Построить вектор 2a b геометрия

Векторное произведение векторов.
Построить вектор 2a b геометрия
рис. 1

Видео:№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½yСкачать

№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½y

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Свойства векторного произведения векторов

SΔ =1| a × b |
2

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

a × b =ijk=
123
21-2

= i (2 · (-2) — 3 · 1) — j (1 · (-2) — 2 · 3) + k (1 · 1 — 2 · 2) =

Построить вектор 2a b геометрия

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =ijk=
-12-2
21-1

= i (2 · (-1) — (-2) · 1) — j ((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k ((-1) · 1 — 2 · 2) =

Из свойств векторного произведения:

SΔ = 1 2 | a × b | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5√ 2 2 = 2.5√ 2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Построить вектор 2a b

Видео:№758. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так, чтобы | а |≠| b |. Постройте векторыСкачать

№758. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так, чтобы | а |≠| b |. Постройте векторы

Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Постройте вектор 2a + 1/3 b.

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Ваш ответ

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

решение вопроса

Видео:№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:Скачать

№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,812
  • разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторное произведение векторов.

Построить вектор 2a b геометрия
рис. 1

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Свойства векторного произведения векторов

SΔ =1| a × b |
2

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

a × b =

ijk

=12321-2

= i (2 · (-2) — 3 · 1) — j (1 · (-2) — 2 · 3) + k (1 · 1 — 2 · 2) =

Построить вектор 2a b геометрия

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =

ijk

=-12-221-1

= i (2 · (-1) — (-2) · 1) — j ((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k ((-1) · 1 — 2 · 2) =

Из свойств векторного произведения:

SΔ = 1 2 | a × b | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5√ 2 2 = 2.5√ 2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Построить разность векторов.Скачать

Построить разность векторов.

Векторное произведение векторов

Построить вектор 2a b геометрия

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Построить вектор 2a b геометрия

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Построить вектор 2a b геометрия

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

Построить вектор 2a b геометрия

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

  • он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
  • он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
    Построить вектор 2a b геометрия
  • длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
    Построить вектор 2a b геометрия
  • тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Построить вектор 2a b геометрия

  • Построить вектор 2a b геометрия
  • Построить вектор 2a b геометрия

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Построить вектор 2a b геометрия

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

Построить вектор 2a b геометрия

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Построить вектор 2a b геометрия

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Построить вектор 2a b геометрия

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

Построить вектор 2a b геометрия

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

  • Антикоммутативность
    Построить вектор 2a b геометрия
  • Свойство дистрибутивности
    Построить вектор 2a b геометрия

    Построить вектор 2a b геометрия
    Сочетательное свойство
    Построить вектор 2a b геометрия

    Построить вектор 2a b геометрия

    , где λ произвольное действительное число.

    Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

    Построить вектор 2a b геометрия

    Построить вектор 2a b геометрия

    Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

    Построить вектор 2a b геометрия

    что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

    Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

    Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

    Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

    Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

    Примеры решения задач

    Пример 1

    а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

    б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

    а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

    Построить вектор 2a b геометрия

    Построить вектор 2a b геометрия

    Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

    б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

    Построить вектор 2a b геометрия

    Построить вектор 2a b геометрия

    Пример 2

    Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

    По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

    Построить вектор 2a b геометрия

    Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

    Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

    Построить вектор 2a b геометрия

    Пример 3

    Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

    Сначала найдём векторы:

    Построить вектор 2a b геометрия

    Затем векторное произведение:

    Построить вектор 2a b геометрия

    Вычислим его длину:

    Построить вектор 2a b геометрия

    Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

    Построить вектор 2a b геометрия

    Построить вектор 2a b геометрия

    Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

    9 класс, 2 урок, Координаты вектора

    Геометрический смысл векторного произведения

    По определению длина векторного произведения векторов равна

    Построить вектор 2a b геометрия

    А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

    Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

    Построить вектор 2a b геометрия

    Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

    Координаты точки и координаты вектора 1.

    Физический смысл векторного произведения

    В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

    Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

    Построить вектор 2a b геометрия

    Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

    Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

    Построение проекции вектора на ось

    Примеры решения задач с векторами

    Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

    Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

    Координаты вектора

    Теоретический материал по теме — координаты вектора.

  • Поделиться или сохранить к себе: