Постройте данные векторы на координатной плоскости и постройте вектор их суммы (8 видео)

Тест 27 «Обобщение курса стереометрии Xкласса». 27 Тест 29

Содержание

Главная > Документ
Типовой расчет по теме «Векторы».
(геометрия, 9 класс)
«Обобщение курса стереометрии X класса».
«Обобщение курса стереометрии XI класса».
Векторы на координатной плоскости
Геометрия
Разложение векторов
Координаты векторов
Сложение и вычитание векторов
Признак коллинеарности векторов
📺 Видео

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Типовой расчет по теме «Векторы».

(геометрия, 9 класс)

Разработала : Лобанова Ольга Евгеньевна

Известны координаты точек А, B, C, D.

Найдите координаты векторов , .

Найдите их длину.

Постройте данные векторы на координатной плоскости и постройте вектор их суммы .

Найдите координаты вектора суммы данных векторов и его длину.

Постройте данные векторы на координатной плоскости и постройте вектор их разности .

Найдите координаты вектора разности и его длину.

Найдите координаты вектора и его длину.

Найдите скалярное произведение векторов и .

Данные к типовому расчету.

Ответы к типовому расчету.

«Обобщение курса стереометрии X класса».

Разработал : Гордеев Андрей Николаевич

Задание : исправить или дополнить, если это необходимо, предложенные утверждения.

(Ненужные слова, фразы зачеркивать одной чертой. Места вставок указывать галочкой. Если Вы согласны с утверждением, в поле «Ответ» ставьте +.)

Через прямую и точку проходит плоскость, и притом только одна.

Через любые две непараллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Если одна из двух прямых лежит, а другая пересекает эту плоскость в некоторой точке, то эти прямые скрещивающиеся.

Если две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Если две плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме трех его измерений.

Если две прямые в пространстве перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны.

Если две смежные грани призмы перпендикулярны основанию, то эта призма прямая.

Призма имеет n граней , следовательно в её основании лежит n -угольник.

Cуществует наклонная призма такая, что высоты двух боковых граней, являются высотами самой призмы.

Пирамида может иметь не больше одной боковой грани перпендикулярной к плоскости основания.

Число вершин любой призмы четно, а число рёбер кратно четырём.

Площадь полной поверхности куба равна 2d 3 , где d-диагональ куба.

Отрезок BM перпендикулярен к плоскости прямоугольника АВСD . Следовательно ,прямая СD перпендикулярна к плоскости МВС.

Максимальное количество сторон многоугольника, получающегося в сечении тетраэдра , равно пяти.

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости . Прямая с пересекает прямые a и b . Исходя из этих условий утверждаем: прямая с не обязательно принадлежит плоскости .

Если прямая а параллельна плоскости , то в плоскости есть одна и только одна прямая параллельная прямой а .

Если , то векторы — коллинеарные.

Все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Из некоторой точки не лежащей на плоскости, проведены к данной плоскости две наклонные. Утверждение: проекции этих наклонных равны.

Угол между диагоналями граней куба имеющими общий конец равен 90 0 .

Если одна из диагоналей квадрата перпендикулярна некоторой плоскости, то другая диагональ также пересекает эту плоскость.

Через любые три точки пространства проходит плоскость, и притом только одна.

«Обобщение курса стереометрии XI класса».

Разработал : Гордеев Андрей Николаевич

Задание : исправить или дополнить, если это необходимо, предложенные утверждения.

К движениям относятся: центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, зеркальная симметрия, подобие.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2( r + h ) где r -радиус цилиндра, h -высота цилиндра.

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса -круговой сегмент.

Сферой называется поверхность, состоящая из некоторых точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Разверткой сферы на плоскость является круг.

Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра на плоскость является квадрат.

Тела равных объемов являются равными.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту грани.

Объем пирамиды равен половине произведения площади основания на высоту.

Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу

Объем шара равен D 3 , где D-диаметр шара.

Отношение объемов двух шаров равно 8. Следовательно, площади их поверхностей относятся как 1:8.

Если V 1 -объем шара описанного около куба.V 2 -объем шара вписанного в тот же куб, то =3.

В общем случае: сечение прямого кругового конуса плоскостью, проходящей через его ось, есть равносторонний треугольник.

Модуль радиус-вектора точки М равен 1. Вывод: одна из координат точки М обязательно равна 1.

Выражение х 2 +x 0 2 +у 2 +y 0 2 +z 2 +z 0 2 -2xx 0 -2yy 0 -2zz 0 =R 2 не является уравнением сферы.

Если радиус сферы перпендикулярен плоскости, то эта плоскость является касательной к сфере.

На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Возможен такой случай, когда кратчайшее расстояние между ними будет больше высоты цилиндра.

Точки А и В принадлежат шару. Утверждение: некоторые точки отрезка АВ принадлежат этому шару.

Расстояние от точки лежащей на плоскости касательной к сфере, удаленной от точки касания на 15 см, до ближайшей к ней точки сферы, в том случае, если радиус сферы равен 112 см, равно 2 см.

В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом . Высота призмы равна h. Следовательно, объем цилиндра равен .

Координаты центра окружности описанной около треугольника с вершинами A(0; 2; 2); B(2; 1; 1); C(2; 2; 2) выглядят следующим образом: (1; 1,5; 1,5).

Если радиус сферы увеличить в 3 раза, то ее площадь увеличится в 6 раз.

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а , а противолежащий угол равен . Утверждение: площадь полной поверхности конуса равна .

Объем прямоугольного параллелепипеда, диагонали трех граней которого равны 7 см, 8 см, 9 см, равен 48 см 2 .

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Векторы на координатной плоскости

Теорема

В прямоугольной системе координат расстояние между точками (P(x_1; y_1)) и (Q(x_2; y_2)) выражается формулой (rho(P, Q) = sqrt) .

Доказательство

Если (PQparallel Ox) , то он лежит на некоторой прямой (y = C) , тогда (y_1 = y_2 = C) , следовательно, (sqrt = |x_1 — x_2|) , что равно его длине.

Если (PQparallel Oy) , то он лежит на некоторой прямой (x = C) , тогда (x_1 = x_2 = C) , следовательно, (sqrt = |y_1 — y_2|) , что равно его длине.

Если (PQ) не параллелен осям, то рассмотрим прямоугольный треугольник (PQM) , в котором (PMparallel Ox) , (QMparallel Oy) . По теореме Пифагора (PQ^2 = PM^2 + QM^2) . Так как (PMparallel Ox) , то (PM) лежит на некоторой прямой (y = C) , откуда (PM = |x_1 — x_2|) , аналогично (QM = |y_1 — y_2|) , тогда (PQ^2 = (x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2) , откуда получаем требуемое равенство.

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка (M) – середина отрезка (PQ) , где (P(x_1;y_1), Q(x_2;y_2)) , то

Доказательство

1) Пусть (PQparallel Oy Rightarrow x_1=x_2=a) . Значит, (a=dfrac2=dfrac2) – верно.

Т.к. (PM=MQ) , следовательно, (|y_2-b|=|y_1-b| Rightarrow y_2-b=y_1-b) или (y_2-b=b-y_1) , что равносильно (y_2=y_1) или (b=dfrac2) . Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки (P) и (Q) совпадают).

2) Случай (PQparallel Ox Rightarrow y_1=y_2=b) доказывается аналогично.

3) (x_1ne x_2, y_1ne y_2) .

Тогда (Ma=b) – средняя линия трапеции (x_1PQx_2) , следовательно, равна полусумме оснований, то есть (b=dfrac2) .

Лемма

Если векторы (overrightarrow a) и (overrightarrow b) коллинеарны, то существует такое число (lambdane 0) , что (overrightarrow a=lambdaoverrightarrow b) .

Доказательство

1) Если (overrightarrow auparrow uparrow overrightarrow b) .

Рассмотрим вектор (dfrac1overrightarrow a) . Данный вектор сонавправлен с (overrightarrow a) , а его длина равна (1) . Тогда вектор (dfracoverrightarrow a) также сонаправлен с (overrightarrow a) , но его длина равна (|overrightarrow b|) . То есть равен вектору (overrightarrow b) .

2) Если (overrightarrow auparrow downarrow overrightarrow b) .

Аналогично доказывается, что (overrightarrow b=-dfracoverrightarrow a) .

Определение

Если вектор (overrightarrow p) представлен как линейная комбинация двух векторов: (overrightarrow p=alphaoverrightarrow a+beta overrightarrow b) , то говорят, что вектор (overrightarrow p) разложен по векторам (overrightarrow a) и (overrightarrow b) .

(alpha, beta) – коэффициенты разложения.

Пусть векторы (overrightarrow i) , (overrightarrow j) – векторы, длины которых равны (1) , а направление совпадает с направлением осей (Ox) и (Oy) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

Тогда если (overrightarrow p=aoverrightarrow i+boverrightarrow j) , то () – координаты вектора (overrightarrow p) .

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если (overrightarrow a, overrightarrow b) , то (overrightarrow a+overrightarrow b=) .

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: (overrightarrow a, lambda ) – число, то (lambdaoverrightarrow a) .

Теорема

Если точки (A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)) , то (overrightarrow ) .
То есть каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Следствие

Если (overrightarrow a) , то длина (|overrightarrow a|=sqrt) .

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора (overrightarrow ) и (overrightarrow ) . Тогда угол между этими векторами – это угол (angle BAC) , не превышающий развернутого угла.

Скалярное произведение векторов (overrightarrow a) и (overrightarrow b) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: (overrightarrow acdot overrightarrow b) или ((overrightarrow a, overrightarrow b)) . [(overrightarrow a, overrightarrow b)=|overrightarrow a|cdot |overrightarrow b|cdot coswidehat]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.

3. Если угол между ненулевыми векторами тупой, то скалярное произведение отрицательно.

4.Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: (overrightarrow acdot overrightarrow a=|overrightarrow a|^2) .

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов (overrightarrow a) и (overrightarrow b) выражается формулой:

[overrightarrow acdot overrightarrow b=x_1x_2+y_1y_2]

Доказательство

Рассмотрим вектор (overrightarrow c) :

Т.к. (overrightarrow a+overrightarrow c=overrightarrow b Rightarrow overrightarrow c=overrightarrow b-overrightarrow a Rightarrow overrightarrow c ) .

По теореме косинусов: (|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cosalpha) , но (|a||b|cos alpha=overrightarrow acdot overrightarrow b) , значит: [overrightarrow acdot overrightarrow b=dfrac12left(|a|^2+|b|^2-|c|^2right) =dfrac12left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2right)=x_1x_2+y_1y_2]

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов (overrightarrow a, overrightarrow b, overrightarrow c) и любого числа (lambda) справедливо:

1. Скалярное произведение вектора на себя всегда неотрицательно, причем равно нулю оно тогда и только тогда, когда вектор нулевой: (overrightarrow a^2geqslant 0, quad overrightarrow a^2=0 Leftrightarrow |overrightarrow a|=0) .

2. Переместительный закон: (overrightarrow acdot overrightarrow b=overrightarrow bcdot overrightarrow a) .

3. Распределительный закон: (overrightarrow a cdot (overrightarrow b+overrightarrow c)=overrightarrow acdot overrightarrow b+overrightarrow acdot overrightarrow c) .

4. Сочетательный закон: ((lambdaoverrightarrow a)cdot overrightarrow b=lambda (overrightarrow acdot overrightarrow b)) .

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Геометрия

План урока:

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Разложение векторов

Заметим, что если два вектора a и b коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что b длиннее a в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

Здесь вектора р, а и b не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

Верно следующее утверждение:

Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить c на а и b:

На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

Ясно, что вектора АВ и b коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

Понятно, что числа k и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

Вектор d можно представить в виде суммы:

Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

Видео:Векторы на плоскостиСкачать

Координаты векторов

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

Нам надо разложить а по векторам i и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

Можно записать равенство:

Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты .

Выполним построение и для с:

Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют .

Осталось рассмотреть d:

Здесь координаты вектора будут равны , так как такие же координаты имеет точка D.

Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

Задание. Даны координаты вектора:

Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Сложение и вычитание векторов

Пусть у нас есть векторы a<x₁; у₁> и b<x₂; у₂>. Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

Эта запись означает, что с имеет координаты <х₁ + х₂; у₁ + у₂>. В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а и b . Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с . Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов a и b:

Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

В итоге получился вектор с .

Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a<x₁; у₁> и b<x₂; у₂>. Снова запишем их разложение на единичные вектора:

Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

Например, пусть надо вычесть из вектора а вектор b. Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

Аналогично вычисляем и координату у:

В итоге получили вектор с координатами .

Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х₁и у₁ можно разложить на орты следующим образом:

Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

Например, есть вектор а, который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

В результате получился вектор .

Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (обозначим их как a и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что

Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

Если числа х₂ и у₂ не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты , а у вектора b они равны . Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

Естественно, снова получилось одинаковое число.

Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты <0; у₁>, причем у₁≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты <x₂; у₂> составят:

Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты у₂ и у₁ могут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

Например, есть вектор . Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору . В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.