Перпендикулярные диаметры в окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Перпендикулярные диаметры в окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Перпендикулярные диаметры в окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Перпендикулярные диаметры в окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Перпендикулярные диаметры в окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Перпендикулярные диаметры в окружностиТеорема о бабочке

Перпендикулярные диаметры в окружности

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПерпендикулярные диаметры в окружности
КругПерпендикулярные диаметры в окружности
РадиусПерпендикулярные диаметры в окружности
ХордаПерпендикулярные диаметры в окружности
ДиаметрПерпендикулярные диаметры в окружности
КасательнаяПерпендикулярные диаметры в окружности
СекущаяПерпендикулярные диаметры в окружности
Окружность
Перпендикулярные диаметры в окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПерпендикулярные диаметры в окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПерпендикулярные диаметры в окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПерпендикулярные диаметры в окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПерпендикулярные диаметры в окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПерпендикулярные диаметры в окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПерпендикулярные диаметры в окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПерпендикулярные диаметры в окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПерпендикулярные диаметры в окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПерпендикулярные диаметры в окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПерпендикулярные диаметры в окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПерпендикулярные диаметры в окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Перпендикулярные диаметры в окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПерпендикулярные диаметры в окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПерпендикулярные диаметры в окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПерпендикулярные диаметры в окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПерпендикулярные диаметры в окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПерпендикулярные диаметры в окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПерпендикулярные диаметры в окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Перпендикулярные диаметры в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПерпендикулярные диаметры в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПерпендикулярные диаметры в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПерпендикулярные диаметры в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПерпендикулярные диаметры в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Перпендикулярные диаметры в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Пересекающиеся хорды
Перпендикулярные диаметры в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Перпендикулярные диаметры в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Перпендикулярные диаметры в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Перпендикулярные диаметры в окружности
Пересекающиеся хорды
Перпендикулярные диаметры в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Перпендикулярные диаметры в окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Тогда справедливо равенство

Перпендикулярные диаметры в окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Перпендикулярные диаметры в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Перпендикулярные диаметры в окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Перпендикулярные диаметры в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Перпендикулярные диаметры в окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Перпендикулярные диаметры в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Перпендикулярные диаметры в окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.Скачать

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам

Пусть АВ – хорда окружности, CD – перпендикулярный ей диаметр, пересекающий АВ в точке М. Треугольник ОАВ – равнобедренный, АО = ОВ как радиусы окружности. Тогда его высота ОМ является также и медианой, М – середина АВ.

Перпендикулярные диаметры в окружности

1. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке М, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть АА1 также диаметр окружности. Докажите, что углы DNM и BA1D1 равны.

б) Найдите углы четырёхугольника ABCD, если угол CDB вдвое меньше угла ADB.

Перпендикулярные диаметры в окружности

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, поэтому N – середина АВ, М – середина АD.

Рассмотрим – средняя линия Значит, (накрест лежащие) – вписанные, опираются на одну дугу.

б) Найдем углы четырехугольника ABCD, если

Пусть тогда Треугольник – равнобедренный, поскольку медиана DN является его высотой. Значит, Тогда (из треугольника ).

– как центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Рассмотрим В этом треугольнике:

Тогда – по свойству четырехугольника, вписанного в окружность.

Видео:Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осяхСкачать

Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осях

Хорда перепендикулярна диаметру

Если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через её середину.

Перпендикулярные диаметры в окружностиДано : окружность (O;R), AB — диаметр,

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружности

Перпендикулярные диаметры в окружностиСоединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности.

Рассмотрим прямоугольные треугольники COP и DOP.

1) OP — общий катет.

2) CO=DO (как радиусы).

Следовательно, треугольники COP и DOP равны (по катету и гипотенузе).

Что и требовалось доказать .

Так как CO=DO (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD, а OP — его высота, проведённая к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его медианой.

Таким образом, если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он проходит через её середину.

📺 Видео

№796. Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС1 и DD1 к касательнойСкачать

№796. Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС1 и DD1 к касательной

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

Свойство диаметра окружности. 7 класс.

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хордыСкачать

Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хорды

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Геометрия Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его на отрезки длиной 8 см и 18 см.Скачать

Геометрия Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его на отрезки длиной 8 см и 18 см.

Математика. Перпендикулярные хордыСкачать

Математика. Перпендикулярные хорды

Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Урок 342. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры ЛиссажуСкачать

Урок 342. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

№645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательнойСкачать

№645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной
Поделиться или сохранить к себе: