Площадь эллипса формула через длину окружности

Площади фигур. Площадь эллипса.

Эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний, от

которых до двух заданных точек F1, F2, есть величина

Точки F1 и F2 являются фокусами эллипса.

Окружность – это частный случай эллипса.

Площадь эллипса формула через длину окружности

Так же как гипербола и парабола, эллипс – это коническое сечение и квадрика.

Кроме того, эллипс описывают как пересечение плоскости и кругового цилиндра либо как ортогональная

проекция окружности на плоскость.

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи. Как найти

площадь эллипса, формула:

Площадь эллипса формула через длину окружности

где S — площадь эллипса

a — длина большей полуоси

b — длина маленькой полуоси

Еще один вариант как вычислить площадь эллипса – через два его

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Онлайн калькулятор. Площадь эллипса

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь эллипса.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади эллипса, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Найти площадь эллипса

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади эллипса

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби 3, 0.4, 5/7. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Если у вас возниели трудности с преобразованием единиц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади эллипса

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши и на клавиатуре.

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

Теория. Площадь эллипса

Площадь эллипса формула через длину окружности

Формула для вычисления площади эллипса

S = π a b
где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса,
π = 3.141592.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Площадь эллипса формула через длину окружности,

где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Площадь эллипса без интегралаСкачать

Площадь эллипса без интеграла

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид Площадь эллипса формула через длину окружности, где Площадь эллипса формула через длину окружности, где Площадь эллипса формула через длину окружности– многочлен, состоящий из слагаемых вида Площадь эллипса формула через длину окружности( Площадь эллипса формула через длину окружности( Площадь эллипса формула через длину окружности– действительное число, Площадь эллипса формула через длину окружности– целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательныхстепенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости

Порядок линии равен максимальному значению Площадь эллипса формула через длину окружностивходящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах Площадь эллипса формула через длину окружности.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид Площадь эллипса формула через длину окружности, где Площадь эллипса формула через длину окружности, где Площадь эллипса формула через длину окружности– произвольные действительные числа ( Площадь эллипса формула через длину окружности принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Площадь эллипса формула через длину окружности принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Площадь эллипса формула через длину окружностине равны одновременно нулю.

Если Площадь эллипса формула через длину окружности, то уравнение упрощается до Площадь эллипса формула через длину окружности, то уравнение упрощается до Площадь эллипса формула через длину окружности, и если коэффициенты Площадь эллипса формула через длину окружностиодновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка.

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемыееё уравнения и у каждого из них найти сумму степенейвходящих переменных.

слагаемое Площадь эллипса формула через длину окружностисодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Площадь эллипса формула через длину окружностисодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Площадь эллипса формула через длину окружностисодержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом Площадь эллипса формула через длину окружностипеременные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.

Теперь разберёмся, почему уравнение Площадь эллипса формула через длину окружностизадаёт линию второго порядка:

слагаемое Площадь эллипса формула через длину окружностисодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Площадь эллипса формула через длину окружностисодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Площадь эллипса формула через длину окружностисумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое Площадь эллипса формула через длину окружностисодержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, Площадь эллипса формула через длину окружности, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Площадь эллипса формула через длину окружности, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Площадь эллипса формула через длину окружности, где коэффициенты Площадь эллипса формула через длину окружностине равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат Площадь эллипса формула через длину окружности, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению Площадь эллипса формула через длину окружностии вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Площадь эллипса формула через длину окружностии вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Площадь эллипса формула через длину окружности, уравнение которой легко привести к общему виду Площадь эллипса формула через длину окружности, и гипербола Площадь эллипса формула через длину окружности, и гипербола Площадь эллипса формула через длину окружностис эквивалентным уравнением Площадь эллипса формула через длину окружности. Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае Площадь эллипса формула через длину окружностине сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Видео:Площадь эллипсоида + вывод формулы площади поверхности вращенияСкачать

Площадь эллипсоида + вывод формулы площади поверхности вращения

Определение эллипсa

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

Площадь эллипса формула через длину окружностиПлощадь эллипса формула через длину окружности
Рис.1Рис.2

Видео:Как найти площадь эллипса, или почему современные дети не умеют думатьСкачать

Как найти площадь эллипса, или почему современные дети не умеют думать

Формула площади эллипса через каноническое уравнение

Формула для нахождения площади в этом случае такова:

a , b – большая и мала полуоси эллипса, соответственно.

Решим задачу этим способом.

Дано уравнение эллипса. Найти его площадь и округлить ответ до целого числа.

2 5 x 2 ​ + 9 y 2 ​ = 1

Решение

Для начала найдем длины наших полуосей:

a = a 2 ​ = 2 5 ​ = 5

S = π ⋅ a ⋅ b = π ⋅ 5 ⋅ 3 ≈ 4 7 (см. кв.)

Ответ: 47 см. кв.

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Соотношения между элементами эллипса

Площадь эллипса формула через длину окружности

  • Малая полуось: Площадь эллипса формула через длину окружности;
  • Расстояние от фокуса до ближней вершины : Площадь эллипса формула через длину окружности;
  • Расстояние от фокуса до дальней вершины : Площадь эллипса формула через длину окружности;
  • Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
    • Площадь эллипса формула через длину окружности;
    • Площадь эллипса формула через длину окружности;
    • Площадь эллипса формула через длину окружности;
    • Площадь эллипса формула через длину окружности;
  • Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
    • Площадь эллипса формула через длину окружности;
    • Площадь эллипса формула через длину окружности;

Видео:Площадь эллипсаСкачать

Площадь эллипса

Элементы эллипсa

А1А2 = 2 a – большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2 b – малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

O – центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a . Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

e =c
a

Радиус эллипсa R – отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =ab=b
√ a 2 sin 2 φ + b 2 cos 2 φ√ 1 – e 2 cos 2 φ

где e – эксцентриситет эллипсa, φ – угол между радиусом и большой осью A1A2.

p =b 2
a

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k – отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k =b
a

где e – эксцентриситет.

1 – k =a – b
a

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению Площадь эллипса формула через длину окружности «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Площадь эллипса формула через длину окружности «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Площадь эллипса формула через длину окружности и направляющий вектор Площадь эллипса формула через длину окружности.

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Связанные определения

  • Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние Площадь эллипса формула через длину окружностиназывается фокальным расстоянием.
  • Эксцентриситетом эллипса называется отношение Площадь эллипса формула через длину окружности. Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса изменяется. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Фокальным параметромПлощадь эллипса формула через длину окружностиназывается половина длины хорды , проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Площадь эллипса формула через длину окружности. Величина, равная Площадь эллипса формула через длину окружностиназывается сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением Площадь эллипса формула через длину окружности

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Расчет площади

Площадь эллипса формула через длину окружности

  • Большая полуось эллипса является максимальным расстоянием от его центра до края. [1]

Площадь эллипса формула через длину окружности

  • Малая полуось эллипса расположена под прямым углом 90º к его большой полуоси, однако для нахождения площади нет необходимости определять углы.
  • Малая полуось эллипса является минимальным расстоянием от его центра до края.

Площадь эллипса формула через длину окружности

  • Например, если большая полуось эллипса равна 5 единицам, а малая 3 единицам длины, то получим площадь 5 x 3 x π, или около 47 квадратных единиц длины.
  • Если у вас нет под рукой калькулятора или на калькуляторе нет символа π, используйте вместо этого числа значение “3,14”.

Видео:Как найти площадь элипсаСкачать

Как найти площадь элипса

Объяснение метода

Площадь эллипса формула через длину окружности

Площадь эллипса формула через длину окружности

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Площадь эллипса формула через длину окружностии Площадь эллипса формула через длину окружностии Площадь эллипса формула через длину окружностина рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Площадь эллипса формула через длину окружности,

где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Площадь эллипса формула через длину окружности

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Площадь эллипса формула через длину окружности Площадь эллипса формула через длину окружности Площадь эллипса формула через длину окружностиперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Площадь эллипса формула через длину окружности. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Площадь эллипса формула через длину окружности, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Площадь эллипса формула через длину окружности

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Площадь эллипса формула через длину окружности.

Точки Площадь эллипса формула через длину окружностии Площадь эллипса формула через длину окружностии Площадь эллипса формула через длину окружности, обозначенные зелёным на большей оси, где

Площадь эллипса формула через длину окружности,

называются фокусами.

Площадь эллипса формула через длину окружности

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Площадь эллипса формула через длину окружности

Результат – каноническое уравнение эллипса:

Площадь эллипса формула через длину окружности.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Площадь эллипса формула через длину окружности.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Площадь эллипса формула через длину окружности.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Площадь эллипса формула через длину окружности

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Площадь эллипса формула через длину окружности

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Площадь эллипса формула через длину окружности.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Площадь эллипса формула через длину окружности.

Получаем фокусы эллипса:

Площадь эллипса формула через длину окружности

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( Площадь эллипса формула через длину окружностии Площадь эллипса формула через длину окружностии Площадь эллипса формула через длину окружности– положительные действительные числа)

1) Площадь эллипса формула через длину окружности– каноническое уравнение эллипса;

2) Площадь эллипса формула через длину окружности– каноническое уравнение гиперболы;

3) Площадь эллипса формула через длину окружности– каноническое уравнение параболы;

4) Площадь эллипса формула через длину окружностимнимый эллипс;

5) Площадь эллипса формула через длину окружности– пара пересекающихся прямых;

6) Площадь эллипса формула через длину окружности– пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) Площадь эллипса формула через длину окружности– пара параллельных прямых;

Площадь эллипса формула через длину окружности Площадь эллипса формула через длину окружности– пара мнимых параллельных прямых;

9) Площадь эллипса формула через длину окружности– пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение Площадь эллипса формула через длину окружностизадаёт пару прямых Площадь эллипса формула через длину окружностизадаёт пару прямых Площадь эллипса формула через длину окружности, параллельных оси Площадь эллипса формула через длину окружности, и возникает вопрос: а где же уравнение Площадь эллипса формула через длину окружности, и возникает вопрос: а где же уравнение Площадь эллипса формула через длину окружности, определяющее прямые Площадь эллипса формула через длину окружности, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Площадь эллипса формула через длину окружности, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Площадь эллипса формула через длину окружностипредставляют собой тот же самый стандартный случай Площадь эллипса формула через длину окружности, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Площадь эллипса формула через длину окружности, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Площадь эллипса формула через длину окружностив классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Видео:ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать

ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК   #math #логика #загадка #математика #геометрия

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой , то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние = – фокусное расстояние.

Площадь эллипса формула через длину окружности

Площадь эллипса формула через длину окружности– половина расстояния между фокусами;

Площадь эллипса формула через длину окружности– большая полуось;

Площадь эллипса формула через длину окружности– малая полуось.

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка Площадь эллипса формула через длину окружностинаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка Площадь эллипса формула через длину окружностинаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

Видео:Площадь эллипсаСкачать

Площадь эллипса

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Построить эллипс, заданный уравнением Площадь эллипса формула через длину окружности

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Площадь эллипса формула через длину окружности

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения Площадь эллипса формула через длину окружностизаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Площадь эллипса формула через длину окружностизаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Площадь эллипса формула через длину окружности. Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению Площадь эллипса формула через длину окружности.

В данном случае Площадь эллипса формула через длину окружности:
Площадь эллипса формула через длину окружности:
Площадь эллипса формула через длину окружности
Отрезок Площадь эллипса формула через длину окружностиназывают большой осью эллипса;
отрезок Площадь эллипса формула через длину окружностиназывают большой осью эллипса;
отрезок Площадь эллипса формула через длину окружностималой осью;
число Площадь эллипса формула через длину окружностиназывают большой полуосью эллипса;
число Площадь эллипса формула через длину окружностиназывают большой полуосью эллипса;
число Площадь эллипса формула через длину окружностималой полуосью.
в нашем примере: Площадь эллипса формула через длину окружности.

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями Площадь эллипса формула через длину окружности. Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса Площадь эллипса формула через длину окружностина черновике быстренько выражаем:
Площадь эллипса формула через длину окружностина черновике быстренько выражаем:
Площадь эллипса формула через длину окружности

Далее уравнение распадается на две функции:
Площадь эллипса формула через длину окружности– определяет верхнюю дугу эллипса;
Площадь эллипса формула через длину окружности– определяет верхнюю дугу эллипса;
Площадь эллипса формула через длину окружности– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция Площадь эллипса формула через длину окружности. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Площадь эллипса формула через длину окружности. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Площадь эллипса формула через длину окружности. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Площадь эллипса формула через длину окружности
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки Площадь эллипса формула через длину окружности(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Площадь эллипса формула через длину окружности(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Площадь эллипса формула через длину окружности
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Свойства

  • Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X) .
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида .

Эллипс также можно описать как

  • фигуру, которую можно получить из окружности , применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость .
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) – √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 – число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Поделиться или сохранить к себе: