В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
- Определение медианы
- Свойства медианы равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
- Примеры задач
- Медиана — это золотое сечение треугольника
- Медиана — это.
- Пересечение медиан треугольника
- Медиана равностороннего треугольника
- Медиана прямоугольного треугольника
- Вместо заключения
- Комментарии и отзывы (1)
- Медиана равностороннего треугольника
- 🌟 Видео
Видео:Задача от подписчика. Проекция медианы на медиану в равностороннем треугольнике.Скачать
Определение медианы
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).
Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать
Свойства медианы равностороннего треугольника
Свойство 1
Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.
- BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
Свойство 2
Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.
Свойство 3
Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.
Свойство 4
Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S1 = S2.
Свойство 5
Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6.
Свойство 6
Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.
- r – радиус вписанной окружности;
- R – радиус описанной окружности;
- R = 2r (следует из Свойства 3).
Свойство 7
Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
a – сторона треугольника.
Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать
Примеры задач
Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.
Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:
Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.
- BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
- FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).
Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.
BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Медиана — это золотое сечение треугольника
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.
У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.
И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.
Видео:Задача найти площади треугольников при пересечении медианСкачать
Медиана — это.
Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.
Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.
Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.
Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.
Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:
Есть в треугольнике обычном
Отрезок очень непростой
Соединяет он обычно с серединой стороны любой
И каждый должен знать отлично,
Зовется медианой он.
Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.
И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!
И выглядят они вот так.
На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.
Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Пересечение медиан треугольника
Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.
Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.
Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.
Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:
- Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
- Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
- Отрезок МО вдвое больше, чем КО.
Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.
Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать
Медиана равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.
Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.
Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.
И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.
Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.
Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Медиана прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.
Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.
Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.
Видео:Свойства биссектрисы треугольникаСкачать
Вместо заключения
А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.
Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.
Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».
И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.
Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (1)
Теперь остаётся подумать над тем, как применить это знание о медиане на практике. Если придумаю, вдруг Нобелевскую премию дадут?
Видео:✓ Обратная функция | матан #024 | Борис ТрушинСкачать
Медиана равностороннего треугольника
Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?
(свойство медианы равностороннего треугольника)
В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его биссектрисой и высотой.
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
Проведём медиану BF.
Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.
Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;
так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.
Что и требовалось доказать .
(свойство медиан равностороннего треугольника)
Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,
AK, BF, CD — его медианы.
Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
Что и требовалось доказать .
Из 1 и 2 теоремы следует, что все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.
1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.
Так как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.
Обозначим AB=a, BF=m, тогда AF=a/2.
Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:
2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.
Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.
Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а медианы равностороннего треугольника являются также его биссектрисами, в равностороннем треугольнике ABC OF — радиус вписанной, BO — радиус описанной окружностей:
Так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то BO:OF=2:1. Таким образом,
Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна
🌟 Видео
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
№109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AMСкачать
Точка пересечения медиан.Скачать
Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
10 класс, 22 урок, Двугранный уголСкачать
№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать
Теорема о трёх медианахСкачать
Свойства равностороннего треугольникаСкачать