М множество окружностей на плоскости r отношение окружность х лежит (5 видео)

Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания (ТОНКМ)
материал на тему

Данный материал предназначен для промежуточного контроля знаний по теме: Отношения и соответствия.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Свойства отношений на множестве
Практические задания к некоторым главам теории множеств
📺 Видео

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
otnosheniya_i_sootvetstviya.docx	17.3 КБ

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Предварительный просмотр:

Отношения и соответствия

Пусть А, В и С – множества натуральных чисел, причем

Какие числа принадлежат каждому из множеств А, В и С?

Можно ли развить множество

Х= ⎨ 7-3; 2 2 ; 5*2; 60:6; 1+3; 0*10; 4:(10-10) ⎬ на классы при помощи отношения «иметь равные значения»?

Установите, какие отношения рассматриваются в следующих задачах, и обоснуйте сходство способов их решения:

Пионеры сделали к карнавалу 15 шапочек для мальчиков, а для девочек в 2 раза больше. Сколько всего карнавальных шапочек они сделали?
Ученики вырезали для елки 26 звездочек, это в 2 раза меньше, чем снежинок. Сколько всего звездочек и снежинок вырезали ученики?

Можно ли упорядочить множество прямых на плоскости при помощи отношений:

«прямая х пересекает прямую у»;
«прямая х перпендикулярна прямой у»?

На множестве А отрезков заданы отношения «равно» и «короче». Постройте графы и сформируйте свойства данных отношений. Какое из этих отношений не обладает свойством рефлексивности?

Отношение Т-«иметь одно и то же число делителей» задано на множестве ⎨ 1,2,4,6,7,8,10,11 ⎬ . Покажите, что Т – отношение эквивалентности, и замените все классы эквивалентности.

На множестве Х= ⎨ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ⎬ задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Покажите, что данное отношение есть отношение эквивалентности, и запишите все классы эквивалентности, на которые разбивается множество Х. Сколько таких классов получилось?

На множестве М прямоугольников задано отношение равновеликости. Покажите, что оно является отношением эквивалентности, и назовите классы, на которые разобьется множество М при помощи этого отношения.

Упорядочивает ли множество натуральных чисел отношение «следовать за»? А отношение «непосредственно следовать за»?

М – множество окружностей на плоскости, R- отношение «окружность х лежит внутри окружности у». Упорядочивает ли данное отношение множество М?

На множестве Х= ⎨ 1,2,4,8,12 ⎬ задано отношение «х кратно у». Постройте граф и сформируйте свойства данного отношения.

Даны два множества: А= ⎨ m,t,o,r ⎬ , В= ⎨ o,r,k,l ⎬

Найдите объединение и пересечение этих множеств.
Найдите число элементов объединения двумя способами:

Сосчитайте число элементов объединения;
Воспользуйтесь формулой n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-(A ∩ B)

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Практическая работа по МДК «Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания»

Практическая работа по МДК «Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания» имеет цель: формирование профессиональных компетенций студентов Задание: заполнить алг.

Использование индивидуальных и групповых форм работы при изучении МДК 01.04 «Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания» (специальность 44.02.02 Преподавание в начальных классах)

Технологии группового обучения при организации учебного процесса в ССУЗе.

Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания (ТОНКМ)

Данный список вопросов предназначен для проведения промежуточного контроля по предмету.Тема: Математические предложеня. Высказывания.

Экзаменационный материал по МДк Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

Представлен экзаменационный материал комплексного экзамена по ПМ 01. Преподавание по программам начального общего образования МДК 01.04 Теоретические основы начального курса математик с методикой преп.

Материал дистанционного курса «Теоретические основы начального курса математики с метоикой преподавания»

Представлен материал дистанционного курса.

Методические указания по выполнению практических занятий студентов в процессе изучения МДК 01.04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

Методические указания разработаны в соответствии с рабочей программой МДК 01.04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания ПМ.01 Преподавание по программам начального об.

Тестовые задания МДК.01.04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

Тестовые задания для итогового контроля поМДК.01.04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания ПМ.01 Преподавание по программам начального общего образования.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Свойства отношений на множестве

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.

Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.

Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.

Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.

Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх: .

Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .

Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y, граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).

Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.

Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.

Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.

Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х), отношение «больше на» и др.

Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRzxRz.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z, содержит стрелку, идущую от х к z.

Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b, отрезок b длиннее отрезка с, то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)(а=с).

Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку с, то отрезки а и с не перпендикулярны!

Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: xy xRy или yRx.

Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y, что ни число х не является делителем числа y, ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11, 3 и 10 и т.д.).

Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х= задано отношение «число х кратно числу y». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.

Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: <; ; >, <; >, <>. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества на классы.

Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х= <;; ; ; ; > соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности <; ; >, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу. На множестве Х=<3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10> задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9). Во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности.

Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».

Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х Просмотров 154 961 Комментариев 0

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Практические задания к некоторым главам теории множеств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К НЕКОТОРЫМ ГЛАВАМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ»

1. Записать путем перечисления элементов:

а) множество простых чисел первого десятка;

б) множество букв в слове «грамматика»;

в) множество цифр в числе 222222222;

г) множество правильных несократимых дробей со знаменателем 9;

д) множество несократимых дробей с однозначным знаменателем, заключенных между числами 0 и ½;

е) множество десятичных дробей, при записи которых используется цифра 2 три раза, а цифра 5 один раз.

2. Пусть М – множество букв в слове «платок». Является ли подмножеством множества М множество букв в словах: толпа, каток, парта, потолок?

3. Дано множество К = . Составить подмножества множества К из чисел, у которых:

а) цифры десятков четные;

б) цифры десятков являются нечетными;

в) сумма цифр числа равны 7;

г) сумма цифр числа отлична от 7.

4. Какие элементы входят в пересечение и объединение множеств букв в словах:

а) «математика» и «грамматика»;

б) «насос» и «сосна»;

в) «логово» и «голова»;

5. В классе 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Четыре человека имеют «тройки» только по русскому языку, 4 – только по математике и 11 человек – только по физике. Семь человек имеют «тройки» по математике и физике. Сколько человек учатся без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов? (Решить с помощью кругов Эйлера)

6. Выясните, является ли конечным или бесконечным множество К, и укажите, если возможно, его наименьший и наибольший элементы, зная что:

а) К — множество трехзначных четных чисел;

б) К – множество простых чисел, меньших 30;

в) К – множество натуральных делителей числа 505;

г) К – множество корней уравнения

(х – 2) (х + 11) (х – 12) (х + 13) (х – 14) = 0;

д) К – множество целых чисел, удовлетворяющих условию -4,5 x

е) К – множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству | x |

ж) К – множество решений неравенства x > 15;

з) К – множество решений неравенства x

и) К – множество трехзначных чисел, кратных 3;

к) К – множество четырехзначных чисел, кратных 5;

л) К – множество составных чисел, меньших 30;

м) К – множество двузначных чисел, кратных 3.

7. Найдите n ( A ), если:

б) А – множество натуральных делителей числа 28;

в) А – множество трехзначных чисел;

г) А – множество букв в слове «кошка».

8. С – множество цифр в числе 2347. Является ли множество цифр в числе х подмножеством множества С, если:

х = 32; х = 47; х = 43443; х = 27433; х = 43572?

9. А – множество двузначных чисел. Составьте подмножество множества А, в котором каждый элемент – число:

а) оканчивающееся цифрой 9;

б) записанное одинаковыми цифрами.

10. Записать пересечение, объединение, разность множеств X и Y и изобразить кругами Эйлера:

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕКАРТОВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ»

1. Какую фигуру образуют на координатной плоскости точки, изображающие пары чисел (-1; 0), (-1; 4), (3; 0), (3; 4)?

2. Отметьте штриховкой множество точек координатной плоскости, абсциссы которых отрицательны, а ординаты положительны.

3. Какую фигуру образуют точки, если их абсциссы принадлежат множеству [-2; 2], а ординаты — множеству [-3; 3]?

4. Изобразите декартово произведение в прямоугольной системе координат, если А = , а B = . Принадлежат ли построенной фигуре точки (2; 3), (3; 0)?

5. Изобразить в прямоугольной системе координат множество А × В, если

2) A = [-2; 2], B = [2; 4];

6. Покажите графически, что декартово умножение множеств А = B = не обладает переместительным свойством.

7. Составить декартово произведение множеств M , P и K , если

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ МНОЖЕСТВА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЙ»

1.Приведите примеры отношений, существующих между:

а) натуральными числами;

б) прямыми на плоскости;

2. Из элементов множества X = образуйте всевозможные пары чисел так, чтобы компоненты пары ( х; у ) были связаны отношением:

Постройте графы данных отношений.

3.Какое из следующих множеств является отношением между элементами множества A = :

4.На множестве Х = заданы отношения P , Q , S . Составить отношения и постройте их графы, если:

P – отношение «меньше»;

Q – отношение «меньше в два раза»;

S – отношение «меньше на 2».

5.Множество М членов семьи Волковых состоит из отца Михаила Петровича, матери Веры Ивановны и детей: Толи, Кати, Пети и Оли. Между членами семьи существуют различные отношения родства. Постройте графы отношений: 1) «быть дочерью; 2) «быть братом; 3) «быть матерью».

6.Задайте различными способами какое-либо отношение между элементами множества А = .

7. Запишите в виде равенства предложения:

1) число х больше числа у на 5;

2) число х меньше числа у на 7;

3) число х больше числа у в 5 раз;

4) число х меньше числа у в 5 раз.

8.Задайте в виде неравенства с двумя переменными отношения:

1) «меньше»; 2) «меньше или равно».

9.Постройте граф отношения «больше или равно», заданного на множестве . Как задать это отношение при помощи неравенства с двумя переменными?

4. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ»

1. На множестве Х = задано отношение « х кратно у ». Постройте его граф и сформулируйте свойства данного отношения.

2. Чем отличается граф отношения « х –делитель у », заданный на множестве Х (см. упр. 1), от графа отношения « х кратно у »? Есть ли отличия в свойствах этих отношений?

3. Обладает ли свойством рефлексивности отношение «кратно», заданное на множестве В = ?

4. На множестве Х = заданы отношения «больше» и «больше или равно». Постройте графы и сформулируйте свойства данных отношений. Какое из них обладает свойством рефлексивности и почему?

5. Каковы свойства отношений «больше в 2 раза» и «больше на 2», заданных на множестве Y = ? В чем сходство графов данных отношений?

6. Построили граф отношения R , и оказалось, что он имеет стрелку, идущую от элемента a к элементу b и от элемента b к элементу c , а стрелки, идущей от a к c , нет. Может ли отношение быть транзитивным? Почему?

7. Х – множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: 1) « х параллельна у »; 2) « х перпендикулярна у »; 3) « х пересекает у »?

8. На множестве Х = задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Сколько классов эквивалентности определит данное отношение? Запишите эти классы, назовите по одному представителю каждого класса.

9. Объясните, почему отношение равенства отрезков является отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.

10. На множестве Х = задано отношение Р – «иметь в записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением эквивалентности?

11. Отношение Т – «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве . Покажите, что Т – отношение эквивалентности, запишите все классы эквивалентности.

12. На множестве целых чисел от 0 до 999 задано отношение Р – «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что Р – отношение эквивалентности. На сколько классов оно разбивает данное множество чисел? Назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса разбиения.

13. Сколько классов эквивалентности определяет на множестве натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же цифрой»? Назовите по одному представителю каждого класса.

14. Х – множество отрезков. Какие из следующих отношений являются отношениями порядка на этом множестве: 1) « х равно у »; 2) « х длиннее у »; 3) « х короче у на 2см»; 4) « х длиннее у в 3 раза». Упорядочивает ли множество Х отношение «меньше или равно»? Постройте граф этого отношения.

15. Упорядочивает ли множество натуральных чисел отношение «следовать за»? А отношение «непосредственно следовать за»?

16. М – множество окружностей на плоскости, R – отношение «окружность х лежит внутри окружности у ». Упорядочивает ли данное отношение множество М?

5. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «СООТВЕТСТВИЯ. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ»

1. Даны множества: М = и N – множество натуральных чисел. Соответствие R между элементами этих множеств – «квадрат числа m равен числу n », причем m принадлежит множеству M , n — элемент множества N .

Соответствие «меньше» задано между элементами множеств А= и B = . Постройте график этого соответствия. Каким будет график соответствия «меньше на 1» между элементами тех же множеств?

Даны множества X = и Y = . Перечислите все элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: 1) «больше»; 2) «меньше»; 3) «больше или равно»?

4. Множество Р = представляет собой соответствие между элементами множеств X = и Y = . Задайте соответствие Р -1 , обратное соответствию Р, и постройте в одной системе координат графики соответствий Р и Р -1 .

5. На множестве Х = задано отношение Т – «число х меньше числа у на 2». Задайте отношение Т -1 и постройте его график на координатной плоскости.

6. Даны множества Х = и Y = . Установите три различных взаимно однозначных соответствия между данными множествами. Сколько всего таких соответствий можно установить между множествами Х и Y ?

7. Даны два множества А = и B = . Найдите множества А В и В А. Можно ли каким-либо образом установить взаимно однозначное соответствие между ними?

8. N — множество натуральных чисел, Y – множество квадратов натуральных чисел. Покажите, что между множествами N и Y можно установить взаимно однозначное соответствие.