Построить равносторонний треугольник на трех параллельных прямых

Разделы: Математика

Образовательная: совершенствовать знания учащихся по теме “Движение”, Показать применение преобразования “Движения” при решении геометрических и практических задач.

Развивающая: развитие умения обобщать, развитие интереса к изучаемому предмету.

Воспитательная: выработать внимание, самостоятельность при работе на уроке.

I. Орг.момент

II. Проверка домашней работы

III. Устная работа

1) Вспомнить определение преобразования движения.

2) Виды движений. К доске вызываются 4 ученика, каждый из них формулирует определение конкретного вида преобразования Движения. На доске чертится следующий кластер:

3) Повторить свойства движений.

IV. Решение задач

Задача № 1. По одну сторону от отрезка АЕ построены равносторонние треугольники АВС и СДЕ; Р – середина ВЕ, М – середина АД. Докажите, что треугольник СМР – равносторонний.

Выполним преобразование поворот вокруг точки С на угол 60 0 против часовой стрелки. Точка Е переходит в точку D, точка В – в точку А.Отрезок ВЕ переходит в отрезок DА. По свойству поворота середина ВЕ переходит в середину DА, т.е. точка Р переходит в точку М. Значит СР=СМ, и угол РСМ=60 0 . Следовательно, треугольник СМР равносторонний.

Задача № 2 Построить равносторонний треугольник АВС с вершинами на трех данных параллельных прямых.

Допустим, что треугольник построен. Тогда, при повороте вокруг точки А против часовой стрелки на угол 60 0 точка С переходит в точку В, а прямая m₃ в прямую m.

Построение:

1. На прямой m₁ взять точку А.
2. Повернуть прямую m₃ вокруг точки А против часовой стрелке на угол 60 0 . Прямая m₃ переходит в прямую m . Точка пересечения этих прямых есть точка В.
3. Выполнить поворот вокруг точки А на угол 60 0 по часовой стрелке точку В. Полученная точка и есть точка С.
4. Построить треугольник АВС.

Задача № 3 Два прямоугольных треугольника расположены так, что их медианы проведенные к гипотенузе параллельны и равны. Докажите, что угол между некоторыми катетами вдвое меньше угла между гипотенузами.

Выполним параллельный перенос на вектор . При этом переносе точка С—> С₁,точка М —> М₁.

Построим окружность с центром в точке М₁ и радиуса М₁А. М₁ – середина гипотенузы прямоугольных треугольников® точки А, А₁, С₁, В₁, В – лежат на этой окружности. Угол между гипотенузами АМ₁А₁ – центральный угол, опирающийся на дугу АА₁, угол между катетами АС₁А₁ – также опирается на эту дугу и он вписанный. По теореме о вписанном угле 2? АС₁А₁=? АМ₁А₁

Задача № 4 (Задача на применение движения (параллельного переноса, неравенство треугольника) В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни А и В, чтобы путь АМNВ из деревни А в деревню В был кратчайшим? (берега реки считаются параллельными прямыми, мост строиться перпендикулярно реке).

Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе, переводящем точку М в точку N, точка А перейдет в некоторую точку А₁. Тогда АМ+МN+NВ=АА₁+А₁N+NBАА₁+А₁В (неравенство треугольника), причем равенство достигается, когда точки А₁, N, и В лежат на одной прямой.

Отсюда вытекает следующий способ построения . Выполним параллельный перенос точки А на вектор . Точка А переходит в точку А₁. Соединив точку А₁ с точкой В, получим точу Д, которая и будет точкой начала моста.

V. Подведение итогов урока

1. Вопросы на стр. 281.

2. №1176, Дополнительная задача.

Дополнительная задача: На сторонах треугольника АВС построены из вне равносторонние треугольники АВС₁, ВСА₁, АСВ₁. Докажите, что АА₁, ВВ₁, СС₁ равны и угол между любыми двумя отрезками равен 60 0 .

Выполним преобразование поворот вокруг точки А по часовой стрелке на угол равный 60 0 . При этом АС_1® АВ, а АС® АВ₁. Следовательно СС_1® В₁В. Следовательно, отрезки СС₁ и В₁В равны и угол между ними 60 0 , т.к. поворот сохраняет равенство углов.

Аналогично для сторон АА₁ и СС₁.

Литература

1. Геометрия: Учеб для 7-9 кл. образовательных . учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, и др.
2. Геометрия 7-9, Гордин Р.К. Сборник задач

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O1 — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО1 и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO1A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O1AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O1CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Видео:№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Метод вращения

Указание. Пусть KLMP — искомый квадрат. Тогда центр О квадрата совпадает с центром параллелограмма. Повернем всю фигуру вокруг точки О на 90°; при этом точка М перейдет в точку Р, прямая I (11AD, Mel) перейдет в V, точка Я (ОЯ 1 I, Я е I) перейдет в Я’. Отсюда, выполняя обратный поворот на 90°, можно получить точку М (так как ОН _L Z), а следовательно, получим диагонали КМ и PL.

6.3. Даны две окружности О_а(г_а) и 0₂(г₂), точка М и угол а. Построить равнобедренный треугольник АВС (АВ = АС) так, чтобы угол А равнялся а, вершина А совпадала с точкой М, а две другие вершины лежали бы на окружностях 0₁(г₁) и 0₂(г₂).

Указание. Повернуть вокруг точки М одну из данных окружностей на угол а и найти точки пересечения с другой окружностью. Задача может иметь одно, два или ни одного решения.

• 6.4. Даны точка А, прямая а и окружность О (г). Построить равносторонний треугольник с вершиной в точке А так, чтобы другие его вершины лежали соответственно на прямой а и окружности О (г).
• 6.5. В данный квадрат ABCD вписать равносторонний треугольник, одна из вершин которого дана на стороне квадрата.
• 6.6. Даны две прямые: р и q и точка А. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одна его вершина совпадала с точкой А, а две другие лежали на прямых р ид.
• 6.7. На двух данных отрезках найти такую пару точек, что поворот вокруг данной точки на 45° отображает одну точку пары на другую.
• 6.8. Указать соответственно на данных прямой и отрезке такие две точки, чтобы одну из них можно было бы отобразить на другую поворотом вокруг данной точки на 30°.
• 6.9. На данных окружности и прямой найти такие пары точек, что одна точка является образом другой при повороте вокруг данной точки на 72°.
• 6.10. Даны полоса с краями а и Ъ и точка Р, принадлежащая этой полосе (Р g а, Р € Ь). Найти на ее краях а и b соответственно такие точки А и В, что РА = РВ и ZAPB = 90°.
• 6.11. Даны окружности (С^; 3 см), (0₂; 4 см) и точкам. Найти на данных окружностях соответственно точки А и В такие, чтобы AM = МВ и ZAMB = 60°.
• 6.12. На прямыху = Зх + 1 и у = -2х + 3 найти соответственно точки А и В, чтобы они находились на одинаковом расстоянии от начала координат и ZAOB = 90°.
• 6.13. Даны окружность и треугольник. Построить такой отрезок, чтобы концы его принадлежали данным окружности и сторонам треугольника, находились на одинаковом расстоянии от данной точки и были видны из нее под углом 120°.
• 6.14. Даны произвольный треугольник АВС и точка Р, принадлежащая внутренней области треугольника. Указать на сторонах ВС и АС соответственно точки К и М такие, что РК = КМ и ZKPM = 45°.
• 6.15. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка Р, другая принадлежала данной прямой а, третья — прямой Ъ.
• 6.16. Даны угол и точка А внутри него. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого является точка А, а две другие вершины принадлежат сторонам данного угла.
• 6.17. Даны окружность, квадрат и точка Р. Построить равнобедренный треугольник РАВ (РА = РВ), вершины А и В которого принадлежат окружности и стороне квадрата, a ZAPB = 45°.
• 6.18. Построить равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.
• 6.19. Даны полоса с краями а и с и прямая Ь, принадлежащая полосе. Построить ромб ABCD так, чтобы его вершины А, В и С принадлежали соответственно прямым а,Ь и с, a ZABC = 60°.
• 6.20. Построить квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трем данным прямым.
• 6.21. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
• 6.22. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две другие принадлежали сторонам квадрата.
• 6.23. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены квадраты ABNM и ACQP, расположенные с треугольником АВС в различных полуплоскостях соответственно с границами АВ и АС. Доказать, что: а) МС = ВР; б) МС1 ВР.
• 6.24. Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что фигуры, являющиеся пересечением этих прямых с квадратом, равны.
• 6.25. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Доказать, что эти отрезки равны.
• 6.26. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились четыре столба на сторонах квадрата. Восстановить границу участка.
• 6.27. Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60° и которые не содержат вершин треугольника. Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.
• 6.28. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты ABMN и BCPQ, причем квадрат ABMN и треугольник АВС принадлежат различным полуплоскостям с границей АВ, а квадрат BCPQ и треугольник АВС — одной полуплоскости с границей ВС. Доказать, что MQ1AC и MQ = AC.
• 6.29. На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD от вершин А, В, С и D отложены конгруэнтные отрезки АА,, ВВ,, СС_Х и DD,. Доказать, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ — квадрат.
• 6.30. Хорды одной и той же окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Доказать, что они равны.
• 6.31. Даны две перпендикулярные прямые и точка, не принадлежащая им. Построить равносторонний треугольник с вершиной в данной точке и с двумя другими вершинами на данных прямых.
• 6.32. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка Р, другая принадлежала данной прямой а, третья — прямой Ь.
• 6.33. Построить равносторонний треугольник, имеющий одной своей вершиной данную точку А, а две другие вершины — на данных параллельных прямых.
• 6.34. Даны две параллельные прямые а, b и точка А, не принадлежащая им. Построить равнобедренный треугольник с данным углом а, вершина которого находится в данной точке А, а вершины основания лежат на прямых а и Ь.
• 6.35. Даны три параллельные прямые а, Ь, с. Построить равносторонний треугольник АВС, вершины которого лежат на данных прямых.
• 6.36. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат на трех параллельных прямых, а центр — на четвертой прямой, не параллельной трем заданным.
• 6.37. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник.
• 6.38. Построить квадрат так, чтобы три его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.
• 6.39. Построить квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трем данным пересекающимся прямым.
• 6.40. Из данной точки Р, как из центра, описать дугу окружности так, чтобы концы ее лежали на двух данных окружностях, а градусная мера ее была равна градусной мере данного угла.
• 6.41. Даны две прямые, точка О и угол а. Провести такую окружность с центром О, чтобы одна из дуг этой окружности, концы которой принадлежат данным прямым, по угловой мере была равна а.
• 6.42. Даны две окружности и точка М. Построить равносторонний треугольник MNP, вершины которого N и Р принадлежат данным окружностям.
• 6.43. Даны три концентрические окружности. Построить равносторонний треугольник, вершины которого принадлежат этим окружностям.
• 6.44. Даны окружность, квадрат и точка Р. Построить равнобедренный треугольник РАВ (РА = РВ), вершины А и В которого принадлежат окружности и стороне квадрата, a ZAPB = 45°.
• 6.45. Даны угол и внутри него точка Л. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, вершина прямого угла которого совпадает с точкой А, а две другие вершины принадлежат сторонам угла.
• 6.46. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
• 6.47. Построить квадрат ABCD по его центру О и двум точкам М и N, принадлежащим прямым ВС и CD.
• 6.48. Построить квадрат ABCD по вершине А и двум точкам М и N, принадлежащим прямым ВС и CD.
• 6.49. На окружности с центром в точке О найти две такие точки С и D, что ZCOD = а, АС || BD, где А и В — две данные точки; а — величина данного угла.
• 6.50. Построить треугольник АВС, зная три точки, являющиеся центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника, вне его.
• 6.51. Даны четыре точки К, L, М и N. Построить квадрат, стороны которого или их продолжения проходят через эти четыре точки.
• 6.52. Даны четыре точки К, L, М и N, расположенные на одной прямой. Построить квадрат, у которого продолжения двух противоположных сторон пересекают эту прямую в точках К и L, а продолжения двух других сторон — в точках М и N.

🔍 Видео

Построение равнобедренного треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Параллельные прямые циркулемСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задача, которую боятсяСкачать