Пи 32 на окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Пи 32 на окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

    Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

    Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

    Обозначаем числа (2π), (π), (frac), (-frac), (frac)

    Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

    Пи 32 на окружности

    Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

    Пи 32 на окружности

    Отметим точку (frac) . (frac) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

    Пи 32 на окружности

    Обозначим на окружности точки (-) (frac) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

    Пи 32 на окружности

    Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

    Пи 32 на окружности

    Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac) . Для этого дробь (frac) переведем в смешанный вид (frac) (=1) (frac) , т.е. (frac) (=π+) (frac) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

    Пи 32 на окружности

    Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac) .

    Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

    Окружность и круг, 6 класс

    Обозначаем числа (frac), (frac), (frac)

    Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac) , (frac) и (frac) .
    (frac) – это половина от (frac) (то есть, (frac) (=) (frac) (:2)) , поэтому расстояние (frac) – это половина четверти окружности.

    Пи 32 на окружности

    (frac) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac) (=π:3)), поэтому расстояние (frac) – это треть от полукруга.

    Пи 32 на окружности

    (frac) – это половина (frac) (ведь (frac) (=) (frac) (:2)) поэтому расстояние (frac) – это половина от расстояния (frac) .

    Пи 32 на окружности

    Вот так они расположены друг относительно друга:

    Пи 32 на окружности

    Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac) ,(π), (frac) , (frac) , (frac) , (frac) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

    Разные расстояние на окружности наглядно:

    Пи 32 на окружностиПи 32 на окружности

    Пи 32 на окружности Пи 32 на окружности

    Видео:Как считали число пи? [Veritasium]Скачать

    Как считали число пи? [Veritasium]

    Обозначаем числа (frac), (-frac), (frac)

    Обозначим на окружности точку (frac) , для этого выполним следующие преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=π+) (frac) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac) .

    Пи 32 на окружности

    Отметим на окружности точку (-) (frac) . Преобразовываем: (-) (frac) (=-) (frac) (-) (frac) (=-π-) (frac) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac) .

    Пи 32 на окружности

    Нанесем точку (frac) , для этого преобразуем (frac) (=) (frac) (=) (frac) (-) (frac) (=2π-) (frac) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac) .

    Пи 32 на окружности

    Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac) ,(frac), (-frac), (-frac)

    Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

    Пи 32 на окружности

    Из этого примера можно сделать вывод:

    Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

    То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

    Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

    Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

    Пи 32 на окружности

    Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

    Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

    Сейчас обозначим число (frac) . Как обычно, преобразовываем: (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=3π+) (frac) (=2π+π+) (frac) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac) (т.е. половину окружности и еще четверть).

    Пи 32 на окружности

    Отметим (frac) . Вновь преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=5π+) (frac) (=4π+π+) (frac) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac) – и мы найдем место точки (frac) .

    Пи 32 на окружности

    Нанесем на окружность число (-) (frac) .
    (-) (frac) (= -) (frac) (-) (frac) (=-10π-) (frac) . Значит, место (-) (frac) совпадает с местом числа (-) (frac) .

    Пи 32 на окружности

    Обозначим (-) (frac) .
    (-) (frac) (=-) (frac) (+) (frac) (=-5π+) (frac) (=-4π-π+) (frac) . Для обозначение (-) (frac) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac) .

    Видео:Число Пи-здесь. Объяснение математического смысла.Скачать

    Число Пи-здесь. Объяснение математического смысла.

    Единичная окружность

    Пи 32 на окружности

    О чем эта статья:

    10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

    Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
    Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
    (в правом нижнем углу экрана).

    Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Единичная окружность в тригонометрии

    Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

    Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

    Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

    Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

    Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

    Пи 32 на окружности

    Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

    В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

    Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

    Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

    Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

    • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
    • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
    • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
    • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

    Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

    Пи 32 на окружности

    Радиан — одна из мер для определения величины угла.

    Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

    Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

    Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

    Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

    Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

    • 2π радиан = 360°
    • 1 радиан = (360/2π) градусов
    • 1 радиан = (180/π) градусов
    • 360° = 2π радиан
    • 1° = (2π/360) радиан
    • 1° = (π/180) радиан

    Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Уравнение единичной окружности

    При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

    Пи 32 на окружности

    Пи 32 на окружности

    Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

    🔍 Видео

    Число Пи не перестает удивлять!Скачать

    Число Пи не перестает удивлять!

    ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ // ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ // ЧИСЛО ПИСкачать

    ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ // ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ // ЧИСЛО ПИ

    Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

    Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

    Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

    ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

    Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать

    Треугольник ABC вписан в окружность с центром O  Угол BAC равен 32°

    Что означает число Пи?Скачать

    Что означает число Пи?

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

    Что такое число Пи? Кто его изобрел и почему оно так важноСкачать

    Что такое число Пи?  Кто его изобрел и почему оно так важно

    КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

    КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
    Поделиться или сохранить к себе: