Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Определение
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.
Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
II признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Видео:Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать
Свойства подобных треугольников
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
- Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
Видео:Подобные треугольникиСкачать
Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
2. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – 
3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .
Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия треугольников позволяют доказать, что треугольники являются подобными, на основании 2-3 равенств (вместо 6 по определению).
В школьном курсе геометрии, как правило, изучают три признака подобия произвольных треугольников.
( подобие треугольников по двум углам)
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
( подобие треугольников по трём сторонам)
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Есть еще 4-й признак подобия треугольников —
( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.
Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.
Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.
Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.
Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Подобие треугольников и пропорциональные отрезки
Теорема 1:
Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.
Доказательство:
Докажем сначала лемму: Если в (triangle OBB_1) через середину (A) стороны (OB) проведена прямая (aparallel BB_1) , то она пересечет сторону (OB_1) также в середине.
Через точку (B_1) проведем (lparallel OB) . Пусть (lcap a=K) . Тогда (ABB_1K) — параллелограмм, следовательно, (B_1K=AB=OA) и (angle A_1KB_1=angle ABB_1=angle OAA_1) . Значит, по второму признаку (triangle OAA_1=triangle B_1KA_1 Rightarrow OA_1=A_1B_1) . Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Пусть (OA=AB=BC) , (aparallel bparallel c) и нужно доказать, что (OA_1=A_1B_1=B_1C_1) .
Таким образом, по данной лемме (OA_1=A_1B_1) . Докажем, что (A_1B_1=B_1C_1) . Проведем через точку (B_1) прямую (dparallel OC) , причем пусть (dcap a=D_1, dcap c=D_2) . Тогда (ABB_1D_1, BCD_2B_1) — параллелограммы, следовательно, (D_1B_1=AB=BC=B_1D_2) . Значит, по первому признаку (triangle A_1B_1D_1=triangle C_1B_1D_2 Rightarrow A_1B_1=B_1C_1) .
Теорема Фалеса:
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Доказательство:
Пусть параллельные прямые (pparallel qparallel rparallel s) разбили одну из прямых на отрезки (a, b, c, d) . Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки (ka, kb, kc, kd) соответственно.
Проведем через точку (A_1) прямую (pparallel OD) ( (ABB_2A_1) — параллелограмм, следовательно, (AB=A_1B_2) ). Тогда (triangle OAA_1 sim triangle A_1B_1B_2) по двум углам. Следовательно, (dfrac=dfrac Rightarrow A_1B_1=kb) .
Аналогично проведем через (B_1) прямую (qparallel OD Rightarrow triangle OBB_1sim triangle B_1C_1C_2 Rightarrow B_1C_1=kc) и т.д.
Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:
Теорема 2.
Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.
Доказательство:
Т.к. средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, то (dfrac=dfrac=2) .
Таким образом, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними ( (angle B) — общий) (triangle A_1BC_1 sim triangle ABC) .
Теорема 3.
Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.
Доказательство:
Т.к. (ADparallel BC Rightarrow angle OBC=angle ODA) . (angle BOC=angle AOD) как вертикальные. Следовательно, по двум углам (triangle BOCsim triangle AOD) .
Теорема 4.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.
Доказательство:
Обозначим (angle ACH=alpha, angle BCH=beta) , т.е. (alpha+beta=90^circ) . Тогда (angle CAH=90^circ-alpha=beta, angle CBH=90^circ-beta=alpha) .
Следовательно, по двум углам (triangle ACHsim triangle BCHsim ABC) .
Теорема 5.
Отрезки, соединяющие основания высот треугольника, отсекают от него подобные ему треугольники.
Эти отрезки также являются биссектрисами углов треугольника, вершинами которого являются основания данных высот.
Доказательство:
1) Рассмотрим четырехугольник (AC_1A_1C) — около него можно описать окружность, т.к. (angle AC_1C=angle AA_1C) . Таким образом, (angle CAA_1=angle CC_1A_1=x) , т.к. опираются на одну и ту же хорду (A_1C) . Таким образом (angle ACA_1=90^circ-x, angle BC_1A_1=90^circ-x Rightarrow angle ACA_1=angle BC_1A_1) .
Значит, по двум углам (triangle A_1BC_1sim triangle ABC) ( (angle B) — общий).
Аналогично доказывается, что (triangle AB_1C_1sim triangle ABC, triangle A_1B_1Csim triangle ABC) .
2) Докажем, что (AA_1, BB_1, CC_1) – биссектрисы углов (A_1, B_1, C_1) в треугольнике (A_1B_1C_1) соответственно.
Обозначим (angle BC_1A_1=angle B_1C_1A=alpha) . Тогда (angle A_1C_1C=90^circ -alpha=angle B_1C_1C) . Значит, (CC_1) – биссектриса угла (C_1) .
Аналогично доказывается про (AA_1) и (BB_1) .
Теорема 6.
Если к окружности из одной точки вне окружности проведены две секущие, то:
Доказательство:
Четырехугольник (ABA_1B_1) описанный, следовательно, (angle BAB_1+angle BA_1B_1=180^circ Rightarrow angle OA_1B_1=180^circ-angle BA_1B_1=angle BAB_1) .
Таким образом, по двум углам ( (angle O) — общий) (triangle OABsim triangle OA_1B_1) .
Теорема 7.
Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:
Доказательство:
Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle OKA=frac12 buildrelsmileover=angle KBA) .
Следовательно, по двум углам ( (angle O) — общий) (triangle OKAsim triangle OKB) .
Теорема 8.
Если в окружности две хорды пересекаются, то:
Доказательство:
(angle A_1AB_1=angle A_1BB_1) , т.к. опираются на одну и ту же дугу. (angle A_1CB=angle B_1CA) , т.к. они вертикальные. Следовательно, по двум углам (triangle A_1BCsim triangle B_1C) .
Аналогично (triangle ABCsim triangle A_1B_1C) .
🎬 Видео
Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать
Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать
Задача на подобие треугольников 1частьСкачать
Подобные треугольники - 8 класс геометрияСкачать
Геометрия . Задачи на подобие треугольников. Изи.Скачать
Задача 15 ОГЭ: подобные треугольники в трапецииСкачать
Подобные треугольникиСкачать
ЕГЭ №14. Задачи по стереометрии. 10-11 класс | Математика TutorOnlineСкачать
8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 8 класс ЗАДАЧИ коэффициент подобияСкачать
Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№15 - Признаки подобия треугольников.)Скачать
8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать
