Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAOA1 = 75°

2) B Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBOB1 = 75°

Теорема:

Поворот является движением.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторf – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM1N1 по двум сторонам и углу между ними:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторMON = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторM1ON1

Тогда MN = M1N1, значит, f – движение.

Задача 150.

точка O – центр поворота

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторα = 180°

1) A Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAOA1 = 180°

2) B Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBOB1 = 180°

Задача 151.

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

1) B Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBAB1 = 160°

2) C Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCAC1 = 160°

Задача 152.

точка O – центр поворота

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПостроить:

1) A Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAOA1 = 120°

2) B Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBOB1 = 120°

Задача 153.

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПостроить:

1) проведем луч CO

2) C Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC1;

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCOC1 = 60°

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C1;R) будут тоже совпадать.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Задача 154.

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

ΔABC Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔABC

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторADB = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBDC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCDA

A Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB

B Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC

C Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

Повторение.

Задача 155.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABC : Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBCA : Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCAB = 3 : 7 : 8

Найти: наибольший угол треугольника

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, составим и решим уравнение:

3x + 7x + 8x = 180

Наибольший угол Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCAB = 8 • 10 = 80°

Задача 156.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABC > Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBAC на 60°

Найти: угол при основании треугольника

Пусть x° – угол при основании треугольника. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

(x + 60°) + x + x = 180°

Значит, Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBAC = 40°.

Задача 157.

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

Найти: больший катет b

Пусть x – коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора составим и решим уравнение:

(5x) 2 + (12x) 2 = 26 2

25x 2 + 144x 2 = 676

b = 12 • 2 = 24 (см)

Задача 158.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 90°

c = 13 – гипотенуза

По теореме Пифагора получаем:

a = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 12

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторab = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор=

= 30 (квадратных единиц)

Задача 159.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 90°

c = 4 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор– гипотенуза

Найти: площадь треугольника SΔABC = ?

SΔABC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторab

Т.к. Δ ABC – равнобедренный, то углы при основании по 45° и катеты равны a = b.

По теореме Пифагора получаем:

Тогда (4 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор) 2 = 2a 2

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторab = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор=

= 8 (квадратных единиц)

Задача 160.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA = 90°

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторa = 6

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Т.к. AH – медиана, то CH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторc

По теореме Пифагора получаем:

Тогда CH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторc = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 5 (ед)

Точка H – центр описанной окружности

Т.к. R = AH, то R = AH = CH = 5 ед.

Задача 161.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 90°

соотношение острых углов

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABC : Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCAB = 1 : 2

AC = 4 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

Тогда Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCAB = 30°,

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABC = 2 • 30° = 60°

Следовательно, BC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB

По теореме Пифагора получаем:

AC 2 + Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= AB 2

AC 2 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB 2

AB 2 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 64

R = AD = BD = 8 : 2 = 4 (ед)

Задача 162.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 90°

радиус описанной окружности

Тогда AB = 2,5 • 2 = 5

По теореме Пифагора получаем:

AC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 4 (ед)

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторЗадача 163.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 90°

tg Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

0,6 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор; AC = 3 • Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 5 (ед)

Задача 164.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA = 90°

Найти: Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABC = ?

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторРешение:

Т.к. AH = AC, то Δ AHC – равнобедренный.

Точка H – радиус вписанной окружности, поэтому AH = CH, но AH = AC, следовательно, AH = CH = AC.

Тогда Δ AHC – равносторонний.

Значит, Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторHAC = AHC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторHCA = 60°.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABC = 180° – (90° + 60°) = 30°.

Задача 165.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

SΔABC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторкв.ед.

Найти: длину биссектрисы BH = ?

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторТ.к. Δ ABC – правильный, то все углы по 60°.

Рассмотрим Δ ABC – равнобедренный, где

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBAC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBCA = 60°.

Тогда BH – медиана, высота.

Значит, перпендикулярны отрезки BH Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAC.

Рассмотрим треугольники Δ ABH и Δ BHC.

AB = BC, по условию.

AH = CH, BH – медиана.

Значит, треугольники равны Δ ABH = Δ BHC.

Т.е. SΔABH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторSΔABC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПоворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор(кв.ед.)

SΔABH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAH • BH

Рассмотрим треугольник Δ ABH.

Т.к. BH – биссектриса, то угол Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABH = 30°, поэтому

AH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB

SΔABH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB • BH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

AB • BH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор(*)

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

AB 2 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB 2 + BH 2

BH 2 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB 2

BH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB (**)

Используя результат (**) в уравнении (*), получаем

AB • Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAB = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

AB 2 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

AB = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Тогда AB • BH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор• BH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Задача 166.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторрадиус описанной окружности

R = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Найти: площадь треугольника

Рассмотрим Δ ABO (AO = BO = R) Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔ ABO – равнобедренный.

Проведем из вершины O к AB высоту OH.

Рассмотрим Δ AOH, где Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAHO = 90°.

Т.к. Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторHAO = 30°, то OH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAO Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторOH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторR

OH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПоворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

По теореме Пифагора получаем:

OH 2 + AH 2 = OA 2

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор+ AH 2 = ( Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор) 2 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор+ AH 2 =

= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

AH 2 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПоворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Тогда площадь треугольника

SΔAOH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAH • OH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПоворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторПоворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Следовательно, SΔABO = 2 • SΔAOH = 2 • Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор(кв.ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABC = 3 • SΔABO = 3 • Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 2 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 2,25 (кв.ед.)

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторЗадача 167.

Площадь ромба SABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

Найти: сторону ромба AB = ?

SABCD = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAC • BD

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда

SABCD = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор3x • 4x

Следовательно, диагональ BD = 4x = 4 • 8 = 32

AC = 3x = 3 • 8 = 24

Поэтому половина диагонали AO = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор• 24 = 12

BO = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBD = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор• 32 = 16

По теореме Пифагора получаем:

AO 2 + BO 2 = AB 2

Сторона ромба AB = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 20

Задача 168.

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектороснование AD = 16

Найти: площадь треугольника

SΔABD = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAD • BH

Проведем высоту BH к основанию AD.

По свойству равнобедренного треугольника:

BH – медиана, биссектриса, высота.

Т.к. BH – медиана, то AH = DH = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим треугольник Δ ABH, где угол Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAHB = 90°.

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

BH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 6 (ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABD = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAD • BH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор•16 • 6 = 48 (кв.ед.)

Ответ: площадь треугольника SΔABD = 48 кв.ед.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Задача 169.

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

Найти: основание AC = ?

Т.к. треугольник Δ ABC –равнобедренный, то BH – высота, медиана, биссектриса.

Тогда AC = AH + CH = AH + AH = 2 AH

Рассмотрим Δ ABH – прямоугольный.

Пусть AC = (x) ед. Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAH = ( Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор) ед.

Тогда AB = (x – 15) ед. (по условию).

По теореме Пифагора решим уравнение:

(x – 15) 2 = ( Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор) 2 + 15 2 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторx 2 – 30x + 225 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор+ 225

4 (x 2 – 30x) = x 2

4x 2 – 120x = x 2

3x 2 – 120x = 0 | : x

Таким образом, 40 ед. – длина основания.

Ответ: AC = 40 ед.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Подобные треугольники

Задача 170.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектортреугольник Δ ABC, два угла

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA = 54°

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB = 18°

CH – биссектриса угла Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔ ABC

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 180° – ( Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA + Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB)

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса угла Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC, то

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBCH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторHCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторHBC = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторB = 18°

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBCH = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторA = 54°

Тогда Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCHB = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторC = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔ ABC.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторЗадача 171.

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= ?

Углы равны Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторCBO = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Углы равны Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBCO = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторOAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда треугольники подобны Δ BCO Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔ AOD.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор. Тогда 4AO = 10BO Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBO = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторAO

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 0,4 = k

Пусть BO = x, AO = 8 – x. Тогда 10x = 4 • (8 – x)

x = 2 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор(см)

Следовательно, BO = 2 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторсм.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= k = 0,4

Ответ: BO = 2 Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторсм, Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 0,4.

Задача 172.

ΔABC Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔA1B1C1 ,

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторпериметр треугольника:

P (ΔABC) = 12 +16 + 20 = 48 (дм)

Т.к. треугольники подобны, то

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= k (*)

Тогда соотношение периметров треугольников

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= k (**)

Из равенств (*) и (**) следует

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

B1C1 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 20 (дм)

Тогда Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

A1B1 = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= 15 (дм)

Задача 173.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔBMC:

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторBAD = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторMBC, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AB.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторMCB = Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторMDA, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.

Тогда, по первому признаку подобия треугольников:

треугольники подобны Δ AMD Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на векторΔ BMC.

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор,

но AM = AB + BM = 3,9 + BM

8 • BM = 5 (3,9 + BM)

Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор= Поворот трапеции на вектор Поворот трапеции на вектор,

🔥 Видео

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Формула поворота РодригаСкачать

Формула поворота  Родрига

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Трапеция, треугольник, работа с узлами, изменение угла и поворот в ноль. Corel Draw от ДеревяшкинаСкачать

Трапеция, треугольник, работа с узлами, изменение угла и поворот в ноль. Corel Draw от Деревяшкина

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Векторное произведение векторовСкачать

Векторное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

А.5.11 Преобразования: параллельный перенос, поворот, гомотетия (+Д/З)Скачать

А.5.11 Преобразования: параллельный перенос, поворот, гомотетия  (+Д/З)

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия
Поделиться или сохранить к себе: