Если вам необходимо вычислить площадь треугольника через синус угла, тогда вы зашли именно по адресу, потому что сегодня мы детально изучим этот вопрос.
Подобный род задач достаточно распространен в геометрии и, несмотря на свою простоту, неправильное использование формулы может привести к неверному результату.
В общем случае площадь треугольника можно вычислить по формуле: половина произведения двух сторон на синуса угла между ними.
- Формулы площади треугольника через синус угла:
- Площадь равнобедренного треугольника через синус:
- Площадь прямоугольного треугольника через синус:
- Пример задачи
- Площадь треугольника через синус
- Определение
- Введение
- Теорема
- Формула
- Пример
- Доказательство
- Заключение
- Как найти площадь треугольника
- Основные понятия
- Формула площади треугольника
- Общая формула
- 1. Площадь треугольника через основание и высоту
- 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
- 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
- 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
- 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
- 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
- Для прямоугольного треугольника
- Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
- Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
- Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
- Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
- Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
- Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
- Для равнобедренного треугольника
- Вычисление площади через основание и высоту
- Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
- Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
- Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
- Площадь равностороннего треугольника через сторону
- Площадь равностороннего треугольника через высоту
- Таблица формул нахождения площади треугольника
- 💥 Видео
Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать
Формулы площади треугольника через синус угла:
Схематическое изображение треугольника:
Где b, с, а – стороны треугольника;
γ, α, β – углы между сторонами.
Если известна только одна сторона и величины всех трех углов, тогда площадь можно найти как:
Площадь равнобедренного треугольника через синус:
Как можно было увидеть вышеуказанная формула ничем не отличается от общей.
Площадь прямоугольного треугольника через синус:
Где а,b,с – стороны треугольника
А,В,С – углы между сторонами.
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Пример задачи
Рассмотрим задачу, в которой известно размеры двух сторон треугольника, а также величина угла между ними. Таким образом, мы можем определить площадь треугольника, которая находится как половина произведения двух сторон и синуса угла между ними.
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Площадь треугольника через синус
Видео:4 класс, 25 урок, Площадь прямоугольного треугольникаСкачать
Определение
Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.
Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.
Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
Введение
Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!
Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.
Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.
Теорема
( S = frac2 * BC * AC * sin angle BCA )
Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.
Формула
[ S = frac2 * a * b * sin α ]
Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.
Пример
Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.
Нужно найти площадь треугольника omk.
Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.
Найти: S △omk — ?
Решение:
1) ( S = frac2*a*b*sin α ) ( implies ) ( S = frac2*mk*ok*sin okm )
2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6
Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.
Доказательство
Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.
Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.
Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать
Заключение
В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.
Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.
Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Видео:Урок 38. Площадь треугольника, прямоугольного треугольника, ромбаСкачать
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
💥 Видео
Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать
8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать
Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18Скачать
Площадь прямоугольного треугольникаСкачать
Площадь прямоугольного треугольника равна 200√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Площадь треугольника через синус угла.Решение прямоугольных треугольников.8класс.Скачать
Известна площадь прямоугольного треугольника и один из острых углов. Найти противолежащий катетСкачать