Постройте в полярных координатах следующие кривые окружность matlab (7 видео)

polar

(Not recommended) Polar coordinate plot

polar is not recommended. Use polarplot instead.

Содержание

Syntax
Description
Кривые в полярной системе координат
Лабораторная работа № 3. Построение графиков
📺 Видео

Видео:Полярная система координатСкачать

Syntax

polar(theta,rho)
polar(theta,rho,LineSpec)
polar(axes_handle. )
h = polar(. )

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Description

The polar function accepts polar coordinates, plots them in a Cartesian plane, and draws the polar grid on the plane.

polar(theta,rho) creates a polar coordinate plot of the angle theta versus the radius rho . theta is the angle from the x -axis to the radius vector specified in radians; rho is the length of the radius vector specified in dataspace units.

polar(theta,rho,LineSpec) LineSpec specifies the line type, plot symbol, and color for the lines drawn in the polar plot.

polar(axes_handle. ) plots into the axes with the handle axes_handle instead of into the current axes ( gca ).

h = polar(. ) returns the line object in h .

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Кривые в полярной системе координат

Познакомимся с полярной системой координат и рассмотрим некоторые кривые в ней.

Полярная система координат определяет точку на плоскости с помощью двух чисел (г,^), которые называются полярным радиусом г и полярным углом или азимутом ф соответственно. Полярная система координат задается лучом, выходящим из некоторой точки. Данный луч называется нулевым или полярной осью. Точка начала луча называется полюсом или началом координат.

Любая точка на плоскости может быть определена в полярной системе координат парой чисел: расстоянием от полюса г и углом ф, на который необходимо повернуть против часовой стрелки полярную ось, чтобы она прошла через данную точку. На рис.8,а приведена геометрия позиционирования полярной оси ОР, начала координат О и некоторой произвольной точки А на плоскости. Полюс системы координат на рис.8,а обозначен четырехконечной звездой.

Полярная система координат удобна в тех случаях, когда геометрия описываемых объектов имеет радиальную и (или) угловую симметрии, как всего объекта, так и его части. Легко построить формулы перехода от полярной системы координат (г,ф) к декартовой (х,у) и, наоборот, от декартовой к полярной. На рис.8,6 приведен схема, из которой легко можно вывести следующие формулы перехода:

х = г-соъф, у = r-sinfr, г = д/х 2 + у 2 , ф = arctg^. (19)

Рис.8,а. Полярная система координат

Рис.8,6. Позиционирование полярной и декартовой системы координат

Общее уравнение окружности с центром в точке (г₀,^ь) имеет следующий вид:

Задача №8. Построить окружность в полярной системе координат, используя формулу (20).

Решение. Для решения задачи необходимо разрешить уравнение (20) относительно г, тогда, оставляя положительное значения корня, получим

г = г₀ с OS ( — 4^0 ) + • (20′)

Программа рисования окружности, описываемой уравнением (20′), приведена на листинге №8.

%0чищаем рабочее пространство clear all

%Определяем центр окружности в полярной

%Определяем радиус окружности

%Вводим сетку по азимуту на отрезке [0,2*pi]

%Вычисляем значения радиуса при

%заданном полярном угле

sqrt(a A 2-rO A 2*sin(phi-phiO). л 2);

%Рисуем окружность в полярной системе координат

h=polar (phi,г); set(h, ’Linewidth’, 2)

После запуска программы листинга №8 получим график, примерный вид которого приведен на рис.9,а.

Произвольный луч, выходящий из полюса полярной системы координат, описывается уравнением ф = фо. Окружность радиуса г₀, центр которой находится в полюсе, описывается с помощью уравнения г = г₀—

Окружность в полярной системе координат

Полярная роза с иррациональным параметром к

Рис.9,а. Окружность в полярной системе координат

Рис.9,6. Полярная роза с иррациональным значением параметра к

Построим кривую в полярной системе координат, которая называется полярной розой. Уравнение, описывающее полярную розу, следующее:

г = г(ф) = а-со$(кф + фо), (21)

где а, к, фо — некоторые константы. Известно, что если к целое число, то уравнение (21) описывает розу с к лепестками, когда к нечетно и с 2к лепестками, когда к четно. Если к рациональное число, но не целое, лепестки будут перекрываться. Если же к иррационально число, то лепестки частично пере-крываясь, по мере роста полярного угла ф, заполнят всю область в форме круга с радиусом а.

Задача №9. Построить полярную розу для случая, когда к иррационально.

Решение. В качестве иррациональном значения параметра к возьмем л/2, т.е. к = л/2. Для рисования полярной розы рассмотрим программу, приведенную на листинга №9.

%0чищаем рабочее пространство clear all

%Определяем параметры полярной розы, %выбирая параметр к иррациональным а=2; phi0=0; k=sqrt(2);

%Определяем сетку по азимуту phi=0:0.1:75*pi;

%Строим график полярной розы polar(phi,a*cos(k.*phi+phiO))

После запуска программы листинга №9 появится график, примерный вид которого приведен на рис.9,6.

Так называемая спираль Архимеда описывается уравнением вида:

г = г(ф) — а + Ь- ф, (22)

где а, b — некоторые константы.

Задача №10. Построить динамическую имитацию спирали Архимеда, используя уравнение (22).

Решение. На листинге №10 приведена подходящая программа.

%0чищаем рабочее пространство clear all hold on

%Определяем параметры спирали Архимеда а=1; b=l;

%3апускаем цикл динамической имитации

%спирали Архимеда for i=l:N

%Определяем полярные координаты точек

%Маркируем точку спирали Архимеда звездой

После запуска программы листинга №10 включится динамическая имитация, по завершении которой останется график, примерный вид которого приведен на рис. 10,а.

Рис. 10,а. Завершающий кадр динамической имитации спирали Архимеда

Построение гиперболы в полярной системе координат

Рис. 10,6. Построение гиперболы в полярной системе координат

Так называемые конические сечения определяются уравнением вида:

В (23) параметр а называется фокальным параметром, а г — эксцентриситетом. При этом если ?> 1, то уравнение (23) описывает гиперболу, ес ли г — 1 — параболу, если 8 Посмотреть оригинал

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Лабораторная работа № 3. Построение графиков

1. Построение графиков функций.
2. Получение практических навыков работы в диалоговом режиме.

Одно из преимуществ системы MATLAB — обилие средств графики, начиная от команд построения простых графиков функций одной переменной в декартовой системе координат и заканчивая комбинированными и презентационными графиками с элементами анимации.

Построение графиков отрезками прямых

Для отображения функции одной переменной у(х) используются графики в декартовой (прямоугольной) системе координат. При этом обычно строятся две оси — горизонтальная Аи вертикальная Y — и задаются координаты х и у, определяющие узловые точки у(х). Эти точки соединяются друг с другом отрезками прямых, то есть при построении графика осуществляется линейная интерполяция для промежуточных точек. Поскольку MATLAB — матричная система, совокупность точек у(х) задается векторами X и Y одинакового размера.

Команда plot служит для построения графиков функций в декартовой системе координат. Эта команда имеет ряд параметров. Рассмотрим более подробно каждый из них.

plot (X, Y) строит график функции у(х), координаты точек (х, у), которые находят с помощью векторов одинакового размера Y и X.

Если X или Y — матрица, то строится семейство графиков по данным, содержащимся в матрице.

Пример 3.1. Рассмотреть вариант (рис. 3.1) построения графиков двух функций sin(x) и cos(x), данные которых содержатся в матрице Y, а значения х хранятся в векторе X.

График состоит из отрезков, и если необходимо, чтобы отображаемая функция имела вид гладкой кривой, надо увеличить количество узловых точек. Их расположение может быть произвольным.

Функция plot(Y) строит график y(z), где значения Y находят с помощью вектора Y, а і представляет собой индекс соответствующего элемента. Если Y содержит комплексные элементы, то выполняется команда plot(real(Y),imag(Y)). Во всех других случаях мнимая часть данных игнорируется.

Рис. 3.1. Построение графиков функций sin(x), cos(x) отрезками прямых

Пример 3.2. Построить график функции у = sin(x) + zcos(3x), где аргумент* є |—2 л; 2 л] и изменяется с шагом 0,02 (рис. 3.2).

» X = — 2 * pi: 0. 02 * pi: 2 *pi;

» у = sin (х) + і * cos (3 * x);

Пример 3.3. Построить график функции параболы в интервале [1; 10] с шагом 1.

Пример 3.4. Построить график функции параболы в интервале [1; 20] с шагом 0,1.

Рис. 3.2. График функции у = sin(x) + і cos (Зх)

»у = х. А 2; plot (х, у);

Функция plot (X, Y, S) аналогична команде plot (X, Y), но тип линии графика можно задавать с помощью строковой константы S, которая определяет цвет линии или вид символа.

Тип точки Тип линии

+ — плюс : — двойной пунктир

О — окружность — . — штрихпунктир

X — крест _ _ _ штриховая

Итак, с помощью строковой константы S можно:

Рис. 3.3. Три функции со спецификацией линий каждого графика

изменять цвет линии;

представлять узловые точки различными отметками (точка, окружность, треугольник);

менять тип линии.

Функция plot (XI, Yl, SI, Х2, Y2, S2,X3 ,Y3, S3. ) строит на одном графике ряд линий, представленных данными вида (X.,Y., Sp, где Xj и Yj — векторы или строки матрицы, a Sj задает цвет и тип точек или линий, из которых будет построен график.

При отсутствии указания на цвет линий и точек он выбирается автоматически из таблицы цветов (белый исключается).

Рассмотрим пример построения графиков трех функций с различным стилем представления каждой из них.

Пример 3.5. Построить графики трех функций со спецификацией линий каждого графика (рис. 3.3).

» х = — 2 * pi: 0.1 * pi: 2 * pi;

» plot (x, yl, ’ — b ’, x, y2, ’ — . + гx, y3,’ — ok’)

График функции yl строится сплошной синей линией, у2 — штрихпунктирной линией с точками в виде знака “плюс” красного цвета, график функции уЗ — штриховой линией с кружками черного цвета.

Несколько графиков в одном графическом окне

MATLAB позволяет разместить в графическом окне несколько осей и вывести на них различные графики. Самый простой способ заключается в разбиении окна на определенное число частей по вертикали и горизонтали с использованием функции subplot, которая располагает оси в виде матрицы и имеет три параметра: subplot (і, j, п). Здесь і, j — число подграфиков по вертикали и горизонтали, и — номер подграфика, который надо сделать текущим. Номер отсчитывается от левого верхнего угла построчно. Последовательность вызовов

приводит к размещению шести осей координат в графическом окне (рис. 3.4). Текущими являются последние созданные оси, то есть все графические функции будут осуществлять вывод на правые нижние оси. Для вывода графиков на другие оси их надо сделать

Рис. 3.4. Схема расположения подграфиков после выполнения команды subplot (3, 2, 4) текущими. Это достигается либо щелчком мыши по ним, либо повторным вызовом функции subplot. Например, команда subplot (3, 2,4) предполагает наличие шести подграфиков и делает четвертый текущим, что схематично представлено на рис. 3.4.

После выполнения команды subplot (3, 2, 4) все графические функции будут осуществлять вывод именно в этот подграфик.

В качестве примера постройте графики функции sin(x), cos(x) в одном графическом окне, каждый график в своих осях, х є [0,2л].

Построение графиков в полярной системе координат

В полярной системе координат любая точка представляется как конец радиус-вектора, исходящего из начала системы координат, имеющего длину р и угол Q.

Для построения графика функции p(Q) используются определенные команды. Угол Q обычно меняется от 0 до 2л. Для построения графиков функций в полярной системе координат используются команды типа ро1аг(. ):

polar (THETA, RHO) — строит график в полярной системе координат, который представляет собой положение конца радиус-вектора длиной RHO и с углом THETA;

polar (THETA, RHO, S) — аналогична предыдущей команде, но позволяет задавать стиль построения с помощью строковой константы S, так же как команда plot.

Пример 3.6. Построить график polar(y) в полярной системе координат (рис. 3.5).

» phi = 0 : 0.1 : 2 * pi; г = sin (3 * phi);

Рис. 3.5. График функции sin(3a) в полярной системе координат

Построение графиков векторов

Рис. 3.6. Построение радиус-векторов

Иногда желательно представление ряда радиус-векторов в их обычном виде, то есть в виде стрелок, исходящих из начала координат и имеющих угол и длину, определяемые действительной и мнимой частями комплексных чисел.

Для этого служит группа команд Compass:

Compass (U, V) — строит графики радиус-векторов с компонентами (U, V), представляющими действительную и мнимую части каждого из радиус-векторов;

Compass (Z) — эквивалентно Compass (real(Z),imag (Z));

Compass (U, V, LIN ESPEC) и Compass (Z, LIN ESPEC) — аналогичны представленным ранее командам, но позволяют задавать спецификацию линий построения LINESPEC, подобную описанной для plot.

Пример 3.7. Построить радиус-векторы для вектора z, заданного комплексными числами (рис. 3.6).

» z = [- 1 + 2І, -2 — Зі, 2 + Зі, 5 + 2і]

Функция meshgrid для создания массивов трехмерной графики. Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных z (х, у). Специфика построения трехмерных графиков требует не просто ряда значений х и у, то есть векторов х и у, — она требует определения двумерных массивов матриц X и Y. Для создания таких массивов служит функция meshgrid. В основном она используется вместе с функциями построения графиков трехмерных поверхностей. Функцию meshgrid записывают в следующих вариантах:

[X, Y] = meshgrid (х, у) — преобразует область, заданную векторами х и у, в массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления функции двух переменных и построения трехмерных

Рис. 3.7. Трехмерная поверхность

Рис. 3.8. Трехмерная поверхность, построенная кружками графиков. Строки выходного массивах являются копиями вектора х, а столбцы Y — копиями вектора у:

[X, Y] = meshgrid (х) — аналогична [X, Y] = meshgrid (х, х);

[X, Y, Z] = meshgrid (х, у, z) — возвращает трехмерные массивы, используемые для вычисления функций трех переменных и построения трехмерных ЗЭ-графиков.

Построение графиков трехмерных поверхностей. Команда plot3 (. ) является аналогом команды plot (. ). Она строит аксонометрическое изображение трехмерных поверхностей и имеет следующие формы:

plot3 (х, у, z) — строит массив точек, представленных векторами х, у и z, соединяя их отрезками прямых. Эту команду редко применяют;

plot3 (X, Y, Z) — строит точки с координатами X(i,:), Y(i,:) и Z(i,:) и соединяет их отрезками прямых, где X, Y и Z — три матрицы одинакового размера;

plot3 (X, Y, Z, S) — аналогична предыдущей команде, но со спецификацией стиля линий и точек, соответствующей заданной в строковой константе S.

Пример 3.8. Построить трехмерную поверхность, описываемую функцией z (х, у) = х2 + у2 (рис. 3.7).

» % построение графика ЗЭ-поверхности линиями;

» [х, у] = meshgrid ([-3 : 0.15 : 3 ]);

» z = х. Л 2 + у. А 2;

Пример 3.9. Построить график 3D-поверхности (рис. 3.8).

» % построение графика 3D-поверхности цветными кружками;

» [х, у] = meshgrid ([-3 : 0.15 : 3]);

»z = x. A 2 + y. A 2;

Функция axis имеет несколько вариантов настройки масштаба, ориентации и коэффициента сжатия.

Обычно MATLAB находит максимальное и минимальное значения и выбирает соответствующий масштаб и оцифровку осей. Функция axis заменяет значения по умолчанию предельными значениями, вводимыми пользователем: axis ([xmin, xmax, ymin, углах]). Например, для того чтобы более подробно проанализировать поведение функции sin в окрестности точки максимума, можно установить пределы по осям координат: axis ([1.5, 2.5, 0.5, 2]).

В функции axis можно также использовать ключевые слова для управления внешним видом осей:

axis square axis equal

Создает x и у оси равной длины

Создает отдельные отметки приращений для х и у осей одинаковой длины

Следующая либо за axis square, либо за axis equal превращает овал в правильный круг

Возвращает значения по умолчанию и переходит в автоматический режим

Включает обозначения осей и метки промежуточных делений

Выключает обозначения осей и метки промежуточных делений

grid off grid on

Выключает сетку координат

Включает сетку координат

Общий заголовок для графика выводится функцией title, например title(‘ Function sin graph ‘).

1. Расскажите о построении простых графиков функции одной переменной.
2. Какие средства можно использовать для оформления графиков MATLAB?
3. Что такое полярная система координат?

4. Назовите команды для построения графиков в полярной системе координат.
5. Для чего служит функция compass?
6. В чем заключается специфика задания ряда значений для трехмерной графики?

1. Организовать ввод данных и вычисления согласно заданию.
2. Организовать вывод графиков функций.
3. Показать преподавателю протоколы выполненных заданий в MATLAB.

1. Открыть окно программы MATLAB.
2. Выполнить задания согласно указаниям, используя при необходимости справку системы MATLAB.

Задание 3.1. Построить графики функций. Использовать функцию plot. Самостоятельно задать шаг и диапазон изменения аргумента:

Задание 3.2. Построить кривые, заданные параметрически. Использовать функцию plot.

Задано уравнение кривой x(t) = t — sin(Z); y(f) = 1 — cos(Z).

Построить эту кривую при /, изменяющейся в диапазоне:

Задание 3.3. Построить кривые, заданные в полярной системе координат в диапазоне [0; 2л].

Использовать функцию polar.

Кривая задана уравнением:

Задание 3.4. Построить графики трехмерных поверхностей. Использовать функции meshgrid, plot3.

Задан график трехмерной поверхности, описываемый функцией:

Задание 3.5. Построить в декартовой системе координат график вектора с комплексными элементами у = sinx + zcosx в диапазоне [0; 2л]. Использовать функцию plot.

Задание 3.6. Построить график радиус-векторов для вектора z, элементами которого являются комплексные числа = 4 + 2z; z₂ = = 5 + Зі; z₃ = 3 — 2z. Использовать функцию compass.