Построить правильный треугольник в окружности

Из этого материала вы узнаете, как с помощью циркуля построить правильный треугольник. Напомним, что треугольник является правильным, если длина всех его сторон одинакова, а каждый из углов составляет 60°.

На листе бумаги отметьте произвольную точку. Установите в эту точку иглу циркуля и нарисуйте окружность.

Установите иглу циркуля в любую произвольную точку, лежащую на окружности, и нарисуйте вторую окружность с центром в этой точке.

При этом не меняйте раствор циркуля, то есть радиус первой окружности должен быть равен радиусу второй окружности.

Отметьте точки пересечения окружностей.

Соедините полученные точки линией. Полученный отрезок будет первой стороной треугольника.

Далее, через центры обеих окружностей нужно провести прямую линию.

Таким образом, у вас получилось три точки, которые будут тремя вершинами треугольника.

Соедините все три точки между собой.

Полученный треугольник имеет одинаковую длину сторон, а величина каждого его угла составляет 60°, а значит он правильный.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O₁ — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО₁ и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO₁A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O₁AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O₁CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Видео:Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Видео:Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частейСкачать

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Видео:Как построить правильный шестиугольник.Скачать

Построение

Построение правильного треугольника

Способ 1. Начертим окружность с центром в точке O, проведем диаметр ED. Обозначим на нем точку K так, что OK=KD. Теперь проведем через точку K хорду MN, перпендикулярную OD. Соединим точки E, M и N. Полученный треугольник EMN — равносторонний.

Способ 2. Начертим окружность с центром O и радиусом OA. Начертим вторую окружность с таким же радиусом, проходящую через точку O. Соединим центры этих окружностей и одну из точек пересечения (в данном случае с точкой B). Полученный треугольник — равносторонний.

Способ 3. Построим окружность с центром O. Далее построим некоторую точку, принадлежащую окружности. Из данной точки на окружность раствором циркуля, равным R, откладываем последовательно отрезки (их 6). Полученные точки соединяем через 1.

Способ 4. Строим окружность произвольного радиуса, с центром в точке А. Проводим прямую, через точку А. Отмечаем точки пересечения прямой и окружности С и В. Строим вторую окружность, с радиусом, равным радиусу, первой окружности и центром в точке С. Отмечаем точки пересечения окружностей F и D. Соединяем точки В,D,F. Треугольник BDF — равносторонний.

Построение правильного четырехугольника (квадрата)

Способ 1 (рис. 1). Проводим в окружности 2 перпендикулярных диаметра (Шаг 1). Точки пересечения этих диаметров с окружностью являются вершинами квадрата (Шаг 2).

Способ 2 (рис. 2). Как и в первом способе, проводим в окружности 2 перпендикулярных диаметра. Из точек пересечения диаметров с окружностью строим дуги с радиусом R, равным радиусу окружности (Шаг 1). Точки пересечения дуг EG и FH соединяем соответственно линиями

(Шаг 2). Точки пересечения этих линий с окружностью и являются вершинами квадрата.

Способ 3. Постройте отрезок AB, равный будущей стороне квадрата a. Постройте 2 окружности, с центрами в точках A и B и радиусом AB. Проведите прямую GH через точки пересечения окружностей. Постройте окружность, проходящую через концы отрезка и имеющую d=AB, и вторую, также проходящую через точки A и B, но с центром в точке F пересечения первой окружности с прямой GH. Соедините точки A, B, D, C. Четырехугольник ABDC — квадрат.

Построение правильного пятиугольника

Способ 1. Строим окружность произвольного радиуса R и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD. Делим пополам радиус АО точкой Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG (равная CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу из точки G как из центра, получаем ещё одну вершину Н искомой фигуры и т. д. Аналогично находим вершины K и L. CGHKL — правильный пятиугольник.

Способ 2.Чтобы построить правильный пятиугольник возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Отметим середину радиуса и проведем окружность, проходящую через точку O, с центром в полученной точке.

Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точке пересечения большой окружности и ее радиуса. Построим окружность с центром в этой же точке так, чтобы она соприкасалась с маленькой окружностью.

Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности как показано на рисунке. Для получения пятиугольника нужно соединить точки через одну.

Способ 3. Приближенное построение правильного пятиугольника. А.Дюрером оно проводилось при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так: «»Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник».

Способ 4. Пусть AB — заданная сторона пятиугольника — равна a. Восстановим из B перпендикуляр к AB и отложим на нем отрезок BC=a/2. Точку C соединим с точкой A. На прямой AC отложим отрезок DC=BC=a/2; затем на продолжении AB отложим AE=AD. Тогда BE равняется диагонали пятиугольника. Для построения вершин описываем из центров A и B дуги радиусами AB и BE, и в их пересечении находим вершины F, G, H.

Построение правильного шестиугольника

Построим окружность с центром в точке О. Проведем диаметр окружности. Проведем окружность того же радиуса с центром в точке пересечения диаметра с окружностью.

Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения полученной дуги с этой окружностью и соединим точки пересечения всех прямых с исходной окружностью.

Получаем правильный шестиугольник.

Способ 2. Построим окружность с центром O. Далее построим некоторую точку, принадлежащую окружности. Из данной точки на окружность раствором циркуля, равным R, откладываем последовательно отрезки (их 6). Полученные точки соединяем.

Построение правильного семиугольника

Чтобы начать построение, начертите произвольную окружность и обозначьте ее центр буквой О. Затем проведите радиус этой окружности в любом направлении. Точку пересечения радиуса с окружностью обозначьте буквой А. После этого переставьте циркуль в точку А и проведите окружность или дугу того же радиуса, что и у исходной окружности (ОА). Данная дуга пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначьте их буквами В и С. Соедините две полученные точки. При этом отрезок ВС пересечет радиус ОА. Точку их пересечения обозначьте буквой D. Образовавшиеся при этом отрезки ВD и DC будут равны между собой и каждый из них будет приблизительно равен стороне правильного семиугольника, который можно вписать в исходную окружность. Отмерьте циркулем расстояние ВD (или DC) и, начиная с любой точки на окружности, отложите это расстояние шесть раз. Затем соедините все семь точек. Так вы получите семиугольник, который с небольшой погрешностью можно назвать правильным. Все его стороны и углы будут приблизительно равны.

📸 Видео

Как построить правильный равнобедренный треугольник с помощью окружности, чертежи, черчениеСкачать

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Геометрия 9 класс (Урок№26 - Построение правильных многоугольников.)Скачать

Как построить шестиугольник вписанный в окружностьСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейкиСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать