Поворот окружности на 45 градусов (8 видео)

Угол поворота, угол произвольной величины

Среди множества терминов тригонометрии важным является понятие угла поворота. В данной статье рассмотрим поворот и все соответствующие ему определения; дадим представление о полном обороте; изучим угол поворота и его характеристики, а также поворот фигуры вокруг точки. Для лучшего понимания теория будет снабжена иллюстрациями и практическими примерами.

Содержание

Поворот точки вокруг точки
Полный оборот
Угол поворота
Направление поворота
Величина угла поворота, угол произвольной величины
Поворот фигуры вокруг точки на угол
Параллельный перенос и поворот
Параллельный перенос
Поворот
Готовые работы на аналогичную тему
Примеры задач на параллельный перенос и поворот
Поворот. Задачи
💥 Видео

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Поворот точки вокруг точки

Центр поворота – точка, относительно которой осуществлен поворот.

Рассмотрим, что происходит в результате поворота точки. Пусть некоторая точка А поворачивается относительно центра поворота О , в результате чего получается точка А 1 (при совершении некоторого количества полных оборотов она может совпасть с точкой А ). При этом точка А 1 лежит на окружности с центром в точке О радиуса О А . Другими словами, когда точка А осуществляет поворот относительно точки О , она переходит в точку А 1 , лежащую на окружности с центром О радиуса О А .

Считается, что в данном случае точка О при осуществлении поворота вокруг самой себя переходит в саму себя. Или: когда точка О осуществляет поворот вокруг центра поворота О , она переходит в саму себя.

Отметим также, что поворот точки А относительно центра О нужно рассматривать, в том числе, как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке О радиуса О А .

Изобразим графически поворот точки А относительно точки О , перемещение точки А в точку А 1 отметим стрелкой:

Видео:45 Квадрат, поворот и 45 градусовСкачать

Полный оборот

Возможно осуществить поворот точки А относительно центра поворота О таким образом, что точка А , пройдя все точки окружности, вернется на прежнее свое место. Тогда говорим, что точка совершила полный оборот вокруг точки О .

Если движение точки А по окружности продолжится, то будет выполнено два, три и так далее полных оборотов. На иллюстрации ниже справа отображено два полных оборота, а слева – три:

В рамках всего вышесказанного можно также говорить о частях полного оборота. Например, о половине оборота или трети, или четверти и так далее.

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Угол поворота

Из указанного выше понятия поворота точки очевидно, что возможно бесконечное множество вариаций поворота точки А относительно центра О . Любую точку окружности с центром О можно рассматривать как точку А 1 , полученную в результате поворота точки А . Поэтому для определения отличия одного поворота от другого вводится понятие угла поворота.

Угол поворота имеет свои характеристики, одна из которых – направление поворота. По нему определяют, как перемещалась точка – по часовой стрелке или против.

Еще одной характеристикой угла поворота служит его величина. Углы поворота имеют ту же единицу измерения, что и углы в геометрии: наиболее распространены градусы и радианы. Отметим, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом в промежутке от — ∞ до + ∞ , что отличает его от угла в геометрии, который выражается только положительным числом, не превосходящим 180 ° .

Чтобы обозначить углы поворота, стандартно используют буквы греческого алфавита: α , β , γ и так далее. Чтобы обозначить большое количество углов поворота, применяют одну и ту же букву с различными нижними индексами: α 1 , α 2 , α 3 … . . α n .

Разберем характеристики угла поворота подробнее.

Видео:Как отрезать трубу под 45 градусов с минимальным зазоромСкачать

Направление поворота

Отметим на окружности с центром О точки А и А 1 . В точку А 1 возможно попасть, совершив точкой А поворот относительно центра О либо по часовой стрелке, либо – против. Очевидно определять эти повороты, как различные.

Принято считать, что поворот по часовой стрелке – поворот в отрицательном направлении направлении, а поворот против часовой стрелки – поворот в положительном направлении.

Приведем графическую иллюстрацию различных поворотов: слева на чертеже – поворот в положительном направлении; справа – в отрицательном.

Видео:9 класс, 33 урок, ПоворотСкачать

Величина угла поворота, угол произвольной величины

Угол поворота точки, не являющейся центром поворота, в полной мере определяется указанием его величины. С другой стороны, по величине угла поворота можно определить, каким образом поворот был осуществлен.

Как было сказано выше, величина угла поворота варьируется в пределах от — ∞ до + ∞ ;

Знак плюс определяет поворот против часовой стрелки, а минус – по часовой стрелке.

Необходимо установить соответствие между самой величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

Пусть угол поворота равен 0 ° . Такому углу поворота соответствует перемещение точки в саму себя. Иначе говоря, при повороте вокруг точки О на 0 ° точка A остается на месте.

Теперь предположим, что поворот точки А происходит в пределах половины оборота: пусть точка А переходит в точку А 1 . В таком случае абсолютная величина угла А О А 1 , выраженная в градусах, не превосходит 180 . Если поворот имел положительное направление, то величина угла поворота считается равной величине угла А О А 1 ; если отрицательное – величина угла поворота равна величине угла А О А 1 со знаком минус. Для иллюстрации этих утверждений отобразим на чертеже углы поворота в 30 ° , 180 ° и — 150 ° :

Углы поворота, превышающие 180 или меньшие – 180 определяются, исходя из очевидного свойства последовательных поворотов:

Несколько последовательных поворотов точки А относительно центра О равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

Рассмотрим пример, который даст нам возможность графически проиллюстрировать описанное свойство. Пусть точка А выполняет поворот относительно центра О на 45 ° , затем еще на 60 ° и еще раз — на — 35 ° . Обозначим промежуточные точки поворотов А 1 , А 2 и А 3 . В конечную точку А 3 возможно было попасть, совершив один поворот на угол поворота, величина которого равна: 45 ° + 60 ° + ( — 35 ° ) = 70 ° . Проиллюстрируем:

Таким, образом, углы, превышающие 180 ° , будем представлять, как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых определяет величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 298 ° соответствует последовательным поворотам на 180 ° и 118 ° , или 90 ° , 90 ° , 90 ° и 28 ° , или 180 ° , 180 ° и — 62 ° , или 298 последовательных поворотов на 1 ° .

По такому же принципу определяются углы меньше — 180 ° . Например, угол поворота — 515 ° можно определить, как последовательные повороты на — 180 ° , — 180 ° и — 155 ° .

Нами был определен угол поворота, и его величина выражается в градусах некоторым действительным числом в пределах от — ∞ до + ∞ . Тригонометрия работает именно с углами поворота, хотя для удобства слово «поворот» опускают и говорят «угол». Т.е. будем рассматривать углы произвольной величины, понимая под ними углы поворота.

В заключение также отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360 ° или 2 π радиан. Соответственно при отрицательном направлении полный оборот будет соответствовать углу в — 360 ° или — 2 π радиан.

При этом удобно большие углы поворота представлять, как некоторое количество полных оборотов и еще один на величину в пределах от — 180 ° до 180 ° . К примеру, поворот осуществляется на 1478 ° . Представим эту величину как: 360 · 4 + 38 , т.е. заданному углу поворота соответствуют 4 полных оборота и еще один поворот – на 38 ° . Или еще один пример: угол поворота в — 815 ° можно представить, как ( — 360 ) · 2 + ( — 95 ) , т.е. заданному углу поворота соответствуют 2 полных оборота в отрицательном направлении (против часовой стрелки) и еще один поворот того же направления на — 95 ° .

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Понятие поворота точки легко распространить на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (такой поворот, при котором и точка, относительно которой осуществляется поворот, и сама поворачиваемая фигура лежат в одной плоскости).

Поворот фигуры – это поворот всех ее точек вокруг заданной точки на заданный угол.

Как пример, иллюстрируем следующее действие: поворот отрезка А В на угол α относительно точки О – при повороте заданный отрезок перейдет в отрезок А 1 В 1 .

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Параллельный перенос и поворот

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Параллельный перенос

Введем определение параллельного переноса на вектор. Пусть нам дан вектор $overrightarrow$.

Рисунок 1. Параллельный перенос

Введем следующую теорему.

Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их параллельном переносе на вектор $overrightarrow$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Значит четырехугольник $_1N_1N$ — параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Видео:Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать

Поворот

Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $alpha $.

Поворот вокруг точки $O$ на угол $alpha $ — отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $_1=OM, angle M_1=angle alpha $ (Рис. 3).

Рисунок 3. Поворот

Готовые работы на аналогичную тему

Введем следующую теорему.

Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $alpha $ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 4).

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Так как, по определению 2, $_1=OM, _1=ON$ и $overrightarrow<_1>=overrightarrow$, а ,$angle MON=angle M_1ON_1$, то

Следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.

Теорема доказана.

Видео:Поворот фигуры. Построить поворот фигур вокруг точки на угол по часовой или против часовой стрелкиСкачать

Примеры задач на параллельный перенос и поворот

Построить треугольник $A_1B_1C_1$,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол $^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$.

Решение.

Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$. Так как поворот производится на угол, равный $^0$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ — середины стороны $AC$. По определению, отрезок $BA_1=BA$. Построим его (Рис. 5).

Построим теперь вершину $C_1$ по определению 2:

[angle CBC_1=^0, BC=BC_1]

Соединим все вершины треугольника $A_1B_1C_1$ (Рис. 6).

Решение закончено.

Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $overrightarrow$.

Решение.

Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $overrightarrow$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 7).

Решение закончено.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2022

Видео:ПоворотСкачать

Поворот. Задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Это занятие будет посвящено теме «Поворот». Мы решим несколько задач на упомянутую тему, но для начала повторим понятие движения. После чего рассмотрим один из видов движения – поворот, перечислим его свойства и особенности. Решим вместе с преподавателем задачи на эту тему.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур»