Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

Геометрия Лобачевского

Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

Пятой аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых, так называемый постулат о параллельных линиях, который гласит: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. То есть эта аксиома утверждает, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложная формулировка пятого постулата Евклида о параллельных линиях породила множество гипотез и предположений о возможной зависимости его от других постулатов. Были предприняты многочисленные попытки вывести его из остальных аксиом геометрии, но, к сожалению, они оказались тщетны. Усилия доказать пятый постулат от противного также не увенчались успехом.

И все же, в начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Больяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в его именем.

Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского.

Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

Аксиома параллельности Лобачевского выглядит следующим образом:

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Непротиворечивость аксиомы доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Основы аналитической геометрии, заложенные Лобачевским, практически наметили необходимую для доказательства модель. Лобачевский заметил, что орисфера в пространстве изометрична евклидовой плоскости. Полностью реализовать модель смогли работы Клейна, Пуанкаре и других ученых.

Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

Геометрия Лобачевского нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.

В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре, «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».

Кроме того, геометрия Лобачевского стала использоваться в теории чисел, а именно, в ее геометрических методах, так называемой «геометрии чисел».

Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ,

при делении на t 2 , то есть для скорости света, даёт уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz, которые являются составляющими скорости света по осям х, у, z.

Преобразование Лоренца сохраняет эту сферу, а поскольку они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Из этого следует, (согласно модели Клейна) что в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с , значит есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская возможным тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.

Видео:24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?Скачать

24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?

Новое в блогах

Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

Видео:Параллельные прямые пересекаются в бесконечности (2015)Скачать

Параллельные прямые пересекаются в бесконечности (2015)

Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?

Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

Недавно в посте на околонаучные темы один из комментаторов завел разговор о геометрии Лобачевского (что он ее не понимает) и даже вроде попросил объяснить. Я тогда ограничилась утверждением, что понимаю. Объяснять эту теорию в ограниченных рамках комментария и одним текстом (без рисунков) показалось мне невозможным.

Однако, подумав, я все же решила попробовать дать небольшой популярный экскурс в эту теорию.

Немного предыстории. Геометрия со времен Евклида стала аксиоматической теорией, в которой большинство утверждений доказывалось на основе нескольких постулатов (аксиом). Считалось, что эти аксиомы «очевидны», т.е. отражают свойства реального (физического) пространства.

Одна из этих аксиом вызывала у ученых подозрение: а нельзя ли ее вывести из остальных постулатов? Современная формулировка этой аксиомы такова:

«Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей». То, что одну-то прямую можно провести, является не аксиомой, а теоремой.

При этом «параллельной» называется прямая, не пересекающая данную. Итак, суть аксиомы в том, что такая прямая – одна!

(Распространенное утверждение «Лобачевский доказал, что параллельные прямые могут и пересекаться» — конечно, является вопиюще неправильным! Ведь это бы противоречило их определению!)

Лобачевский, как и многие до него, решил доказать, что это утверждение можно вывести из других аксиом. Для этого он, как это часто делается в математике, выбрал метод «от противного», т.е. предположил, что прямых, не пересекающих данную, больше одной и попытался вывести из этого противоречие с другими фактами. Но чем дальше он развивал теорию, тем больше убеждался, что никакого противоречия не предвидится! Т.е. получалось, что теория с «неправильным» постулатом тоже имеет право на существование!

Конечно, в первое время его выкладки не признавали, смеялись над ним. Именно поэтому великий Гаусс (который пришел к тем же выводам) не рискнул опубликовать свои результаты. Но со временем пришлось признать, что ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ теория Лобачевского ничем не хуже евклидовой.

Один из остроумных способов убедиться в этом – придумать такие «прямые», которые ведут себя как «прямые» Лобачевского. И математики нашли такой пример, и не один.

Пожалуй, самой простой является модель Пуанкаре. Вы можете сами построить ее нехитрыми приборами.

Начертите не листке бумаги прямую. Возьмите циркуль и, ставя его иглу на эту прямую, нарисуйте полуокружности, находящиеся с одной стороны от прямой. Теперь сотрите прямую (и с ней – концевые точки полуокружностей). Так вот, эти полуокружности «без концов» и будут вести себя, как прямые в геометрии Лобачевского!

Действительно, выделим одну полуокружность и точку вне нее. Есть достаточно много полуокружностей, которые не пересекаются с исходной и все проходят через данную точку. Среди них выделяются две: они касаются нашей исходной «прямой» в концевых точках (которые мы, как Вы помните, стерли) Т.е. реального пересечения не происходит. Эти две окружности задают «границы», между которыми находятся все прямые, не пересекающие данную. Их – бесконечное количество.

Можно заметить, что треугольники в этой модели не такие, как на плоскости (евклидовой): сумма их углов меньше 180 градусов! Впрочем, чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов. В «малом», на небольших расстояниях, геометрия Лобачевского практически совпадает с геометрией Евклида. Поэтому, вообще говоря, мы не сможем «экспериментально» отличить одну от другой, если окажется, что доступные нам (космические) расстояния– малы для этой цели.

Впрочем, в наше время ни физики, ни, тем более, математики, не пытаются воспринимать геометрию Лобачевского как модель «реального», физического пространства. Математики поняли, что все, что они могут сказать: если верны такие-то аксиомы, то верны и такие-то теоремы. Ну, а что такое «множества», «точки», «прямые», «углы», «расстояния», и т.п. – этого мы не знаем! Прямо как у Станислава Лема: «Сепульки – это объекты для сепулькирования»

«Говорят, Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. [ … ] Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.»

Видео:Параллельные прямые пересекаются в бесконечностиСкачать

Параллельные прямые пересекаются в бесконечности

ЛОБАЧЕ́ВСКОГО ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 712-714

    Скопировать библиографическую ссылку:

    • Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности
    • Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности
    • Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности
    • Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности
    • Почему параллельные прямые пересекаются в бесконечности

    ЛОБАЧЕ́ВСКОГО ГЕОМЕ́ТРИЯ, од­на из не­евк­ли­до­вых гео­мет­рий, ос­но­ва­на на тех же по­сыл­ках, что и обыч­ная – евк­ли­до­ва гео­мет­рия, за ис­клю­че­ни­ем ак­сио­мы о па­рал­лель­ных, ко­то­рая за­ме­ня­ет­ся на иную. Евк­ли­до­ва ак­сио­ма о па­рал­лель­ных со­сто­ит в том, что че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит не бо­лее чем од­на пря­мая, ле­жа­щая с дан­ной пря­мой в од­ной плос­ко­сти и не пе­ре­се­каю­щая её (в евк­ли­до­вой гео­мет­рии та­кие пря­мые на­зы­ва­ют па­рал­лель­ны­ми). В Л. г. эта ак­сио­ма за­ме­ня­ет­ся сле­дую­щей: че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дят по край­ней ме­ре две пря­мые, ле­жа­щие с дан­ной пря­мой в од­ной плос­ко­сти и не пе­ре­се­каю­щие её (дос­та­точ­но, что­бы это бы­ло вы­пол­не­но для од­ной точ­ки и од­ной пря­мой). На­ча­ло Л. г. бы­ло по­ло­же­но Н. И. Ло­ба­чев­ским , ко­то­рый впер­вые со­об­щил о ней в 1826. Не­сколь­ко позд­нее эту же тео­рию пред­ло­жил Я. Боль­яй ; по­это­му Л. г. ино­гда на­зы­ва­ют гео­мет­ри­ей Ло­ба­чев­ско­го – Боль­яя. Её так­же на­зы­ва­ют не­евк­ли­до­вой гео­мет­ри­ей, хо­тя обыч­но тер­ми­ну «не­евк­ли­до­ва гео­мет­рия» при­да­ют бо­лее ши­ро­кий смысл, вклю­чая сю­да и др. тео­рии, воз­ник­шие вслед за Л. г., а так­же тео­рии, ос­но­ван­ные на из­ме­не­нии по­сы­лок евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Л. г. ино­гда на­зы­ва­ют ги­пер­бо­лич. не­евк­ли­до­вой гео­мет­ри­ей в про­ти­во­по­лож­ность эл­лип­тич. гео­мет­рии Ри­ма­на (см. Не­евк­ли­до­вы гео­мет­рии , Ри­ма­на гео­мет­рия ).

    🔍 Видео

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

    Параллельные прямые и почему они не пересекаются да же в космосе!Скачать

    Параллельные прямые и почему они не пересекаются да же в космосе!

    Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

    Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

    Параллельные прямые пересекаются в бесконечности (2015) Официальный трейлерСкачать

    Параллельные прямые пересекаются в бесконечности (2015) Официальный трейлер

    ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В БЕСКОНЕЧНОСТИ фильм 2016 | ЛИКА АЛЕКСЕЕВА, АННА ЦУКАНОВА-КОТТСкачать

    ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В БЕСКОНЕЧНОСТИ фильм 2016 | ЛИКА АЛЕКСЕЕВА, АННА ЦУКАНОВА-КОТТ

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

    Параллельные прямыеСкачать

    Параллельные прямые

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

    Параллельные прямыеСкачать

    Параллельные прямые

    Параллельные линии могут пересечься у края ВселеннойСкачать

    Параллельные линии могут пересечься у края Вселенной

    Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]Скачать

    Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]

    Параллельные прямые (задачи).Скачать

    Параллельные прямые (задачи).

    Неевклидова геометрия #shorts #nonEuclideangeometry #lobachevskyСкачать

    Неевклидова геометрия #shorts #nonEuclideangeometry #lobachevsky

    7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

    7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

    10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

    10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

    Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

    Параллельность прямых. 10 класс.

    Параллельные пересекающиеся мирыСкачать

    Параллельные пересекающиеся миры
    Поделиться или сохранить к себе: