Площади вписанного и описанного около окружности правильных шестиугольников относятся как

Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Правильный шестиугольник вписанный в окружность

Правильный шестиугольник вписанный в окружность. К вашему вниманию типичная задача, которая встречается в школьном курсе математики. Сначала небольшое теоретическое отступление. Информацию о шестиугольнике и окружности можно посмотреть здесь и тут.

Известно, что в правильном шестиугольнике расстояния от центра до его вершин равны, также это расстояние равно стороне шестиугольника. То есть правильный шестиугольник состоит как бы из шести равносторонних треугольников «сложенных» друг с другом.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Л. С.

Задача 1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников – вписанного в окружность и описанного около неё.

Как правило, когда дано такое условие большинство ребят привыкли строить эскиз следующим образом:

*Конечно, можно построить диагонали и высоты образованных равносторонних треугольников. Далее обозначить сторону описанного шестиугольника, например, за «х» и вычислять их площади.

Мы поступим следующим образом: повернём вписанный шестиугольник по часовой стрелке на 30 градусов и разобьём (диагоналями) на 6 равносторонних треугольников:

Видно, что сторона вписанного шестиугольника равна высоте описанного. Кроме того, очевидно, что рассматриваемые шестиугольники подобны. Вспомним свойства подобия фигур:

=> отношение сторон подобных фигур равно коэффициенту подобия, то есть

=> отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть

Для того чтобы вычислить отношение площадей шестиугольников нам достаточно найти отношение площадей двух равносторонних треугольников (маленького и большого):

*Как уже сказано: сторона маленького треугольника равна высоте большого.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике со стороной «х» его высота равна

*Это несложное вычисление, можно использовать теорему Пифагора.

Значит отношение сторон оговоренных треугольников будет равно:

Мы получили коэффициент подобия.

Таким образом, отношение площадей треугольников (малого и большого), а значит и вписанного и описанного шестиугольников будет равно квадрату этого коэффициента:

Ещё вариант решения!

Мы можем найти отношение площадей оговоренных выше равносторонних треугольников. Используем формулу площади треугольника:

Сторону большего треугольника принимаем за х, следовательно площадь будет равна:

Сторона меньшего треугольника будет равна (х√3)/2, тогда его площадь:

Отношение площади меньшего к площади большего равно:

Итог: мы построили эскиз, вычислили отношение сторон шестиугольников (отношение сторон равносторонних треугольников), далее использовали свойство подобия.

*Комментарий: не смотря на то что объяснение решения изложено несколько ёмко, на самом деле сам процесс вычисления очень прост и при понимании осуществляется в течение минуты. Здесь важна сама идея решения, а именно: использование свойства подобия фигур. И, безусловно, время затраченное на поиск результата будет значительно меньше, чем если бы мы вычисляли отношение площадей другим способом.

Дополнение! Важен один момент: необходимо внимательно прочитать условие. Здесь сказано, что необходимо найти отношение площадей вписанного и описанного шестиугольника. Если же будет стоять вопрос о нахождении отношения площади описанного и вписанного шестиугольника, то результат будет другой. Подробнее:

Отношение сторон большого и малого треугольников будет равно:

Это есть коэффициент подобия. Значит его квадрат будет равен:

То есть отношение площадей в этом случае будет равно 4/3.

Материал предоставил репетитор по математике, ведущий курсов ЕГЭ по математике и информатике в городе Челябинск Евгений Маслов .

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Найдите отношение площади правильного шестиугольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Ваш ответ

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

решение вопроса

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,282
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,061
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Правильный шестиугольник и его свойства

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов (n) –угольника равна (180^circ(n-2)) , то каждый угол правильного (n) –угольника равен [alpha_n=dfracn cdot 180^circ]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac 4cdot 180^circ=90^circ) ;

каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac6cdot 180^circ=120^circ) .

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если (a) – сторона правильного (n) –угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin S&=dfrac n2ar\ a&=2Rcdot sindfracn\ r&=Rcdot cosdfracn end]

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R) .

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ) .

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac<3sqrt>a^2) .

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный (n) -угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac) .

📸 Видео

Задача 6 №27917 ЕГЭ по математике. Урок 134Скачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Свойства правильного шестиугольника. Сравнение площадей. Разбор задачи из стереометрии.Скачать

ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

Задание № 1097 - Геометрия 9 класс (Атанасян)Скачать

ЕГЭ Задание 16 Правильный шестиугольникСкачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

№ 201-300 - Геометрия 9 класс МерзлякСкачать

Геометрия - Построение шестиугольникаСкачать