Перпендикулярные прямые в треугольнике

Перпендикулярные прямые — это две пересекающиеся прямые,
образующие четыре прямых угла.

По другому можно сказать так: перпендикулярные
прямые — это две прямые, которые пересекаются под прямым углом.
Эти два утверждения истинны.

Перпендикулярность прямых обозначается символом ⊥ . Например,
перпендикулярность прямых, изображенных на рисунке 1 обозначается
так: AC ⊥ BD. А читается так: прямая AC перпендикулярна к прямой BD.

Для того, чтобы начертить перпендикулярные прямые используют
чертежный угольник и линейку.

Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются,
но параллельны между собой.

1. Перпендикуляр — это прямая опущенная под прямым углом
   к другой прямой.
2. Перпендикуляр к данной прямой — это отрезок прямой,
   перпендикулярный данной прямой, имеющий одним из
   своих концов их точку пересечения.
3. Основание перпендикуляра — это конец отрезка прямой,
   которая перпендикулярна данной прямой.

Условие перпендикулярности двух прямых — две прямые
пересекаются под прямым углом.

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести
перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна любой прямой, лежащей
в этой плоскости.

Видео:№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

Математика

68. В п. 63 мы научились строить прямой угол. Так как две прямые, составляющие прямые углы, называются перпендикулярными друг другу (п. 60), то построение п. 63 можно выразить словами иначе: мы можем построить прямую, перпендикулярную к данной.

Мы теперь должны эту общую задачу разобрать подробнее и прежде всего разделим ее на две отдельных задачи:

1) Дана прямая и точка на ней, построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ли и сколько?).

2) Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ил и сколько?).

В скобках указаны те вопросы, которые должны быть выяснены при выполнении построений.

69. 1-я задача . Дана прямая и точка на ней; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой.

Здесь остается повторить то построение, какое было дано в п. 63.

Пусть дана прямая AB и точка C на ней (чер. 73), построить чрез C перпендикуляр к AB.

От точки C откладываем по AB в разные стороны два произвольных, но равных отрезка CD = CE и затем, принимая последовательно точки D и E за центры, строим две окружности (или две дуги, достаточные для нахождения одной точки пересечения окружностей) одинаковыми радиусами, большими, чем отрезок CD. Точку пересечения M этих окружностей соединяем с C, тогда MC и есть искомый перпендикуляр, так как MC есть половина диагонали ромба, 3 вершины которого суть D, E и M.

Слово «перпендикуляр» пишут для сокращения знаком ⊥; мы построили

(CM перпендикуляр к AB).

Итак, выполнив это построение, мы можем признать, что чрез всякую точку, данную на прямой, можно построить к ней перпендикуляр (говорят иногда: восставить перпендикуляр к данной прямой). Остается еще вопрос: сколько?

Если луч CM повернуть около точки C в ту или другую сторону, то новые углы, составляемые этим лучом с прямою AB, уже не будут прямыми; поэтому заключаем, что возможно построить чрез точку прямой линии к этой прямой лишь один перпендикуляр .

70. 2-я задача . Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой.

Пусть дана прямая AB и точка C вне ее (чер. 74); требуется чрез C построить перпендикуляр к AB.

Задача сводится к построению такого ромба, чтобы его одна вершина расположилась в точке C и одна его диагональ шла по прямой AB. Для построения такого ромба опишем, принимая C за центр, окружность (или дугу), выбрав ее радиус столь большим, чтобы эта окружность пересекалась с прямою AB; пусть она пересечет прямую AB в точках D и E. Тогда будут найдены еще две вершины ромба. Затем, принимая последовательно за центры точки D и E, построим два круга (или две дуги) тем же самым радиусом и найдем точку их пересечения, расположенную по другую сторону от прямой AB сравнительно с точкою C, пусть эта точка есть F. Тогда все 4 вершины ромба найдены; остается построить его диагональ CF, она, как мы знаем, и будет перпендикулярна к AB, т. е. CF ⊥ AB или CM ⊥ AB.

Стороны ромба DC, CE, EF и FD нет надобности строить.

Выполнив указанное построение, мы должны признать, что из всякой точки, данной вне прямой, мы можем построить перпендикуляр к данной прямой (говорят иногда: опустить перпендикуляр на данную прямую). Остается еще вопрос: сколько?

Для решения этого вопроса допустим, что чрез точку C (чер. 75) построено: 1) CD ⊥ AB и 2) CE ⊥ AB. Тогда ∠CDB или ∠1 и ∠CEB или ∠2 оба должны быть прямыми и, следов., равны между собою. Но ∠CEB есть внешний угол для ∆CDE, а мы знаем (п. 49), что внешний угол треугольника должен быть больше внутреннего с ним несмежного. Это противоречие показывает, что наше допущение не верно, т. е. Нельзя построить чрез точку C двух перпендикуляров к прямой AB. Итак:

Чрез точку, данную вне прямой, можно построить только один перпендикуляр к этой прямой .

Замечание . Если, как мы получили в этом п., CF ⊥ AB (чер. 74), то, очевидно, и AB ⊥ CF.

71. Построим какой-либо ∆ABC (чер. 76) и из каждой его вершины опустим перпендикуляр на противоположную сторону (здесь под именем сторона треугольника надо понимать бесконечную прямую). Каждый из этих перпендикуляров называется высотою треугольника. Следовательно, наша задача может быть выражена так: построить высоты треугольника. Если мы выполним построение перпендикуляров с возможною тщательностью, то в результате увидим, что по-видимому, все три высоты пересекаются в одной точке H, впоследствии мы выясним, что это свойство высот обязательно для всякого треугольника.

При построении высот может быть три случая: 1) все три высоты идут внутри треугольника (чер. 76); 2) две высоты BE и AD располагаются вне треугольника и общая точка H пересечения всех трех высот лежит вне треугольника (чер. 77) и 3) две высоты сливаются со сторонами треугольника (чер. 78), где BA ⊥ AC и CA ⊥ AB.

72. Для разбора вышеописанных трех случаев расположения высот условимся в обозначениях и названиях.
Прямой угол обозначают буквою d; тогда выпрямленный угол равен 2d, так как прямой угол есть половина выпрямленного угла. Если какой-либо угол больше прямого угла, то он называется тупым углом, а угол, меньший прямого угла, называется острым . Если ∠BAC (чер. 79) прямой, т. е., если ∠BAC = d, то ∠DAC > d и, следов., тупой, а ∠EAC сумма внутренних углов треугольника = 2d (или двум прямым углам ).

Ясно, что 3-й случай расположения высот в треугольнике, когда две его высоты сливаются со сторонами (чер. 78), имеет место, если ∠BAC треугольника прямой (∠BAC = d); такой треугольник с прямым углом называется прямоугольным . Так как сумма всех углов треугольника = 2d, а в этом случае ∠A прямой, или = d, то два другие угла (∠B и ∠C) в сумме составляют тоже прямой угол, а следовательно каждый из них в отдельности меньше прямого, или, другими словами, каждый из них острый угол.

Нетрудно теперь различать и два остальных случая: случай, данный на чер. 76, имеет место тогда, когда все 3 угла в треугольнике острые, а случай, данный на чер. 77, имеет место тогда, когда один из внутренних углов (на чер. 77 ∠BCA) тупой.

Ясно также, что если в треугольнике один угол тупой (или > d), то сумма двух других углов должна быть 1-й признак. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

В самом деле это тот же самый признак, знакомый нам: если 2 стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Теперь про углы не говорится потому, что между катетами расположены прямые углы, а они всегда равны (на чер. 81). ∠A = ∠A’, как прямые, и достаточно для равенства ∆ABC и ∆A’B’C’ знать, что AB = A’B’ и AC = A’C’).

2-й признак. Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

Это опять-таки знакомый нам признак: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, то эти треугольники равны. Теперь про равенство углов, прилегающих к равным катетам у другого конца каждого, не говорится, так как эти углы прямые, а они всегда равны (на чер. 81, где ∠A и ∠A’ прямые, достаточно для равенства треугольников знать, что AB = A’B’ и ∠B = ∠B’).

Можно вместо прилежащих углов к катетам взять углы, противолежащие этим катетам: если ∠C = ∠C’, то и ∠B = ∠B’, так как ∠B + ∠C = d и ∠B’ + ∠C’ = d.

Признак равенства треугольников по трем равным сторонам здесь нет нужды применять: мы уже знаем, что для равенства прямоугольных треугольников достаточно знать равенство двух сторон, а именно двух катетов (1-й признак).

3-й признак. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны.

Этот признак является следствием общего признака: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого, то эти треугольники равны. В самом деле, пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 81), у которых BC = B’C’ и ∠С = ∠С’. Так как мы знаем, что ∠B + ∠C = d (сумма всех трех внутренних углов ∆ABC = 2d, но ∠A = d, следов., ∠B + ∠C = d) и ∠B’ + ∠C’ = d (ибо ∠A’ = d), а нам известно, что ∠C = ∠C’, то отсюда приходим к заключению, что ∠B = ∠B’ и тогда сторона BC и два прилегающих к ней угла ∠C и ∠B одного треугольника равны соответственно стороне B’C’ и двум прилегающим к ней углам другого ∠C’ и ∠B’, а мы знаем, что в этом случае ∆ABC = ∆A’B’C’.

4-й признак. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого, то такие прямоугольные треугольники равны.

Этот признак удобнее всего выяснить следующим образом. Пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 82), причем ∠B = d и ∠B’ = d, у которых AC = A’C’ и AB = A’B’. Приложим ∆A’B’C’ и ∆ABC так, чтобы у них совпали равные катеты, т. е. A’B’ совпал бы с AB, и сами треугольники расположились бы по разные стороны от прямой AB, для этого иногда (напр., в случае, данном на чертеже) придется ∆A’B’C’ перевернуть другою стороною. Тогда сторона B’C’ должна пойти по такому направлению BC», чтобы ∠ABC» оказался прямым (ибо ∠B’ = d), а, следов., ∠CBC» оказался бы выпрямленным, т. е. Направление BC» должно быть продолжением стороны CB. Если точка C’ попадет в точку C», то, построив сторону AC», получим ∆ABC», равный ∆A’B’C’. Так как CBC» есть прямая линия, то получим еще ∆ACC», у которого сторона AC = AC», потому что AC» есть гипотенуза A’C’ треугольника A’B’C’, помещенного в положение ABC». Следовательно, ∆ACC» равнобедренный, а в таком случае углы при его основании равны, т. е. ∠C = ∠C», или ∠C = ∠C’. Оказалось, что у ∆ABC и ∠A’B’C’ имеется еще по равному острому углу, а в таком случае, на основании предыдущего признака, мы можем заключить, что ∆ABC = ∆A’B’C’.

75. Пусть построено: 1) CD ⊥ AB и 2) C’D’ ⊥ AB (чер. 83); тогда, напр., ∠1 = ∠2, так как оба они прямые. Но эти углы суть соответственные при прямых CD и C’D’, пересеченных секущею AB, – следов., CD || C’D’.

Наоборот, пусть построено: 1) CD || C’D’ и 2) AB ⊥ CD (чер. 83); тогда AB должна пересечь и прямую C’D’ (п. 32, 1), напр. в точке C’. Легко увидим, что ∠2 = ∠1, так как эти углы соответственные при параллельных CD и C’D’ и секущей AB, но ∠1 = d, так как AB ⊥ CD, – следов., и ∠2 = d, т. е. AB ⊥ C’D’.
Поэтому имеем два заключения:

1) Два перпендикуляра к прямой параллельны.

2) Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных, перпендикулярна и к другой.

76. Упражнения.

1. Построить прямоугольный ∆ по катетам.
2. Построить прямоугольный ∆ по катету и одному из острых углов.
3. Построить прямоугольный ∆ по гипотенузе и острому углу.
4. Построить прямоугольный ∆ по гипотенузе и катету.
5. Построить высоты параллелограмма. Указать среди них равные.
6. Задачу «построить перпендикуляр к данной прямой чрез данную вне ее точку» можно решить следующим построением: на данной прямой берем 2 произвольных точки A и B (чер. E) и, принимая их последовательно за центры, построим два круга радиусами AC и BC, где C данная точка. Окончить это построение и выяснить его справедливость.
7. Разделить прямой угол на 3 равных части.

Третью часть прямого угла легко построить: каждый внутренний угол равностороннего треугольника = , а его половина = . Наиболее удобное расположение построения следующее: принимая вершину A прямого угла за центр (чер. F), строим произвольным радиусом окружность: затем, принимая за центры точки C и B – точки пересечения построенной окружности со сторонами прямого угла – строим тем же радиусом дуги, пересекающие построенную окружность в точках D и E. Тогда ∆AEB и ∆ACD равносторонние, и лучи AD и AE делят прямой ∠A на 3 равных части.

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые в геометрии с примерами

Определение: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

При пересечении двух перпендикулярных прямых образуются 4 прямых угла.

Отрезки и лучи называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. На рисунке 87 прямые

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок, который лежит на прямой, перпендикулярной данной, один из концов которого (основание перпендикуляра) является точкой пересечения этих прямых.

Прямая перпендикулярна прямой (рис. 88). Отрезок АВ — перпендикуляр к прямой , точка В — основание перпендикуляра. Точку В также называют проекцией точки А на прямую .

Если из точки М, которая не лежит на прямой , провести перпендикуляр МК к прямой (рис. 89), то получим перпендикуляр, опущенный из точки М на прямую . Если из точки Р, лежащей на прямой , провести перпендикуляр РЕ к прямой (рис. 90), то получим перпендикуляр, восстановленный (восставленный) к прямой .

Теорема. Через точку, лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой, и только одну.

Дано: прямая ; точка А; (рис. 91).

Доказать: через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой , и только одну.

Доказательство:

По аксиоме откладывания углов от луча АВ в данную полуплоскость можно отложить угол CAB, равный 90°, и притом только один. Тогда прямая АС перпендикулярна прямой . Предположим, что существует другая прямая AD, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой . Тогда и от луча АВ в данную полуплоскость будут отложены два угла, равные 90°: А это невозможно по аксиоме откладывания углов. Следовательно, не существует другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой .

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой, и притом только одну.

Дано: прямая ; точка A, (рис. 92).

Доказать: через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой , и притом только одну.

Доказательство:

1) В начале докажем, что через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой . Мысленно перегнем лист с чертежом по прямой (совместим верхнюю полуплоскость с нижней, повернув ее вокруг прямой ) (рис. 92, а). Точка А займет некоторое положение, которое обозначим точкой В. Вернем полуплоскости в прежнее положение и проведем прямую АВ. Так как углы 1 и 2 совпадают при наложении полуплоскостей, то они равны. А поскольку эти углы смежные, то каждый из них равен 90° и

2) Теперь докажем, что АВ — единственная прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой . Пусть прямая AD также перпендикулярна прямой . Тогда (рис. 92,6). Совместим полуплоскости еще раз. Угол 3 совпадет с углом 4, значит Тогда — развернутый, и через точки А и В будут проходить две прямые: ранее проведенная прямая и прямая, проходящая через точки A, D и В. А это невозможно по аксиоме прямой. Следовательно, прямая AD не перпендикулярна прямой . Теорема доказана.

Из двух последних теорем следует, что на плоскости через любую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.

Теорема (о двух прямых, перпендикулярных третьей). На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Дано: (рис. 93).

Доказать:

Доказательство:

Если предположить, что прямые и пересекаются в некоторой точке М, то окажется, что через точку М проходят две прямые и , перпендикулярные третьей прямой , а это невозможно. Значит, прямые и лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть параллельны между собой. Теорема доказана.

Теорема, обратная данной

Формулировка теоремы, как правило, состоит из двух частей: того, что дано, и того, что нужно доказать. Первая часть называется условием теоремы, вторая — заключением. Часто теорему формулируют в форме: «Если . (условие теоремы), то . (заключение теоремы)». Например, теорему о свойстве смежных углов можно сформулировать так: «Если углы смежные, то сумма этих двух углов равна 180°». «Углы смежные» — это условие теоремы, «сумма этих двух углов равна 180°» — заключение.

Если поменять условие и заключение теоремы местами, то получим утверждение, обратное данному. Для указанной выше теоремы получаем: «Если сумма двух углов равна 180°, то эти углы смежные». Но это утверждение неверно, поскольку можно привести пример двух углов, например, равных 60° и 120°, сумма которых 180°, но которые не являются смежными. Значит, приведенное утверждение не является теоремой.

Если же верно и обратное утверждение, то оно называется теоремой, обратной данной. Например, известна теорема: «Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3» — и ей обратная: «Если число делится на 3, то и сумма цифр числа делится на 3».

Иногда прямую и обратную теоремы объединяют, употребляя при этом выражение «тогда и только тогда». Объединим вышеуказанные теоремы: «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».

Геометрия 3D

Пусть в пространстве прямая пересекает плоскость в точке В (рис. 98). Если прямая перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку В, то она называется прямой, перпендикулярной плоскости. Пишут Отрезок АВ называется перпендикуляром к плоскости .

Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости , достаточно, чтобы она была перпендикулярна каким-то двум прямым плоскости, проходящим через точку В. Например, прямым и .

• Признаки равенства треугольников
• Признаки равенства прямоугольных треугольников
• Соотношения в прямоугольном треугольнике
• Сумма углов треугольника
• Расстояние между параллельными прямыми
• Задачи на построение циркулем и линейкой
• Задачи на построение по геометрии
• Угол — определение, виды, как обозначают с примерами

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

6 класс, 43 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

6 класс. Математика. Перпендикулярные прямые. Построение. Тупоугольный треугольник.Скачать

Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр. Теорема о перпендикулярной прямой проходящей через точку.Скачать

КАК ПОСТРОИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Задача, которую боятсяСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

6 класс. Математика. Перпендикулярные прямые. Построение. Остроугольный треугольник.Скачать

Доказательство соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых (видео 68)| ПодобиеСкачать

6 класс. Математика. Перпендикулярные прямые. Построение. Прямоугольный треугольник.Скачать

Теорема о трех перпендикулярах. Признак перпендикулярности плоскостей | Математика | TutorOnlineСкачать