Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Центр вписанной в треугольник окружности

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

окр. (O; r) — вписанная.

O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружностиСоединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).

Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.

Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.

Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.

Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.

Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.

1) OM=OF=OK (как радиусы),

2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).

Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.

Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.

Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольникеСкачать

Точка пересечения биссектрис и точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникПочему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности
Равнобедренный треугольникПочему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности
Равносторонний треугольникПочему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности
Прямоугольный треугольникПочему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Произвольный треугольник
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности
Равнобедренный треугольник
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности
Произвольный треугольник
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Равнобедренный треугольникПочему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Равносторонний треугольникПочему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникПочему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Видео:Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

Почему точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Please wait.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d4db00be9827b5b • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

📹 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Точка пересечения биссектрис (Задача №324621)Скачать

Точка пересечения биссектрис (Задача №324621)

Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

Центр вписанной окружности #Shorts

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

ОБЯЗАН знать каждый🧐 экзамен математика ОГЭ и ЕГЭСкачать

ОБЯЗАН знать каждый🧐 экзамен математика ОГЭ и ЕГЭ

Точка пересечения биссектрисСкачать

Точка пересечения биссектрис

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Окружности) треугольника ✧ Запомнить за 1 мин!Скачать

Окружности) треугольника ✧  Запомнить за 1 мин!

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?
Поделиться или сохранить к себе: