Центральный угол окружности его градусная мера

Центральные и вписанные углы

Центральный угол окружности его градусная мера

О чем эта статья:

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Центральный угол окружности его градусная мера

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Центральный угол окружности его градусная мера

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Центральный угол окружности его градусная мера

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Центральный угол окружности его градусная мера

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Центральный угол окружности его градусная мера

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Центральный угол окружности его градусная мера

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Центральный угол окружности его градусная мера

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Центральный угол окружности его градусная мера

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Центральный угол окружности его градусная мера

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Центральный угол окружности его градусная мера

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Центральный угол окружности его градусная мера

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Центральный угол окружности его градусная мера

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Центральный угол окружности его градусная мера

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Центральный угол окружности его градусная мера

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Центральный угол окружности

Центральный угол окружности — это угол, образованный двумя радиусами окружности, вершина которого совпадает с центром окружности.

Центральный угол окружности его градусная мера

O — центр окружности, AO и OB — радиусы окружности, образующие два центральных угла с вершиной в центре O.

Дуга, лежащая во внутренней области угла, называется дугой, соответствующей этому центральному углу.

Центральный угол окружности его градусная мера

Углу AOB соответствует две дуги с концами A и B. Если угол AOB является развёрнутым, то он будет разделять окружность на две равные дуги, называемые полуокружностями:

Центральный угол окружности его градусная мера

∠AOB — развёрнутый угол, Центральный угол окружности его градусная мераALB и Центральный угол окружности его градусная мераAMB — полуокружности.

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Градусная мера дуги окружности

Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги — это градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Если дуга AB окружности с центром O меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла AOB. Если же дуга больше полуокружности, то её градусная мера считается равной 360° —∠AOB:

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мераAMB = ∠AOB = 180°;

Центральный угол окружности его градусная мераNLB = ∠NOB = 135°;

Центральный угол окружности его градусная мераNMB = 360° — ∠NOB = 360° — 135° = 225°.

Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°:

Центральный угол окружности его градусная мераAMB + Центральный угол окружности его градусная мераALB = 360°.

Видео:Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | ИнфоурокСкачать

Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | Инфоурок

Углы, связанные с окружностью

Центральный угол окружности его градусная мераВписанные и центральные углы
Центральный угол окружности его градусная мераУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Центральный угол окружности его градусная мераДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Центральный угол окружности его градусная мера

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Центральный угол окружности его градусная мера

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголЦентральный угол окружности его градусная мера
Вписанный уголЦентральный угол окружности его градусная мераВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголЦентральный угол окружности его градусная мераВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголЦентральный угол окружности его градусная мераДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголЦентральный угол окружности его градусная мераВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаЦентральный угол окружности его градусная мера

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Центральный угол окружности его градусная мера

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Центральный угол окружности его градусная мера

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Центральный угол окружности его градусная мера

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Центральный угол окружности его градусная мера

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Центральный угол окружности его градусная мера

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Центральный угол окружности его градусная мера

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиЦентральный угол окружности его градусная мераЦентральный угол окружности его градусная мера
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаЦентральный угол окружности его градусная мераЦентральный угол окружности его градусная мера
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияЦентральный угол окружности его градусная мераЦентральный угол окружности его градусная мера
Угол, образованный касательной и секущейЦентральный угол окружности его градусная мераЦентральный угол окружности его градусная мера
Угол, образованный двумя касательными к окружностиЦентральный угол окружности его градусная мераЦентральный угол окружности его градусная мера

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Центральный угол окружности его градусная мера
Формула: Центральный угол окружности его градусная мера
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Центральный угол окружности его градусная мера

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Центральный угол окружности его градусная мера
Формула: Центральный угол окружности его градусная мера
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Центральный угол окружности его градусная мера

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Центральный угол окружности его градусная мера

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Градусная мера дуги окружности. Центральные углыСкачать

Градусная мера дуги окружности. Центральные углы

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Центральный угол окружности его градусная мера

В этом случае справедливы равенства

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Центральный угол окружности его градусная мера

В этом случае справедливы равенства

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Центральный угол окружности его градусная мера

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Центральный угол окружности его градусная мера

Центральный угол окружности его градусная мера

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🎬 Видео

Математика, 8 класс: Центральный угол. Градусная мера дуги окружностиСкачать

Математика, 8 класс: Центральный угол. Градусная мера дуги окружности

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Центральный угол в окружностиСкачать

Центральный угол в окружности

Г 8 Градусная мера дуги окружности. Центральный угол - 01Скачать

Г 8  Градусная мера дуги окружности. Центральный угол - 01

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Геометрия Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, котораяСкачать

Геометрия Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, которая

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Окружнось. Градусная мера дуги. Дуговой градус.Скачать

Окружнось. Градусная мера дуги. Дуговой градус.

Градусная мера дуги из ЕГЭ по математикеСкачать

Градусная мера дуги из ЕГЭ по математике
Поделиться или сохранить к себе: