Переносное ускорение при движении по окружности

Сложное движение точки. Теорема Кориолиса

Переносное ускорение при движении по окружности

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где – кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи”.

Содержание
  1. Сложное (составное) движение точки
  2. Относительная скорость и ускорение
  3. Переносная скорость и ускорение
  4. Абсолютная скорость и ускорение
  5. Теорема о сложении скоростей
  6. Доказательство
  7. Теорема Кориолиса о сложении ускорений
  8. Доказательство
  9. Абсолютное, относительное и переносное ускорения (теорема о сложении ускорений)
  10. Сложное движение точки в теоретической механике
  11. Сложение скоростей
  12. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
  13. Ускорение Кориолиса
  14. Пример №1
  15. Пример №2
  16. Составное (сложное) движение. Относительное и переносное движения
  17. Абсолютное движение
  18. Относительное движение
  19. Переносное движение
  20. Составное движение
  21. Несколько сложнее третий пример (движение Земли)
  22. Теоремы параллелограмма скоростей и параллелограмма ускорений
  23. Относительные скорость и ускорение
  24. Переносные скорость и ускорение
  25. Параллелограмм скоростей
  26. Пример №3
  27. Пример №4
  28. Пример №5
  29. Параллелограмм ускорений
  30. Пример №6
  31. Теорема сложения ускорений точки при переносном вращательном движении (теорема Кориолиса)
  32. Величина ускорения Кориолиса
  33. При каком движении бывает ускорение Кориолиса
  34. Физическая причина ускорения Кориолиса
  35. Направление ускорения Кориолиса
  36. Пример №7
  37. Пример №8
  38. Задача №1
  39. Задача №2
  40. Сложное движение точки и тела
  41. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой
  42. Задача №3
  43. Задача №4
  44. Задача №5
  45. Задача №6
  46. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу
  47. Задача №7
  48. Задача №8
  49. Задача №9
  50. Задача №10
  51. Задача №11
  52. Сложное движение точки в плоскости
  53. Задача №12
  54. Сложное движение точки в пространстве
  55. Задача №13
  56. Движение точки по звену механизма
  57. Задача №14
  58. Механизм с муфтой
  59. Задача №15
  60. 📽️ Видео

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Физика - движение по окружности

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат. Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы. Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным.

Сложное или составное движение точки – это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится.

Переносное движение точки при сложном движении – это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела.

Абсолютное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Переносное ускорение при движении по окружности

Пусть Oxyz – неподвижная система координат, On xo yo zo – подвижная система координат, жестко связанная с телом. Пусть – единичные векторы (орты), направленные вдоль осей xo , yo , zo подвижной системы координат. Тогда радиус-вектор точки M в неподвижной системе определяется по формуле:
(1) ,
где – радиус-вектор точки On – начала подвижной системы координат, связанной с телом.

Относительная скорость и ускорение

При относительном движении изменяются координаты xo , yo , zo точки относительно тела. А векторы являются постоянными, не зависящими от времени. Дифференцируя (1) по времени, считая постоянными, получаем формулы для относительной скорости и ускорения:
(2) ;
(3) .

Относительная скорость точки при сложном движении – это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела.

Относительное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

При переносном движении изменяются векторы , определяющие положение тела. Относительные координаты точки xo , yo , zo являются постоянными. Дифференцируя (1) по времени, считая xo , yo , zo постоянными, получаем формулы для переносной скорости и ускорения:
(4) ;
(5) .

Переносная скорость точки при сложном движении – это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела.

Переносное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Производные по времени от – это скорость и ускорение начала подвижной системы координат On : ; .

Найдем формулы для производных по времени от векторов . Для этого возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Их скорости связаны соотношением:

(см. страницу “Скорость и ускорение точек твердого тела”). Рассмотрим вектор , проведенный из точки A в точку B . Тогда
.
Дифференцируем по времени и применяем предыдущую формулу:
.
Итак, мы нашли формулу для производной по времени от вектора, соединяющего две точки тела:
.
Поскольку векторы жестко связаны с телом, то их производные по времени определяются по этой формуле:
(6) , , .

Подставляем в (4):

.
Таким образом, выражение (4) приводит к формуле для скорости точек твердого тела.

Выполняя подобные преобразования над формулой (5), получим формулу для ускорения точек твердого тела:
,
где – угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

При абсолютном движении изменяются как векторы , определяющие положение тела, так и относительные координаты точки xo , yo , zo .

Абсолютная скорость точки при сложном движении – это скорость точки в неподвижной системе координат.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Видео:Ускорение при равномерном движении по окружностиСкачать

Ускорение при равномерном движении по окружности

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Доказательство

Дифференцируем (1) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (2) и (4).
(1) ;
(7)
.

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорение

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

Доказательство

Дифференцируем (7) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (3) и (5).
(7) .

.

В последнем члене применим (6) и (2).

.
Тогда
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-10-2015

Видео:Урок 47. Неравномерное движение по окружности. Тангенциальное ускорениеСкачать

Урок 47. Неравномерное движение по окружности. Тангенциальное ускорение

Абсолютное, относительное и переносное ускорения (теорема о сложении ускорений)

Введем следующие обозначения: аа, аг, ае — абсолютное, относительное и переносное ускорения точки М.

Под абсолютным понимается ускорение точки относительно неподвижной системы отсчета, под относительным — ускорение точки М относительно тела (среды), жестко связанного с подвижной системой отсчета, и под переносным — ускорение точки М тела относительно неподвижной системы отсчета.

Найдем связь между ускорениями аа, аг, ае, придерживаясь принятых выше обозначений. Из формулы (2.12) следует, что

Переносное ускорение при движении по окружности

Рассмотрим точку М тела с неизменными координатами х, у, z в равенстве (4.1). Выражение для ее ускорения можно записать так:

Переносное ускорение при движении по окружности

Найдем вторые производные по времени векторных функций (4.3): Переносное ускорение при движении по окружности

где 8 — угловое ускорение тела.

Подставим в формулу (4.6) векторы из последних трех равенств: Переносное ускорение при движении по окружностиили с учетом определения вектора г

Переносное ускорение при движении по окружности

где а0 — ускорение точки О тела относительно неподвижной системы отсчета (а0 = -^010 > ).

Вектор относительного ускорения в координатном виде опреде-

ляется проекциями на подвижные оси Ox, Оу, Or.

Переносное ускорение при движении по окружности

Приравняем вторые производные по времени левой и правой частей равенства (4.1): Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение ае — переносное, ускорение аг — относительное, а ускорение ак называется кориолисовым, или поворотным ускорением точки.

С учетом формул Эйлера в виде равенств (4.3) выражения для ак перепишем так: Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Сформулируем теорему Кориолиса о сложении ускорений в сложном движении точки: абсолютное аа ускорение точки равно векторной сумме переносного ае, относительного аг и кориолисова ак ускорений Переносное ускорение при движении по окружности

Запишем правила определения кориолисова ускорения:

1) величина ак кориолисова ускорения точки вычисляется по формуле Переносное ускорение при движении по окружности

где ф — угол между векторами со и vr;

Переносное ускорение при движении по окружности

  • 2) вектор ак кориолисова ускорения точки направлен перпендикулярно векторам со и vr, т.е. расположен в плоскости вращения тела, и при наблюдении с его конца кратчайший поворот от вектора со к вектору vr происходит против хода стрелки часов (рис. 4.4);
  • 3) для определения направления вектора кориолисова ускорения надо повернуть проекцию вектора относительной скорости точки М на плоскость вращения тела на 90° в направлении круговой стрелки, изображающей угловую скорость тела.

Напомним, что проекция вектора на плоскость есть вектор. В частности, если движение точки М происходит в плоскости вращения тела, то для определения направления кориолисова ускорения надо повернуть вектор относительной скорости точки на 90° в направлении круговой стрелки, изображающей угловую скорость тела (рис. 4.5).

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Из формулы (4.10) следует, что кориолисово ускорение точки равно нулю в тех случаях, когда:

  • 1) угловая скорость тела в переносном движении равна нулю (со = 0), в частности, когда переносное движение является поступательным;
  • 2) точка покоится в подвижной системе отсчета, т.е. vr = 0;
  • 3) вектор относительной скорости точки направлен параллельно оси вращения тела (рис. 4.6).

Пример 2. В охлаждающей системе двигателя автомобиля жидкость нагнетается радиальными лопатками крыльчатки центробежного насоса. Определить абсолютное ускорение частицы охлаждающей жидкости при сходе с лопатки радиуса 50 мм, совершающей 2000 об/мин, если в момент схода скорость и ускорение частицы относительно лопатки равны 2 м/с и 0 м/с 2 .

Решение. Свяжем с лопаткой подвижную систему координат Оху с началом на оси вращения крыльчатки (рис. 4.7).

Переносное ускорение при движении по окружности

Пусть частица М движется по оси Ох в плоскости вращения.

Переносным движением частицы является вращение лопатки вокруг неподвижной оси О. Переносной является скорость ve точки М лопатки на расстоянии R от оси вращения:

Переносным является нормальное или центростремительное ускорение ае точки М лопатки (угловое ускорение лопатки и касательное ускорение точки равны нулю):

Переносное ускорение при движении по окружности

Относительным движением частицы М является прямолинейное движение по лопатке со скоростью vr и нулевым относительным ускорением. Так как частица движется в плоскости вращения лопатки, то направление вектора ак ускорения Кориолиса указывает вектор vr относительной скорости, повернутый в этой плоскости на 90° по ходу вращения лопатки, а величина ускорения определяется по формуле (4.10), когда ф = 90°,

Переносное ускорение при движении по окружности

Найдем абсолютное ускорение аа частицы по теореме Кориолиса: Переносное ускорение при движении по окружности

Проецируя обе части последнего векторного равенства на подвижные оси Ох и Оу, получим Переносное ускорение при движении по окружности

Видео:КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ - Угловое Перемещение, Угловая Скорость, Центростремительное УскорениеСкачать

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ - Угловое Перемещение, Угловая Скорость, Центростремительное Ускорение

Сложное движение точки в теоретической механике

Содержание:

Абсолютная и относительная производные от вектора:

При рассмотрении сложного движения точки в общем случае переносного движения приходится рассматривать изменение векторных величин с течением времени по отношению к системам отсчета, движущимся друг относительно друга. Одно изменение имеет векторная величина относительно подвижной системы отсчета, движущейся относительно другой, неподвижной, и другое — относительно неподвижной системы отсчета. Неподвижной системой отсчета считается система, движение которой относительно других систем отсчета не рассматривается.

Введем обозначения производных от векторных величин при рассмотрении их изменения относительно различных систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Для любого вектора Переносное ускорение при движении по окружности

Установим зависимость между полной и относительной производными по времени вектора Переносное ускорение при движении по окружностии величинами, характеризующими движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Для этого разложим вектор Переносное ускорение при движении по окружностина составляющие, параллельные осям подвижной системы координат. Имеем

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Рис. 87

Изменение вектора Переносное ускорение при движении по окружностиотносительно неподвижной системы координат Переносное ускорение при движении по окружности. в зависимости от времени состоит из изменения его проекций Переносное ускорение при движении по окружностина подвижные оси координат и изменения единичных векторов Переносное ускорение при движении по окружностиподвижных осей вследствие движения подвижной системы координат относительно неподвижной. Вычислим полную производную по времени от вектора Переносное ускорение при движении по окружности, используя формулу (1). Получим

Переносное ускорение при движении по окружности

Первые три слагаемых учитывают изменение вектора Переносное ускорение при движении по окружностипри неизменных Переносное ускорение при движении по окружностии поэтому составляют относительную производную, т. е.

Переносное ускорение при движении по окружности

Производные по времени единичных векторов определим по формулам Пуассона

Переносное ускорение при движении по окружности

так как эти векторы не изменяются от поступательного движения со скоростью Переносное ускорение при движении по окружностивместе с подвижной системой отсчета (рис. 87). Вектор Переносное ускорение при движении по окружностиесть угловая скорость вращательной части движения вокруг точки Переносное ускорение при движении по окружностиподвижной системы координат относительно неподвижной. Подставляя эти значения производных единичных векторов в (2) и вынося Переносное ускорение при движении по окружностиза скобки, получим

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Получена формула зависимости производных векторов Переносное ускорение при движении по окружностив двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Формула (4) называется формулой Бура.

Известно, что произвольное движение системы координат как свободного твердого тела можно представить как поступательное движение вместе с полюсом, например с точкой Переносное ускорение при движении по окружности, и вращение вокруг этой точки. Из формулы Бура следует, что поступательная часть движения вместе с полюсом не влияет на зависимость между производными, а влияет только вращательная часть движения.

Рассмотрим частные случаи.

1. Если вектор Переносное ускорение при движении по окружностине изменяется относительно подвижной системы координат, то его относительная производная Переносное ускорение при движении по окружностии по формуле (4) получаем

Переносное ускорение при движении по окружности

Это формула для производной от вектора постоянного модуля, доказанная ранее для радиуса-вектора при вращении вокруг неподвижной оси. Она справедлива для любого вектора при произвольном движении подвижной системы осей координат. В рассматриваемом случае Переносное ускорение при движении по окружностине только угловая скорость вращения подвижной системы координат, но и угловая скорость вращения вектора Переносное ускорение при движении по окружности, так как вектор Переносное ускорение при движении по окружностиможно при этом считать скрепленным с подвижной системой координат.

2. Если вектор Переносное ускорение при движении по окружностине изменяется относительно основной системы координат, то полная производная Переносное ускорение при движении по окружностии, согласно (4), его относительная производная

Переносное ускорение при движении по окружности

3. Если Переносное ускорение при движении по окружности, т. е. вектор Переносное ускорение при движении по окружностивсе время параллелен вектору угловой скорости Переносное ускорение при движении по окружности, то Переносное ускорение при движении по окружностии

Переносное ускорение при движении по окружности

В частности, если Переносное ускорение при движении по окружности, то

Переносное ускорение при движении по окружности

Полная и локальная производные также равны друг другу в те моменты времени, в которые вектор Переносное ускорение при движении по окружностипараллелен вектору угловой скорости Переносное ускорение при движении по окружности.

Видео:Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать

Центростремительное ускорение. 9 класс.

Сложение скоростей

Если Переносное ускорение при движении по окружности—неподвижная система осей координат, а Переносное ускорение при движении по окружности— подвижная (рис. 88), то, как известно, абсолютным движением точки называют ее движение относительно неподвижной системы осей координат, а относительным — ее движение относительно подвижной. Переносным движением точки называют ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой осей относительно неподвижных. Относительные скорость и ускорение обозначают Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружности, переносные — Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружности, а абсолютные — Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружности. Другие характеристики этих движений снабжаются соответствующими значками.

Движение подвижной системы осей координат относительно неподвижной можно охарактеризовать скоростью ее поступательного движения Переносное ускорение при движении по окружности, например вместе с точкой Переносное ускорение при движении по окружностии вектором угловой скорости Переносное ускорение при движении по окружностиее вращения вокруг Переносное ускорение при движении по окружности. Пусть точка Переносное ускорение при движении по окружностидвижется относительно подвижной системы координат. Получим теорему сложения скоростей. Для этого проведем векторы Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружности, характеризующие положение точки Переносное ускорение при движении по окружностиотносительно неподвижной и подвижной систем осей координат, и вектор Переносное ускорение при движении по окружноститочки Переносное ускорение при движении по окружности. Для любого момента времени

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Рис. 88

Продифференцируем по времени это векторное тождество, учитывая изменения векторов относительно неподвижных осей координат, т. е. вычислим полные производные. Получим

Переносное ускорение при движении по окружности

По определению, Переносное ускорение при движении по окружностиявляется абсолютной скоростью точки Переносное ускорение при движении по окружности, Переносное ускорение при движении по окружности— абсолютной скоростью точки Переносное ускорение при движении по окружности. Для вычисления Переносное ускорение при движении по окружностиприменим формулу Бура. Имеем

Переносное ускорение при движении по окружности

Относительная производная Переносное ускорение при движении по окружностиявляется относительной скоростью точки Переносное ускорение при движении по окружностипо отношению к подвижной системе отсчета, а Переносное ускорение при движении по окружности— угловая скорость вращения подвижной системы отсчета и, следовательно, радиуса-вектора Переносное ускорение при движении по окружности, если бы он в рассматриваемый момент времени был скреплен с подвижной системой осей координат. Таким образом, из (5) получаем

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка Переносное ускорение при движении по окружностив движении тела относительно неподвижной системы осей координат. Это есть переносная скорость точки Переносное ускорение при движении по окружности. Из (6) получаем следующую теорему сложения скоростей для точки:

Переносное ускорение при движении по окружности

т. е. скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости (6). Имеем

Переносное ускорение при движении по окружности

Для полных производных от векторов Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружностиприменим формулу Бура. Получим

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

получим для абсолютного ускорения

Переносное ускорение при движении по окружности

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое Переносное ускорение при движении по окружности— ускорение точки Переносное ускорение при движении по окружности, Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружности— соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки Переносное ускорение при движении по окружности, если бы она двигалась только вместе с подвижной системой осей координат, не имея в рассматриваемый момент времени относительного движения. После этого (8) примет вид

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение Переносное ускорение при движении по окружностиназывается ускорением Кориолиса. Иногда его также называют добавочным (или поворотным) ускорением.

Формула (9) выражает теорему сложения ускорений точки, или кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений — переносного, относительного и Кориолиса.

Переносное ускорение рассматривалось при изучении движения свободного твердого тела. Относительное ускорение изучалось в кинематике точки. Его можно выразить в двух формах в зависимости от способа задания относительного движения. При координатном способе задания в декартовых координатах

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности— координаты движущейся_ точки относительно подвижной системы осей координат; Переносное ускорение при движении по окружности— единичные векторы этих осей. При естественном способе задания движения

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности— расстояние от начала отсчета до точки по траектории относительного движения; Переносное ускорение при движении по окружности— радиус кривизны этой траектории. В частном случае, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси, переносное ускорение

Переносное ускорение при движении по окружности

где касательное переносное ускорение

Переносное ускорение при движении по окружности

причем Переносное ускорение при движении по окружностиесть кратчайшее расстояние от движущейся точки до оси вращения. Нормальное переносное ускорение

Переносное ускорение при движении по окружности

Абсолютное ускорение в этом случае

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение Кориолиса

Рассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой (10)

Переносное ускорение при движении по окружности

Угловую скорость вращательной части движения подвижной системы отсчета, т. е. угловую скорость переносного движения, заменили на Переносное ускорение при движении по окружности.

Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений: переносного и относительного. Часть его Переносное ускорение при движении по окружностиполучается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть, тоже Переносное ускорение при движении по окружности, есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения. Это следует из анализа формул при выводе абсолютного ускорения.

Модуль ускорения Кориолиса в соответствии с (10) определяется выражением

Переносное ускорение при движении по окружности

Для определения ускорения Кориолиса очень удобно правило Н. Е. Жуковского. Оно основано на формуле (10). Пусть имеем точку Переносное ускорение при движении по окружности, движущуюся с относительной скоростью Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 89). Построим плоскость Переносное ускорение при движении по окружности, перпендикулярную угловой скорости переносного вращения и спроецируем Переносное ускорение при движении по окружностина эту плоскость. Проекцию обозначим Переносное ускорение при движении по окружности. Она является вектором; ее модуль

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение Кориолиса выразится в форме

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Рис. 89

Учитывая (10) и (12′), получаем правило Жуковского: модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости Переносное ускорение при движении по окружностиповернуть на Переносное ускорение при движении по окружностивокруг оси, параллельной оси переносного вращения, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса. Из (12) следует, что Переносное ускорение при движении по окружности, если:

  1. Переносное ускорение при движении по окружности, т. е. переносное движение является поступательным;
  2. Переносное ускорение при движении по окружности, т. е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;
  3. Переносное ускорение при движении по окружности, т. е. когда скорость относительного движения Переносное ускорение при движении по окружностипараллельна угловой скорости переносного вращения Переносное ускорение при движении по окружности.

Следует отметить, что при различном разложении одного и того же абсолютного движения точки на переносное и относительное получим разные ускорения Кориолиса.

Пример №1

Шар радиусом Переносное ускорение при движении по окружностивращается вокруг вертикальной оси Переносное ускорение при движении по окружностипо закону Переносное ускорение при движении по окружности. По меридиану шара движется точка Переносное ускорение при движении по окружностипо закону Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 90,а). Расстояние Переносное ускорение при движении по окружностиотсчитывается от точки Переносное ускорение при движении по окружностимеридиана.

Определить абсолютные скорость и ускорение точки Переносное ускорение при движении по окружностив момент времени Переносное ускорение при движении по окружности.

Решение. За переносное движение точки примем вращение ее вместе с шаром вокруг оси Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 90, б). Тогда относительным движением точки будет ее движение по меридиану шара.

Определим положение точки Переносное ускорение при движении по окружностина меридиане в момент времени Переносное ускорение при движении по окружности. Имеем Переносное ускорение при движении по окружности. Так как Переносное ускорение при движении по окружности, то положение точки определяется углом широты Переносное ускорение при движении по окружности.

Вычислим угловые скорость и ускорение переносного движения. Получаем Переносное ускорение при движении по окружности; при Переносное ускорение при движении по окружности. Угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружности. Знак минус у Переносное ускорение при движении по окружностипоказывает, что вращение шара происходит в отрицательную сторону угла Переносное ускорение при движении по окружности, т. е. по часовой стрелке.

Так как Переносное ускорение при движении по окружностии при Переносное ускорение при движении по окружности, то угловое ускорение переносного движения Переносное ускорение при движении по окружности. Знак минус у Переносное ускорение при движении по окружностиуказывает, что оно направлено по часовой стрелке, против положительного направления угла ф. Так как знаки у Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружностиодинаковы, то вращение шара в рассматриваемый момент времени является ускоренным.

Переносное ускорение при движении по окружности

Рис. 90

Абсолютную скорость точки определяем по формуле

Переносное ускорение при движении по окружности

Скорость переносного движения при Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Скорость относительного движения точки Переносное ускорение при движении по окружности, где Переносное ускорение при движении по окружности. При Переносное ускорение при движении по окружностиПереносное ускорение при движении по окружности. Следовательно, Переносное ускорение при движении по окружности. Знак плюс у Переносное ускорение при движении по окружностиуказывает, что Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено в сторону возрастания Переносное ускорение при движении по окружности.

В рассматриваемом случае Переносное ускорение при движении по окружностинаправлена по касательной к параллели шара и перпендикулярна Переносное ускорение при движении по окружности, которая направлена по касательной к меридиану. Следовательно,

Переносное ускорение при движении по окружности

Так как переносное движение является вращением шара вокруг неподвижной оси, то абсолютное ускорение точки определяем по формуле

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное нормальное ускорение

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено по кратчайшему расстоянию от точки до оси, т. е. по Переносное ускорение при движении по окружности. Переносное касательное ускорение Переносное ускорение при движении по окружностиперпендикулярно Переносное ускорение при движении по окружностии направлено в соответствии с направлением углового ускорения по скорости Переносное ускорение при движении по окружности. Числовое значение этого ускорения

Переносное ускорение при движении по окружности

Относительное нормальное ускорение

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено к центру кривизны траектории относительною движения, т. е. к центру шара Переносное ускорение при движении по окружности. Относительное касательное ускорение Переносное ускорение при движении по окружности, где Переносное ускорение при движении по окружности. Следовательно, Переносное ускорение при движении по окружности. Так как Переносное ускорение при движении по окружностиположительно, то Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено в сторону возрастающих значений Переносное ускорение при движении по окружностипо касательной к траектории относительного движения. Относительное движение оказалось ускоренным в рассматриваемый момент времени.

Ускорение Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Его модуль Переносное ускорение при движении по окружности, где Переносное ускорение при движении по окружности—проекция Переносное ускорение при движении по окружностина плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения Переносное ускорение при движении по окружности. Имеем

Переносное ускорение при движении по окружности

После этого находимПереносное ускорение при движении по окружности. Чтобы определить направление Переносное ускорение при движении по окружности, следует Переносное ускорение при движении по окружностиповернуть вокруг оси Переносное ускорение при движении по окружности, параллельной Переносное ускорение при движении по окружности, на Переносное ускорение при движении по окружностив сторону переносного вращения, т. е. в рассматриваемом случае по часовой стрелке. Получаем, что ускорение направлено по ускорению Переносное ускорение при движении по окружности.

Для определения абсолютного ускорения выбираем прямоугольные оси координат Переносное ускорение при движении по окружностии проецируем обе части векторного равенства (а) на эти оси, учитывая направление составляющих ускорений (рис. 90, б). Получаем:

Переносное ускорение при движении по окружности

Числовое значение абсолютного значения

Переносное ускорение при движении по окружности

Пример №2

Колечко Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 91), надетое на стержень, движется в плоскости Переносное ускорение при движении по окружностисогласно уравнениям

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности—в см; Переносное ускорение при движении по окружности— в с. Стержень может вращаться вокруг оси Переносное ускорение при движении по окружности.

Переносное ускорение при движении по окружности

Рис.91

Определить в момент Переносное ускорение при движении по окружностиугловую скорость и угловое ускорение стержня, а также скорость и ускорение движения колечка по стержню.

Решение. Положение колечка в момент времени Переносное ускорение при движении по окружностиопределяется координатами

Переносное ускорение при движении по окружности

Примем движение колечка вместе с вращающимся стержнем за переносное. Тогда его движение по стержню будет относительным движением.

Вычислим проекции на оси координат абсолютных скорости и ускорения колечка для произвольного момента времени. Имеем:

Переносное ускорение при движении по окружности

Для момента времени Переносное ускорение при движении по окружностиполучаем:

Переносное ускорение при движении по окружности

По проекциям изображаем векторы абсолютных скорости и ускорения в рассматриваемый момент времени (рис. 92). По теореме сложения скоростей для колечка,

Переносное ускорение при движении по окружности

Скорость переносного движения Переносное ускорение при движении по окружностиперпендикулярна стержню Переносное ускорение при движении по окружности, а скорость относительного движения Переносное ускорение при движении по окружностинаправлена по стержню. Разлагая абсолютную скорость Переносное ускорение при движении по окружностипо этим двум направлениям, получаем

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Угловая скорость вращения стержня определяется по формуле

Переносное ускорение при движении по окружности

В соответствии с направлением Переносное ускорение при движении по окружностиизображаем на рисунке дуговую стрелку для угловой скорости.

В частном случае переносного вращательного движения по теореме сложения ускорений для абсолютного ускорения имеем

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Рис. 92

Вычисляем отдельные составляющие абсолютного ускорения Переносное ускорение при движении по окружностии изображаем их на рис. 93. Для модуля нормального переносного ускорения Переносное ускорение при движении по окружностиполучаем

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено к оси переносного вращения, т. е. к точке Переносное ускорение при движении по окружности. Составляющая переносного ускорения Переносное ускорение при движении по окружностинаправлена перпендикулярно Переносное ускорение при движении по окружностиа» и по величине неизвестна. Предполагая, что дуговая стрелка для Переносное ускорение при движении по окружностинаправлена против часовой стрелки, изображаем на рисунке ускорения Переносное ускорение при движении по окружности.

Нормальная составляющая относительного ускорения Переносное ускорение при движении по окружности, так как относительное движение колечка по стержню является прямолинейным. Касательная составляющая относительного ускорения в этом случае равна полному относительному ускорению, т. е. Переносное ускорение при движении по окружности. Предположим, что Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено от точки Переносное ускорение при движении по окружностик Переносное ускорение при движении по окружности.

Ускорение Кориолиса Переносное ускорение при движении по окружностиопределяем по правилу Жуковского. Для его модуля имеем Переносное ускорение при движении по окружности, где Переносное ускорение при движении по окружности— проекция относительной скорости Переносное ускорение при движении по окружностина плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения Переносное ускорение при движении по окружности. В рассматриваемом случае Переносное ускорение при движении по окружности, поэтому Переносное ускорение при движении по окружности. Направление ускорения Переносное ускорение при движении по окружностиполучаем поворотом на Переносное ускорение при движении по окружностивектора Переносное ускорение при движении по окружностипо направлению дуговой стрелки Переносное ускорение при движении по окружностивокруг оси, проходящей через точку Переносное ускорение при движении по окружностипараллельно оси вращения стержня Переносное ускорение при движении по окружности.

Выбираем оси координат Переносное ускорение при движении по окружностии проецируем векторы, входящие в уравнение (а) на эти оси. Имеем:

  • для Переносное ускорение при движении по окружности
  • для Переносное ускорение при движении по окружности.

Из этих уравнений определяем неизвестные ускорения:

Переносное ускорение при движении по окружности

Ускорение Переносное ускорение при движении по окружностиполучилось отрицательным. Следовательно, предположение о направлении его оказалось неверным. В действительности Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено против ранее принятого направления. Ускорение Переносное ускорение при движении по окружностиоказалось положительным. Предположение о направлении дуговой стрелки для Переносное ускорение при движении по окружностиподтвердилось. Угловое ускорение стержня определяем по формуле

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Рис. 93

Видео:Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | Инфоурок

Составное (сложное) движение. Относительное и переносное движения

Абсолютным движением называют движение точки или системы точек по отношению к основной системе отсчета.

Абсолютное движение

Механическое движение выражается в изменении с течением времени взаимных положений тел (или частей тела). Такое изменение можно отметить только относительно других тел. Так, река течет вдоль берегов, биллиардный шар катится по биллиардному столу, пароход пересекает экватор. Реальные или условные тела (берега, биллиардный стол, экватор), по отношению к которым мы определяем положения других движущихся тел (воды, шара, парохода) и которые мы принимаем за системы отсчета, тоже не неподвижны. Так, системы отсчета, только что приведенные нами в виде примера, находятся на поверхности нашей планеты и вместе с ней вращаются вокруг земной оси, движутся вокруг Солнца и совершают множество других движений. Но и предметы, не связанные непосредственно с Землей, тоже не неподвижны—Солнце движется относительно звезд, которые движутся относительно друг друга.

Однако для целей механики далеко не всегда нужно иметь неподвижную систему отсчета. Так, например, если мы передвигаем какой-либо груз с носа корабля на корму, то нас может интересовать движение груза по палубе независимо от движения корабля. В подобных случаях в кинематике можно условно принять за неподвижную любую систему отсчета и назвать ее основной системой отсчета. Движение же точки (или системы точек) по отношению к основной системе отсчета называют абсолютным движением.

Относительным движением называют движение точки или системы точек по отношению к подвижной системе отсчета

Относительное движение

Встречаются случаи, когда приходится изучать движение (точки или тела) по отношению к системе отсчета, которая сама передвигается относительно другой системы, принятой за основную. При рассмотрении движения точки или тела по отношению к двум системам отсчета ту из этих систем, которая движется относительно основной системы отсчета, называют подвижной системой отсчета.

Так, например, перемещение корабля в море, измеренное при помощи лага, не учитывает снос корабля морским течением. Лагом измеряют движение корабля относительно воды. Можно представить себе подвижную систему координат, плывущую вместе с водой по течению, т. е. передвигающуюся относительно другой системы отсчета, принятой за основную. Движения корабля можно рассматривать по отношению к двум системам отсчета: по отношению к подвижной системе (связанной с водой) и к основной (связанной с материками, принимаемыми за неподвижные). Движение корабля по отношению к подвижной системе координат, измеряемое лагом, будем называть относительным движением корабля. Вообще относительным движением будем называть движение (точки, тела или системы точек) по отношению к подвижной системе отсчета. Относительное движение изучают обычно в тех случаях, когда приходится учитывать не только движение данного объекта по отношению к подвижной системе отсчета, но и движение самой системы отсчета.

Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета по отношению к основной системе отсчета

Переносное движение

Так, в данном примере, чтобы знать движение корабля относительно берегов, надо кроме движения корабля относительно воды знать также и движение самой воды, т. е. движение подвижной системы отсчета относительно основной. Движение подвижной системы отсчета по отношению к основной системе отсчета называют переносным движением.

Во многих задачах кинематики переносным бывает движение среды, в которой находится тот объект, движение которого нужно изучить. В только что рассмотренном примере течение воды действительно переносит корабль. Еще один пример: человек идет по поезду. Движение поезда является переносным движением для человека, а движение человека относительно вагонов является относительным. Поезд переносит (в буквальном смысле слова) человека. Но иногда переносное движение не является движением среды, которая увлекает с собой данный объект. Например, рассматривая движение Земли вокруг ее оси и вокруг Солнца, мы можем первое из этих движений считать относительным, а второе — переносным, хотя нет такой среды, которая вращалась бы вокруг Солнца, увлекая с собой и Землю.

Составным движением называют абсолютное движение точки или системы точек, составляемое из их относительного и переносного движений

Составное движение

В первых двух примерах движение объекта (корабля, человека) состоит из двух движений, которые мы назвали относительным и переносным. В третьем примере Земля совершает движение, которое мы искусственно разложили на относительное и переносное. Часто, чтобы упростить изучение какого-либо сложного движения, это движение искусственно раскладывают на более простые, называя одно из них относительный!, другое—переносным. Независимо от того, состоит ли движение в действительности из относительного и переносного или же мы искусственно, для упрощения расчетов, считаем его состоящим из двух движений, мы будем называть сложным или составным движением абсолютное движение точки или системы точек, состоящее (или составляемое) из относительного движения по отношению к подвижной системе отсчета и переносного движения вместе с подвижной системой отсчета.

Если в cocтавном движении мы мысленно прекратим одно из составляющих движений, то получим второе составляющее движение. При решении некоторых задач бывает удобно пользоваться таким приемом:

  1. чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное;
  2. чтобы определить переносное движение, мысленно остановим относительное.

Возвращаясь к первому из только что разобранных примеров, мысленно остановим морское течение; корабль будет двигаться относительно воды, но не будет относиться течением; останется только одно движение — относительное. Остановим теперь собственный ходкорабля, но предоставим воде продолжать свое течение, и корабль поплывет по течению; останется только одно движение корабля —переносное.

Также легко выделить относительное и переносное движения во втором примере. Остановим мысленно поезд, но предоставим человеку идги по вагону, и получим относительное движение человека; остановим мысленно человека в его движении по поезду, но не будем останавливать поезд, и найдем переносное движение человека.

Движение точки, тела или системы точек часто рассматривают как составное, мысленно раскладывая его на два или несколько движений более простых

Несколько сложнее третий пример (движение Земли)

Здесь нет движения среды, переносящей Землю, подобно морскому течению, переносящему корабль. Мы лишь мысленно приняли движение Земли за составное, искусственно разложили его на переносное и относительное, чтобы упростить его, чтобы более наглядно себе его представить и легче понять. Мы можем вообразить подвижную систему координат, связанную с Землей и движущуюся относительно основной системы, связанной с Солнцем и звездами, и считать, что движение Земли состоит из переносного и относительного. Поскольку движение земного шара (движение по отношению к основной системе) мы искусственно рас: сматриваем как составное, постольку от нас самих зависит, как разложить это движение на переносное и относительное. Мы можем считать, что подвижная система отсчета движется поступательно или вращательно. В зависимости от этого, конечно, изменится и относительное движение. Земля совершает Переносное ускорение при движении по окружностиоборота в год относительно поступательно движущихся осей (рис. 114, а) и на один оборот меньше относительно осей, вращающихся вокруг Солнца (рис. 114, б) и совершающих один оборот в год.

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 114

Такой искусственный метод разложения движения на относительное и переносное широко применяют в различных областях механики. Л. Пуансо в предисловии ко второму изданию своей книги «Элементы статики» (1824) писал даже о невозможности представить наглядно движение тел иначе, как в виде одновременного перемещения и вращения.

Очень часто движение раскладывают не на два, а на большее число составляющих движений. Напомним, что мы уже так поступали, изучая движение точки как составное из трех прямолинейных движений, параллельных осям координат.

Теоремы параллелограмма скоростей и параллелограмма ускорений

Относительными скоростью и ускорением точки называют ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе отсчета

Относительные скорость и ускорение

Пусть некоторая точка M (рис. 115) движется относительно системы координат.x’Ey’z’. Если бы эту систему координат мы считали неподвижной, то движение, скорость и ускорение точки по отношению к этим координатам мы называли бы абсолютными. Но пусть система координатных осей x’Ey’z’ по условиям задачи движется относительно основной системы отсчета xОyz. В таком случае скорость и ускорение точки M относительно системы координат x’Ey’z’ называют относительными.

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 115

  • относительной скоростью точки называют скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета1;
  • относительным ускорением точки называют ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета.

Мы будем обозначать относительную скорость буквой υ с индексом r (от латинского слова relativus—относительный). Относительное ускорение будем обозначать буквой а с тем же индексом r.

Для обозначения проекций относительных скорости и ускорения будем ставить рядом с индексом r второй индекс. Так, υrx есть проекция относительной скорости на ось Ox; arN—относительное нормальное ускорение.

Переносными скоростью и ускорением точки называют абсолютные скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка

Переносные скорость и ускорение

Чтобы определить переносное движение точки М, прекратим мысленно ее относительное движение, закрепив ее относительно координатных осей х’Еу’z’ в том положении, которое она занимает в данное мгновение. Таким образом, мы будем считать, что точка M неизменно скреплена с осями х’Еу’z’ , но оси продолжают двигаться относительно основной системы координат xOyz вместе с точкой М. Тогда скорость и ускорение точки M относительно основных осей координат явятся скоростью и ускорением точки M в ее переносном движении.

  • переносной скоростью точки M называют абсолютную скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М;
  • переносным ускорением точки M называют абсолютное ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М.

Мы будем обозначать переносную скорость точки буквой υ с индексом е (от французского слова entrainer—увлекать за собой), а переносное ускорение—буквой а с тем же индексом. Для обозначения проекций переносных скорости и ускорения на какую-либо ось будем ставить рядом с индексом е индекс, соответствующий оси.

Вектор абсолютной скорости равен сумме векторов относительной и переносной скоростей:
Переносное ускорение при движении по окружности

Параллелограмм скоростей

Ознакомившись с понятиями относительной и переносной скоростей точки, найдем зависимость между этими скоростями и абсолютной скоростью, т. е. скоростью точки по отношению к основной системе отсчета.

Пусть подвижная система координат x’Ey’z’ (рис. 116) движется поступательно. В таком случае оси Ex’, Ey’ и Ez’ будут оставаться параллельными своему начальному направлению. Для простоты выкладок пусть эти оси направлены параллельно осям основной системы координат. Тогда во все время движения будем иметь:
Ex’ ||Ox; Ey’||Oy; Ez’||Oz.

Рассмотрим сначала относительное движение точки M и для этого остановим мысленно движение подвижной системы отсчета.

Напишем уравнения движения точки M относительно подвижной системы отсчета:
x’ = x'(t). y’=y'(t), z’ = z'(t). (102)

Продифференцировав по времени и обозначая, как обычно, точкой производные по времени, найдем проекции относительной скорости на подвижные оси координат:

Так как оси подвижной системы координат параллельны соответствующим осям основной системы, то проекции относительной скорости на оси Ex’, Ey’ и Ez’ соответственно равны проекциям на параллельные им оси Ox, Oy и Oz основной системы отсчета:

Зная проекции относительной скорости, легко найдем по формулам (64) и (62) величину и направление полной относительной скорости.

Чтобы определить переносное движение, мысленно остановим движение точки относительно подвижной системы координат, но предоставим самой подвижной системе x’Ey’z’ продолжать движение.

Напишем по (77) уравнения переносного поступательного движения:

Продифференцировав равенства (77), получим проекции переносной скорости точки М, которые при поступательном движении системы равны проекциям скорости точки Е:

Величину и направление вектора полной переносной скорости точки M легко найти по формулам (64) и (62).

Для определения абсолютной скорости точки M найдем сначала ее координаты х, у и г. Применив формулу преобразования начала координатных осей при сохранении направления осей, получим

Точка M находится в составном движении, следовательно, х, у и г изменяются с течением времени, причем первые члены правых частей этих равенств изменяются согласно (102), а вторые—согласно (77). Продифференцировав по времени, получим проекции абсолютной скорости точки М:

Эти равенства показывают, что проекция абсолютной скорости на какую-либо ось равна сумме проекций относительной и переносной скоростей на ту же ось. Следовательно, вектор абсолютной скорости точки равен сумме векторов относительной скорости и переносной скорости той же точки:

Переносное ускорение при движении по окружности(103 )

Поэтому доказанную теорему называют теоремой параллелограмма скоростей.

Равенства (103) и (103′) выражают связь между тремя скоростями (абсолютной, относительной и переносной) одной и той же точки и позволяют определить любую из этих скоростей, если известны две другие,Они доказаны в предположении, что переносное движение поступательное, но справедливы при всяком переносном движении, как это будет показано в § 31.

Из равенств (103) непосредственно получаем:

  1. проекция относительной скорости точки на какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и переносной скоростей той же точки на ту же ось;
  2. проекция переносной скорости точки на какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и относительной скоростей той же точки на ту же ось.

Из векторного равенства (103) получаем

Переносное ускорение при движении по окружности

Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти относительную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее переносной скорости. Аналогично, чтобы найти переносную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее относительной скорости.

Пример №3

Вертикально падают дождевые капли со скоростью 2 м/сек. Пешеход идет справа налево со скоростью 1,5 м/сек. Найти скорость дождя по отношению к пешеходу (рис. 117, а).

Решение. В данной задаче за основную систему отсчета примем Землю. Подвижная система отсчета связана с пешеходом. Вертикальная скорость дождя является абсолютной скоростью (υ = 2 м/сек); переносной скоростью υe является скорость подвижной системы отсчета, т. е. скорость человека, направленная влево и равная 1,5 м/сек. Чтобы найти вектор относительной скорости, сложим вектор абсолютной скорости (рис. 117,6) с вектором, который по величине равен переносной скорости, а по направлению противоположен ей, т. е. направлен слева направо:

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор относительной скорости составляет с вертикалью угол а, тангенс которого равен
Переносное ускорение при движении по окружности

Пример №4

Корабль плывет на юг со скоростью 42,3 км/ч. Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 30 км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля, определяемую наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля. При вычислении принять Переносное ускорение при движении по окружности.
Решение. Задача аналогична предыдущей, но решать ее будем не в векторной, а в координатной форме, для чего перепишем (103) в следующем виде:

Построим основную систему координат, связанную с Землей, направив ось Ox на юг, а ось Оу— на восток, (рис. 118). Подвижную систему отсчета свяжем с первым кораблем, так как относительно первого корабля надо определить скорость второго. Проекции абсолютной скорости второго корабля на оси основной системы таковы:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносным движением мы называем движение подвижной системы отсчета по отношению к основной. Поэтому в данной задаче переносной скоростью является скорость первого корабля. Ее проекции следующие:

Переносное ускорение при движении по окружности

Подставляя эти значения в написанные выше уравнения, найдем проекции относительной скорости:

Переносное ускорение при движении по окружности

По проекциям находим модуль:

Переносное ускорение при движении по окружности

и направляющие косинусы относительной скорости:

Переносное ускорение при движении по окружности

Следовательно, относительная скорость второго корабля составляет углы по 45 о C положительным направлением оси Oy и с отрицательным направлением оси Ох, т. е. направлена на северо-восток.
Ответ, υr = 30 км/ч н направлена на северо-восток.

Пример №5

Ширина АВ реки (рис. 119,а) равна 900 м, и берега ее параллельны. Моторная лодка, выйдя из пункта В, держала курс перпендикулярно берегам и достигла противоположного берега через 5 мин, но не в пункте А, находящемся против В, а в пункте С, лежащем на 300 м ниже по течению. Во втором рейсе та же моторная лодка, выйдя из того же пункта В, взяла курс под углом О к BA (начальное направление на пункт D, лежащий на 300 м выше пункта А по течению) и сохраняла свое направление (угол δ), но подошла к правому берегу в пункте Е, лежащем ниже А.

Считая скорость лодки относительно воды постоянной и пренебрегая изменением течения воды у берегов, определить расстояние AE, скорость течения, скорость лодки относительно воды и скорости υ1 и υ2 лодки относительно беретов в обоих рейсах.

Решение. Возьмем начало основной системы координат в точке В, направив ось абсцисс перпендикулярно к берегу по BA, а ось ординат — вниз по течению реки (для решения задачи пользуемся формулами 103). Скорость лодки относительно этой системы является абсолютной. Подвижная система координат движется поступательно вместе с водой и скорость течения реки является переносной скоростью лодки.
Тогда, имея в виду, что АC = 300 м = DA, для первого рейса (рис. 119,6)

и для второго рейса (рис. 119, в)

В первом рейсе лодка держала курс перпендикулярно берегам и в относительном движении проплыла 900 я за 5 мин = 300 сек. Следовательно, υr=3 м/сек.

За то же время ее снесло течением на 300 м, а потому υe=l м/сек.
Подставляя эти значения в уравнения, составленные для первого рейса, и деля второе из этих уравнений на первое, найдем

Переносное ускорение при движении по окружностиоткуда Переносное ускорение при движении по окружности

Из тех же уравнений найдем скорость лодки относительно берегов (т. е. абсолютную скорость) в первом рейсе:

Переносное ускорение при движении по окружности

Величина относительной скорости лодки, определенная по ‘данным первого рейса, не изменится и во втором, так как по условию задачи скорость лодки относительно воды постоянна. Также не изменится и переносная скорость лодки — скорость течения реки. Подставляя найденные значения в уравнения, составленные для второго рейса, получим

Переносное ускорение при движении по окружности

Из этих уравнении найдем: υ2 = 2,85 м/сек и sin δ’ = 0,018.

Умножая АB = 900 м на tg δ’, найдем AE.

Если переносное движение поступательное, то вектор абсолютного ускорения точки равен сумме векторов ее относительного и переносного ускорений
Переносное ускорение при движении по окружности

Параллелограмм ускорений

В отличие от теоремы параллелограмма скоростей, применимой при всяком переносном движении, аналогичная теорема параллелограмма ускорений справедлива только в том случае, если переносное движение поступательное.

Пусть точка совершает составное движение, причем подвижная система отсчета x’Ey’z’ движется поступательно по отношению к основной системе хОуz. Пусть соответствующие оси обеих координатных систем параллельны друг другу, это упростит доказательство.

Проекции относительной скорости точки нами уже определены. Продифференцировав эти равенства по времени, найдем проекции относительного ускорения точки:

Величину и направление полного относительного ускорения можно определить по формулам (66) и (67).

Продифференцировав по времени равенства (78), найдем проекции ускорения точки в переносном поступательном движении:

Переносное ускорение при движении по окружности

Величину и направление полного переносного ускорения можно определить по формулам (66) и (67), применимым для всякого ускорения точки, независимо от того, является это ускорение абсолютным, относительным или переносным.

Чтобы определить проекции абсолютного ускорения точки (в рассматриваемом случае переносного поступательного движения), надо продифференцировать по времени равенства (103). Получим

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности(104)

Из этих равенств видно, что если переносное движение поступательное, то проекция абсолютного ускорения точки на ось состоит из суммы проекций на ту же ось относительного и переносного ускорений точки. Следовательно, вектор абсолютного ускорения точки в этом случае равен геометрической сумме двух векторов—относительного и переносного ускорений:
Переносное ускорение при движении по окружности(104′)

В этом заключается теорема параллелограмма ускорений.

Равенства (104) и (104′) выражают связь между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки в случае, если переносное движение поступательное, и позволяют определить какое-либо одно из этих ускорений по двум другим.

Если относительное и переносное движения заданы в естественной форме, то для определения ускорений приходится сначала определять их нормальную и касательную составляющие. Так, для определения относительного ускорения надо определить относительное касательное и относительное нормальное ускорения, а уж потом по формулам (75) и (76)—полное относительное ускорение. Аналогично для определения переносного ускорения определяют переносные касательное и нормальное ускорения, а затем полное переносное ускорение. Для получения полного абсолютного ускорения нужно взять геометрическую сумму полного относительного и полного переносного ускорений, которые составляют между собой, вообще говоря, угол, отличный от прямого.

Приводим схему разложения полного абсолютного ускорения точки для случая переносного поступательного движения. При решении задач на параллелограмм ускорений бывает полезно написать эту схему и заполнять ее справа налево:

Переносное ускорение при движении по окружности

Часто определяют абсолютное ускорение по его проекциям ах, ay, az на оси основной системы координат и, получив проекции результирующего вектора Переносное ускорение при движении по окружностикак алгебраические суммы проекций составляющих Переносное ускорение при движении по окружностии Переносное ускорение при движении по окружности, на те же оси:

Переносное ускорение при движении по окружности(106)

Эти равенства являются лишь некоторым видоизменением равенств (104).

Если переносное движение не поступательное, то абсолютное ускорение точки состоит из суммы трех векторов: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса. Доказательство теоремы Кориолиса дано в § 31.

Пример №6

Кривошипио-кулнсный механизм приводного молота (рис. 120, а) состоит из прямолинейной поступательно движущейся кулисы АВ, в прорези которой скользит звено C (камень), соединенный шарнирно с кривошипом ОС длины e, вращающимся с постоянной угловой скоростью ω. Найти скорость и ускорение кулисы как функции угла поворота кривошипа.

Решение. Будем рассматривать движение камня C как составное, состоящее из относительного движения по прорези кулисы и переносного движения вместе с кулисой. Для решения воспользуемся формулами (103) и (104). Примем неподвижный шарнир О за начало основной системы координат, направив ось Ox вправо и ось Oy вверх (рис. 120,6). Подвижную систему координат неизменно соединим с кулисой, взяв начало в точке E и направив ось Ex’ по прорези вправо, a Ey’- вверх. Движение подвижной системы координат, как и движение кулисы, поступательное. Ось Ex’ передвигается к неподвижной оси Ох, а ось Ey’ скользит по оси Оу.

Абсолютное движение камня есть круговое поступательное движение по отношению к основной системе координат. Для определения абсолютных скорости и ускорения обратим внимание на то, что точка C (шарнир) принадлежит не только камню, но и кривошипу, а потому абсолютная скорость точки C равна ωr. (см. рис. 120, б), а ее проекции:

Абсолютное ускорение точки C равно ω 2 r, а его проекции (рис. 120, в):

ах = — ω 2 r sin ωt и ay = ω 2 r cos ωt.

Эти равенства можно было бы получить, продифференцировав предыдущие.

Относительное движение камня — это возвратно-поступательное движение по прорези вправо и влево. Такое движение камня мы видели бы, если бы сами двигались вместе с кулисой, не замечая ее движения. Камень движется по горизонтальной оси Ex’, а потому

Проекции относительного ускорения:

Переносное движение камня (движение подвижной системы отсчета относительно основной) —возвратно-поступательное движение кулисы вверх и вниз. Поэтому проекции переносных скорости и ускорения на вертикальную ось Oy равны модулям скорости и ускорения со знаком «-(-» или «—», а на горизонтальную ось Ох—равны нулю. Имеем

Из трех движений камня нас интересует переносное движение (движение кулисы). Определив проекции переносной скорости

и подставив найденные значения, получим переносную скорость из уравнений

Таким образом, переносная скорость камня (скорость кулисы) определена.

Для определения переносного ускорения мы могли бы продифференцировать по времени выражение, полученное для переносной скорости (так как переносное движение прямолинейно-поступательное). Но мы применим более общий метод — определим из (104) проекции переносного ускорения:

подставим в эти уравнения найденные нами значения проекций переносного и абсолютного ускорений камня:

0 = — ω 2 r sin ωt-ar, ae = ω 2 r cos ωt.

Таким образом, переносное ускорение ае камня равно ω 2 r cos ωt. Оно же является ускорением кулисы.

Ответ. υ = ωr sιnωt; a = ω 2 r cos ωt.

Теорема сложения ускорений точки при переносном вращательном движении (теорема Кориолиса)

При составном движении точки в случае непоступательиого переносного движения возникает добавочное ускорение, называемое ускорением Кориолиса:
Переносное ускорение при движении по окружности

Величина ускорения Кориолиса

Теорема параллелограмма ускорений пригодна только в частном случае, если подвижная система отсчета движется поступательно. Если же переносное движение не поступательное, то у абсолютного ускорения появляется еще одна составляющая, называемая ускорением Кориолиса, или поворотным ускорением. Выведем формулы, позволяющие определить абсолютное ускорение при всяком составном движении точки.

Пусть точка M (рис. 121) движется относительно подвижной системы x’0y’z’ и это движение определяется какими-либо уравнениями

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 121

Пусть подвижная система отсчета вращается вокруг оси Oz основной системы согласно уравнению T==T (О-
Сохраним и в этом параграфе расположение осей координат (см. рис. 101, стр. 165), при котором оси Oz’ и Oz подвижной и неподвижной систем совпадают между собой и с осью вращения, а плоскость х’Оу’ находится в плоскости хОу. Тогда координаты точки M в основной системе определятся соотношениями

Переносное ускорение при движении по окружности(107)

Эти равенства (107) отличаются от уже известных нам равенств (88) тем, что здесь координаты х’, у’ и z’ переменны, тогда как в равенствах (88) они были постоянны.

Если мы мысленно остановим точку M в ее относительном движении, т. е. будем считать ее координаты х’, у’ и z’ постоянными, но сохраним переносное вращение, то, дифференцируя равенства (88) по времени, найдем знакомые нам выражения (89) проекций вращательной скорости, которая в данном случае явится переносной скоростью точки М:
Переносное ускорение при движении по окружности

Дифференцируя вторично, найдем проекции переносного ускорения, которые выражаются также известными нам формулами (95):

Переносное ускорение при движении по окружности

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное, т. е. будем считать Переносное ускорение при движении по окружностипостоянной, a’, x’, у’ и z’ — переменными. Дифференцируя при таких условиях (107) по времени, определим проекции относительной скорости:
Переносное ускорение при движении по окружности

Заметим попутно, что, возводя каждое из этих равенств в квадрат, складывая и извлекая квадратный корень, мы определили бы величину относительной скорости (рис. 122). Если же мы возведем в квадрат и сложим лишь два первых равенства, то, извлекая корень, мы получим, очевидно, величину проекции относительной скорости на плоскость хОу:
Переносное ускорение при движении по окружности

Напомним, что вектор угловой скорости Переносное ускорение при движении по окружностинаправлен по оси вращения, а потому угол γr есть угол между векторами относительной и угловой скоростей, и последнее равенство можно записать так:

Переносное ускорение при движении по окружности

Это соотношение скоро нам понадобится.

Чтобы получить проекции относительного ускорения, надо продифференцировать по времени выражения, полученные для проекций относительной скорости, по-прежнему считая φ постоянной. Имеем
Переносное ускорение при движении по окружности

Чтобы определить проекции абсолютной скорости точки М, надо продифференцировать уравнения (107) по времени, считая все величины переменными. Имеем
Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности(103)

Мы получили теорему параллелограмма скоростей, которая, следовательно, остается в силе и при вращательном переносном движении.

Чтобы определить проекции абсолютного ускорения, возьмем вторые производные, опять-таки считая все величины переменными. Имеем:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Таким образом, в выражениях проекций абсолютного ускорения, вдобавок к проекциям относительного и переносного ускорений, появляется еще одно слагаемое, выражающее проекции добавочного ускорения ac:

Переносное ускорение при движении по окружности(108)

Это добавочное ускорение называют ускорением Кориолиса.
Определим величину ускорения Кориолиса:

Переносное ускорение при движении по окружности

или, заменив корень полученным выше значением, находим окончательно

Переносное ускорение при движении по окружности(109)

Мы вывели формулу (109) в предположении, что переносное движение вращательное. Она остается без изменений и при всяком ином непоступательном переносном движении.

Итак, если переносное движение не поступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех составляющих: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:
Переносное ускорение при движении по окружности(110)

В случае, если переносное движение непоступательное, необходимо дополнить ускорением Кориолиса и схему (105), которая принимает следующий вид:

Переносное ускорение при движении по окружности(110 / )
Пользоваться этой схемой при решении задач надо так же, как и схемой (105), заполняя ее справа и геометрически складывая составляющие.

Ускорение Кориолиса существует только при составном движении, если переносное движение непоступательное

При каком движении бывает ускорение Кориолиса

В выражение (109) ускорения Кориолиса входят множителями относительная скорость точки, угловая скорость подвижной системы отсчета и синус угла между векторами этих скоростей. Но относительная скорость бывает только при составном движении. Поэтому и ускорение Кориолиса может быть только при составном движении. Если нет относительной скорости точки, т. е. если υr = 0, то не может быть и ускорения Кориолиса. Однако ускорение Кориолиса бывает не при всяком составном движении точки. Так, если переносное движение поступательное и ω = 0, то нет и ускорения Кориолиса. Из формулы (109) видно, что и в составном движении точки, и при переносном вращательном движении ускорение Кориолиса равно нулю, если относительная скорость параллельна оси вращения. Так, например, корабль, плывущий по меридиану, имеет ускорение Кориолиса, если рассматривать его движение как составное из относительного движения корабля и переносного движения Земли. Это ускорение равно удвоенному произведению скорости корабля на угловую скорость Земли и на синус географической широты (рис. 123) и равнялось нулю в то время, когда корабль пересекал экватор и его относительная скорость была параллельна вектору угловой скорости Земли.

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 123

Физическая причина ускорения Кориолиса заключается в изменении вектора переносной скорости от относительного движения и вектора относительной скорости от переносного движения

Физическая причина ускорения Кориолиса

Постараемся уяснить физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса, для чего представим себе два прямолинейных отрезка O1A1 и O2A2 (рис. 124), рис. 123 по которым движутся точки B1 и B2. Штрихами отмечены положения этих отрезков и точек через промежуток времени Δ t. Первый из отрезков движется поступательно, второй вращается вокруг O2.

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 124

Существуют две физические причины ускорения Кориолиса:
1. Переносная скорость точки B1 не зависит от положения ее на отрезке O1A1, так как, по свойству поступательного движения, скорости всех точек прямой O1X1 между собой равны. Напротив, величина переносной скорости точки B2 равна ω . O2B2 и всецело зависит от ее положения. Переносная скорость точки B2 меняется от ее относительного движения. Чем быстрее движется точка B2 по прямой O2A2 и чем быстрее вращается эта прямая, тем значительнее изменяется переносная скорость точки B2. Таким образом, изменение скорости точки в данное мгновение (т. е. ускорение точки), вызванное указанной причиной, пропорционально величине агносительной и угловой скоростей. В этом заключается один из факторов, порождающих ускорение Кориолиса.

2. Направление относительной скорости точки B1 не меняется, так как, по свойству поступательного движения, прямая O1A1 передвигается параллельно самой себе. Напротив, направление относительной скорости точки B2 непрерывно изменяется по мере вращения O2А2. Даже при прямолинейном относительном движении направление относительной скорости изменяется (вследствие переносного вращения). Изменение вектора скорости точки в данное мгновение (ускорение), вызванное этой причиной, тоже пропорционально величине относительной и угловой скоростей, В этом заключается другой фактор, порождающий ускорение Кориолиса. Ускорение Кориолиса как бы поворачивает вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. По этой причине его иногда называют поворотным ускорением.

Вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен векторам угловой и относительной скоростей

Направление ускорения Кориолиса

При выводе формулы ускорения Кориолиса мы убедились, что проекция этого ускорения на Oz равна нулю. Отсюда следует, что вектор ускорения Кориолиса лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, или, иными словами, к вектору угловой скорости, который направлен по оси вращения Oz.

Уточним теперь направление ускорения Кориолиса в плоскости, перпендикулярной к осп вращения, и обозначим углы, составляемые им с осью Ox и Оу, через αc и βc. Направляющими косинусами являются:

Переносное ускорение при движении по окружности

Углы, составляемые относительной скоростью точки с теми же осями, обозначим через ar и βr:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Сравнивая направляющие косинусы ускорения Кориолиса с направляющими косинусами относительной скорости, находим, что удовлетворяется известное из аналитической геометрии условие перпендикулярности двух направлений—сумма произведений соответствующих направляющих косинусов равна нулю:

следовательно, ускорение Кориолиса перпендикулярно не только к угловой, но и к относительной скорости точки М.

Отсюда вытекает следующее правило: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Oz (оси вращения), и затем повернуть эту проекцию вокруг оси вращения на 90° в сторону переносного вращения. Следовательно, если переносное вращение происходит в положительном направлении, то проекцию υrxy относительной скорости надо повернуть на 90° против хода стрелки часов, а если переносное вращение происходит в отрицательном направлении, то по ходу стрелки. Это определяется самой сущностью поворотного ускорения, поворачивающего вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. К тому же результату мы пришли бы, сравнивая знаки направляющих косинусов ускорения Кориолиса и относительной скорости.

Таким образом, ускорение Кориолиса по величине и направлению можно выразить удвоенным векторным произведением угловой скорости и относительной скорости:

Переносное ускорение при движении по окружности(109 / )

Если относительное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, то угол между векторами угловой и относительной скоростей равен 90°, его синус равен единице и выражение ускорения Кориолиса упрощается:

Переносное ускорение при движении по окружности(109 // )

В этом частном, но очень распространенном в технике случае для определения направления ускорения Кориолиса не нужно проецировать вектор относительной скорости точки, а достаточно повернуть его на 90° в плоскости движения точки в сторону переносного вращения. Поясним это следующей задачей.

Пример №7

Стержень OA вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун В. Указать направление ускорения Кориолиса.

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 125

Решение. Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно к угловой скорости к оси вращения и к относительной скорости. Следовательно, ускорение Кориолиса лежит в плоскости чертежа и перпендикулярно к стержню. Четыре возможных случая изображены на рис. 125, а, б, в, г.

Пример №8

Прямая трубка (рис. 126) равномерно вращается с угловой скоростью ω = π рад/сек вокруг осн Oz, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О. Шарик M совершает гармонические колебания вдоль трубки по закону x’ = ОM = A sin πt. Определить ускорение шарика при t=4 сек.

Решение. Будем рассматривать движение шарика как составное, состоящее из движения относительно трубки и движения вместе с трубкой (рис. 126, а). Для решения задачи воспользуемся схемой (110′) (см. стр. 206).

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное вращение трубки. Уравнение относительного движения шарика есть

В относительном движении шарик имеет касательное ускорение

Относительное движение в данном случае прямолинейное, поэтому относительное нормальное ускорение αrN=0.

Переносное движение обусловлено вращением трубки. Мысленно остановим шарик, предоставив трубке вращаться. Напишем уравнение равномерного вращения трубки, положив φo = 0:

Переносной скоростью шарика является вращательная скорость той точки среды (трубки), в которой в это мгновение находится шарик:

причем в этом выражении время t соответствует тому мгновению, в которое мысленно остановлен шарик, а потому t здесь нельзя рассматривать как переменную величину.

Переносное вращение равномерное, и переносное касательное ускорение равно нулю:
aeT = εr = 0.

Переносное центростремительное ускорение

aeN = ω 2 r — Aπ 2 sin πt,

где t имеет заданное значение, соответствующее данному мгновению, в которое мысленно остановлено относительное движение.

Кроме этих составляющих абсолютного ускорения, имеется ускорение Кориолиса, так как переносное движение вращательное:

Эти составляющие абсолютного ускорения вносим в схему (110′):
Переносное ускорение при движении по окружности

В мгновение t = 4 сек имеем:

Переносное ускорение при движении по окружности

Таким образом, абсолютное ускорение в это мгновение состоит из ускорения Кориолиса a = ac = 2Aπ 2 .

При t = 4 сек точка M совпадала с точкой О (x’ = A sin 4π = 0) и имела относительную скорость + Аπ, направленную в положительном направлении Ox’. Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, надо повернуть вектор относительной скорости на 90° в сторону вращения трубки, т. е. против хода часовой стрелки.

При t = 4 сек угол поворота трубки φ = 4π и ось Ox’ совпадала с осью Ох. Следовательно, в это мгновение ускорение Кориолиса направлено по положительной оси Оу.

Если мы не станем рассматривать движение шарика как составное, а изучим его непосредственно по отношению к основной системе отсчета, то получим, разумеется, тот же результат.

Составим уравнения движения шарика в основной системе координат (рис. 126, б):

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Дифференцируя эти уравнения по времени, найдем проекции скорости:

Переносное ускорение при движении по окружности

Дифференцируя по времени второй раз, найдем проекции ускорения:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Мы получили те же значения ускорения точки, не пользуясь ускорением Кориолиса. Из этого примера видно, что ускорение Кориолиса бывает лишь при составном движении точки.

Для определения траектории шарика в основной системе отсчета исключим время из уравнений движения. Из второго уравнения находим Переносное ускорение при движении по окружности, подставляем в первое уравнение и возводим в квадрат (рис. 126, в):

Переносное ускорение при движении по окружности

Это уравнение окружности с центром в точке x = 0, Переносное ускорение при движении по окружности. Чтобы убедиться, достаточно перенести в эту точку начало основной системы , положив Переносное ускорение при движении по окружности, тогда уравнение траектории примет вид:

Переносное ускорение при движении по окружности

Найдем уравнение движения шарика M по этой окружности:

dx = Аπ cos 2πt dt; dy = Аπ sin 2πt dt;

Переносное ускорение при движении по окружности

Следовательно, шарик движется по своей траектории равномерно со скоростью υ= Аπ; при t = 4 сек он находится в наинизшей точке окружности, а нормальное ускорение Переносное ускорение при движении по окружностинаправлено вертикально вверх.

Резюмируя, убеждаемся, что движение шарика (как и движение всякого тела) можно представить различными способами и ускорение шарика в заданное мгновение (t = 4 сек) можно выразить различными формулами.

Можно представить его как составное, состоящее из колебаний шарика вдоль трубки и одновременного вращения трубки. Тогда ускорение 2Аπt 2 шарика в заданное мгновение является ускорением Кориолиса.

Можно представить то же движение шарика уравнениями в декартовых координатах, а ускорение 2Аπt 2 — проекциями на оси координат.

Можно, наконец, это движение шарика определить как равномерное движение со скоростью υ = Аπ по окружности радиуса Переносное ускорение при движении по окружностии ускорение 2Аπt 2 представить как нормальное ускорение Переносное ускорение при движении по окружности.

Различные способы лишь выражают объективно существующее движение и позволяют определить его характеристики.
Ответ. a = 2Аπt 2 .

Задача №1

Окружность радиуса г равномерно вращается по ходу стрелки часов с угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к ней в одной из ее точек C (рис. 127, а). По окружности движется точка M со скоростью υr = ωr, обходя окружность против вращения часовой стрелки. Определить ускорение точки М.

Решение. Движение точки будем рассматривать как составное, состоящее из относительного равномерного движения по окружности и переносного равномерного вращения самой окружности.
Напишем схему (110′) и будем заполнять ее справа (см. стр. 208).

Чтобы определить относительное движение точки М, мысленно остановим вращение окружности. Относительная скорость равна υr = ωr и направлена по касательной к окружности. Относительное касательное ускорение αrT = 0, а относительное нормальное направлено к центру О окружности и равно

Переносное ускорение при движении по окружности

Чтобы определить переносное движение, мысленно закрепим точку M на окружности. Проведем хорду MC (рис. 127, б) и обозначим через δ угол, составляемый ею с диаметром, проходящим через С. Так как окружность вращается равномерно, то αeT = 0 и

αeN = ω 2 CM = ω 2 2r cos δ

и направлено по хорде MC к точке С.

Величина ускорения Кориолиса в нашем случае равна

Переносное вращение происходит по ходу стрелки часов, следовательно, для определения направления ускорения Кориолиса повернем вектор относительной скорости на 90° по ходу стрелки часов.

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 127

Скорости и ускорения точки изображены на рис. 127, б, а ускорения записаны по схеме (110′):

Переносное ускорение при движении по окружности

Чтобы определить абсолютное ускорение точки М, надо сложить его составляющие. Сложив ускорение Кориолиса с противоположным ему по направлению нормальным относительным ускорением, найдем, что результирующий вектор этих двух ускорений равен ω 2 r и направлен в сторону ускорения Кориолиса:

2ω 2 r-ω 2 r = ω 2 r.

Чтобы сложить этот результирующий вектор с вектором переносного ускорения, воспользуемся теоремой косинусов (рис. 127, в). Имеем

a 2 = (ω 2 r) 2 + (2ω 2 r cos δ) 2 — 2 (ω 2 r) (2ω 2 r cos δ) cos δ = (ω 2 r) 2 .

Как видно из чертежа (рис. 127, в), абсолютное ускорение направлено параллельно ОС независимо от угла δ, т. е. независимо от положения точки M на окружности. Иными словами, независимо от положения точки M на окружности вектор ее абсолютного ускорения равен вектору ускорения центра окружности в его движении вокруг оси С.

Задача №2

В ручке молочного сепаратора по ее длине просверлен цилиндрический канал, закрытый с одной стороны металлической пластинкой (звонком) (рис. 128). В канале помещен металлический шарик. Если вращать ручку с недостаточной скоростью (менее 45 об/мин), то шарик ударится о звонок и даст соответствующий сигнал. Определить ускорение Кориолиса сигнального шарика, если ручка сепаратора наклонена к своей оси вращения под углом 75°, рабочий вращает ручку, делая 45 об/мин, а шарик движется по каналу по закону х’= 220 sin φ + 357e -φ мм.

Решение. Вектор угловой скорости ручки направлен по оси вращения, а относительная скорость шарика —вдоль канала, составляя с ним угол 75°. Ускорение Кориолиса определяем по формуле (105). Угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружностиСинус 75° берем из таблиц или подсчитываем как sin (45°+30°) = 0,966.

Чтобы определить относительную скорость, надо продифференцировать по времени уравнение движения, в котором φ=ωt=1,5πt.

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности
Рис. 128

Таким образом, имеем

αс = 2 • 1, 5π (330π cos φ—535πe — φ) 0,966.

Ответ. Ускорение Кориолиса равно 9420 cos φ—15300e -φ мм/сек 2 и направлено перпендикулярно к ручке и к ее оси.

Видео:Физика | Равномерное движение по окружностиСкачать

Физика | Равномерное движение по окружности

Сложное движение точки и тела

При решении задач, в которых рассматривается сложное движение точки или тела, необходимо уметь правильно расчленить сложное (составное), или так называемое абсолютное движение, на переносное и относительное.

При расчленении сложного движения рекомендуется учитывать следующее. Абсолютное (составное) движение происходит относительно неподвижной системы координат. Обычно эту систему координат связывают с Землей или с неподвижными относительно Земли предметами: зданием, деревом, полотном дороги и т. д.

Переносное движение точки или тела происходит вместе с некоторой материальной средой (телом), внутри или на поверхности которой находится рассматриваемое в задаче тело или рассматриваемая точка. Таким образом, переносное движение — это движение

материальной среды вместе с точкой также относительно неподвижной системы координат.

Относительное движение точки или тела — это перемещение их внутри материальной среды, или по ее поверхности, независящее от движения самой материальной среды.

В тех случаях когда заданы движения двух (или более) тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться теми же приведенными выше соображениями.

Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, но в обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела — относительным. После этого очень просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому.

Этот последний прием использован при решении задач 177-36 и 184-37 и обычно его используют при рассмотрении планетарных механизмов (см. ниже § 40-9).

Решение всех задач на сложное движение необходимо иллюстрировать рисунком.

Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой

При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость.

Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то:

  • перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях;
  • скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей.

Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в ту же сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение (и скорость) имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными.

Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений

Переносное ускорение при движении по окружности

При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений

Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №3

Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая ей гребным винтом по отношению к воде, составляет 8 км/ч. Определить скорость лодки относительно берегов и расстояние, которое проходит лодка вдоль берегов за 20 мин.

Решение иллюстрировать рисунком, считая берега реки на данном участке прямолинейными и параллельными.

1. Лодку принимаем за материальную точку, а водную массу реки —за материальную среду.

Движение лодки относительно берегов или, иначе говоря, движение лодки, наблюдаемое с берега, — это абсолютное движение.

Переносное движение лодки—ее перемещение вместе с рекой; скорость Переносное ускорение при движении по окружности= 4 км/ч, которую сообщает лодке река, — ее переносная скорость.

Относительное движение— перемещение лодки по поверхности воды, создаваемое гребным винтом; скорость относительного движения Переносное ускорение при движении по окружности= 8 км/ч.

Переносное ускорение при движении по окружности

2. Так как в данном случае переносное и относительное движения направлены в одну и ту же сторону, то скорость лодки относительно берегов (абсолютная скорость)

Переносное ускорение при движении по окружности

3. За время Переносное ускорение при движении по окружностилодка вдоль берегов проходит расстояние

Переносное ускорение при движении по окружности
4. Иллюстрируем решение задачи следующим образом (рис. 211).

Изобразим на рисунке тот участок водного пространства, который проходит лодка независимо от того, перемещается этот участок воды или нет. За 20 Переносное ускорение при движении по окружностилодка успевает пройти по этому пространству из положения Переносное ускорение при движении по окружностив положение Переносное ускорение при движении по окружностирасстояниеПереносное ускорение при движении по окружности
За эти же 20 мин, или

Переносное ускорение при движении по окружностипоказанное водное пространство
переместится на расстояние

Переносное ускорение при движении по окружности

Таким образом, лодка, находившаяся в начале рассматриваемого движения относительно берегов в точке Переносное ускорение при движении по окружностичерез 20 сек оказывается в точке Переносное ускорение при движении по окружностит. е. проходит расстояние

Переносное ускорение при движении по окружности

Следовательно, скорость абсолютного движенияПереносное ускорение при движении по окружности

Задача №4

Два автомобиля 1 и 2 движутся параллельно друг другу в одну и ту же сторону со скоростями Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 212, а). С какой скоростью второй автомобиль двигается относительно первого? Решение.

Переносное ускорение при движении по окружности

1. Ответ «по соображению» получается мгновенно: Переносное ускорение при движении по окружностит. е. относительно первого второй автомобиль двигается со скоростью 20 км/ч, но в обратную сторону.

2. Объясним это решение с точки зрения теории сложного движения точки. Условно остановим первый автомобиль. Но тогда, чтобы не изменились условия движения, необходимо мысленно представить, что полотно дороги под вторым автомобилем и вместе с ним получает движение в обратную сторону со скоростью Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 212, б).

Находясь в условном переносном движении со скоростью Переносное ускорение при движении по окружностивторой автомобиль относительно дороги движется со скоростью Переносное ускорение при движении по окружности

Поэтому результирующая обеих скоростей Переносное ускорение при движении по окружностичисленно равна их разности:

Переносное ускорение при движении по окружности

Как видно на рис. 212, а, результирующая направлена в сторону, противоположную скорости Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №5

Расстояние s = 90 км между двумя пристанями, расположенными на роке, теплоход проходит без остановки в одном направлении (по течению) за Переносное ускорение при движении по окружности= 3 ч и в обратном направлении (против течения) заПереносное ускорение при движении по окружности= 5 ч. Определить скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

1. Теплоход, который принимаем за материальную точку, двигаясь по течению, имеет абсолютную скорость (скорость относительно берегов):

Переносное ускорение при движении по окружности
где Переносное ускорение при движении по окружности— искомая собственная скорость теплохода (относительная скорость);

Переносное ускорение при движении по окружности— скорость течения реки (переносная скорость).

При движении против течения абсолютная скорость теплохода
Переносное ускорение при движении по окружности
2. Движение теплохода по течению описывается уравнением (рис. 213, а)Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Движение теплохода против течения происходит по уравнению (рис. 213, б)

Переносное ускорение при движении по окружности
2. Решаем полученную систему уравнения. Из (а) и (б)
Переносное ускорение при движении по окружности
Сложим правые и левые части этих уравнений:
Переносное ускорение при движении по окружности
Вычитаем из верхнего равенства нижнее:
Переносное ускорение при движении по окружности
Таким образом, собственная скорость теплохода составляет 24 км/ч и скорость течения реки равна 6 км/ч.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №6

Расстояние между двумя пристанями, расположенными на реке, теплоход, двигаясь равномерно без остановки, проходит по течению реки за Переносное ускорение при движении по окружностиа против течения (двигаясь в обратном направлении) — Переносное ускорение при движении по окружностиЗа какое время Переносное ускорение при движении по окружностипроплывает это же расстояние плот, передвигаемый только течением реки?

Задачу надо решить в общем виде, а потом подставить числовые значения.

Ответ.Переносное ускорение при движении по окружности

Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу

Когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу, то перемещения и скорости складываются геометрически.

Таким образом, абсолютная скорость точки Переносное ускорение при движении по окружностиопределяется как геометрическая сумма переносной Переносное ускорение при движении по окружностии относительной оог„ скоростей;

Переносное ускорение при движении по окружности

т. е. либо как диагональ параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях (рис. 214, а), либо как замыкающий вектор треугольника скоростей (рис. 214, б).

Переносное ускорение при движении по окружности
При решении задач на определение скоростей наиболее удобно применять графо-аналитический способ (см. § 3-1 настоящего пособия).

Если применяется правило параллелограмма, то модуль абсолютной скорости определяется по формуле, выведенной из теоремы косинусов

Переносное ускорение при движении по окружности

Если применяется правило треугольника, то модуль абсолютной скорости определяется по теореме синусов.

Направление абсолютной скорости по отношению к Переносное ускорение при движении по окружностиможно найти также при помощи теоремы синусов.

В частном случае, когда параллелограмм скоростей превра шается в прямоугольник или когда треугольник скоростей получается прямоугольным, для решения задачи используются тригонометрические функции и теорема Пифагора (см. ниже задачи 181-37, 182-37, 185-37).

Бели в частном случае Переносное ускорение при движении по окружностито при геометрическом сложении таких скоростей образуется ромб (рис. 215, а) или равнобедренный треугольник (рис. 215, б), тогда
Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №7

Вертикально падающие капли дождя оставляют на боковых стеклах автомобиля полосы под углом Переносное ускорение при движении по окружностик вертикали. Скорость движения автомобиля 40 км’ч. Определить, с какой скоростью надают капли дождя.

Переносное ускорение при движении по окружности

1. Изобразим движение капли дождя на рисунке (рис. 216). Капли падают вертикально, следовательно, скорость ик какой-либо капли К относительно Земли является скоростью абсолютного (составного) движения. И эту скорость Переносное ускорение при движении по окружностиможно представить в виде геометрической суммы горизонтально направленной переносной скорости автомобиля Переносное ускорение при движении по окружности— относительно скорости капли при ее движении по стеклу автомобиля.

2. Получившийся параллелограмм скоростей диагональ делит на два прямоугольных треугольника. Рассмотрев любой из этих треугольников, найдем

Переносное ускорение при движении по окружности
Переводим полученную скорость падения капель в м/сек:
Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №8

От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам. Ширина реки 800 м лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м. Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки: скорость лодки относительно берегов. Скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой.

1. Изобразим на рисунке движение лодки (рис. 217). Представим, что лодка отплывает из точки А на правом берегу. Если бы

не было течения, она достигла бы противоположного берега в точке В; известно, что ширина реки Переносное ускорение при движении по окружностиНо лодку сносит вниз по течению (переносное движение) на расстояние Переносное ускорение при движении по окружности0,6 км и поэтому движение лодки относительно берегов (абсолютное движение) происходит но прямой АС.

Обозначим точкой L положение лодки через некоторое время после начала движения. Скорость лодки относительно берегов — абсолютная скорость Переносное ускорение при движении по окружности— направлена вдоль прямой АС и складывается из собственной скорости Переносное ускорение при движении по окружностисообщаемой гребным винтом или веслами, и из переносной скорости течения реки Переносное ускорение при движении по окружности

2. Допустим, что нет течения реки, тогда лодка будет перемещаться относительно берегов так же, как и относительно воды, по прямой АВ и ее движение опишется уравнением

Переносное ускорение при движении по окружности

где t — время переправы (t=12 мин =0,2 ч).

Отсюда находим собственную скорость лодки (скорость лодки относительно воды — относительную скорость)

Переносное ускорение при движении по окружности

3. Если лодка будет плыть, подчиняясь только течению реки, ее движение опишется уравнением

Переносное ускорение при движении по окружности

Из этого уравнения найдем скорость течения реки:

Переносное ускорение при движении по окружности
Переносное ускорение при движении по окружности

4. Теперь из прямоугольного треугольника скоростей (см. рис. 217) легко найти скорость лодки относительно берегов — абсолютную скорость:

Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №9

Трассы двух воздушных лайнеров пересекаются над поселком А. Первый лайнер летит точно на север, второй лайнер — на юго-восток. Скорости Переносное ускорение при движении по окружностиобоих лайнеров численно равны (Переносное ускорение при движении по окружности). Определить, чему равна и как направлена в этот момент скорость второго лайнера относительно первого.

Решение 1—методом «остановки» одного из тел.

1. Обозначим точкой А поселок, над которым» в определенный момент находятся оба лайнера. Покажем страны света: С —север, Ю — юг, В —восток и 3 —запад. Изобразим скорости лайнеров относительно Земли: Переносное ускорение при движении по окружности—скорость первого лайнера и Переносное ускорение при движении по окружности— скорость второго (рис. 218, а).
Переносное ускорение при движении по окружности

2. Так как нужно определить скорость второго лайнера относительно первого, то мысленно первый лайнер остановим над пунктом А, а воздушной среде вместе со вторым лайнером сообщим скорость Переносное ускорение при движении по окружностино в обратную сторону по отношению к скорости Переносное ускорение при движении по окружностирис. 218, б). Тогда скорость Переносное ускорение при движении по окружностивторого лайнера приобретет значение относительной скорости (скорости относительно перемещающейся воздушной среды).

3. Сложив по правилу параллелограмма скорости Переносное ускорение при движении по окружности(см. рис. 218, б), получим скорость Переносное ускорение при движении по окружности( изображающую скорость второго лайнера по отношению к первому.

4. Так как скорости лайнеров Переносное ускорение при движении по окружностичисленно равны Переносное ускорение при движении по окружности Переносное ускорение при движении по окружностито параллелограмм скоростей на рис. 218, б — ромб и, следовательно [см. формулу (3) в начале этого параграфа], числовое значение Переносное ускорение при движении по окружностиравно:
Переносное ускорение при движении по окружности
Таким образом, второй лайнер движется относительно первого со скоростью, численно равной и, как видно из рис. 218, б, удаляется от него на юго-юго-запад, т. е. под углом 157°30′ (903 + 45° + 22‘30′) к направлению скорости первого лайнера.

* Когда будет определен этот угол, его нужно сравнить с углом между векторами Переносное ускорение при движении по окружностииз предыдущей задачи.

Решение 2 —методом разности скоростей.

1. Из выражения геометрической суммы скоростей

Переносное ускорение при движении по окружности
следует, что
Переносное ускорение при движении по окружности
2. Для определения скорости второго лайнера относительно первого примем за абсолютную скорость Переносное ускорение при движении по окружности— скорость первого лайнера и за переносную скорость Переносное ускорение при движении по окружности— скорость второго лайнера; тогда искомую относительную скорость Переносное ускорение при движении по окружностиполучим как разность (см. рис. 3)Переносное ускорение при движении по окружности

3. Чтобы произвести вычитания векторов, необходимо конец вычитаемого вектора Переносное ускорение при движении по окружностисоединить с концом уменьшаемого вектора Переносное ускорение при движении по окружностив направлении от первого ко второму искомым вектором Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 218, в).

4. В результате построения имеем равнобедренный треугольник скоростейПереносное ускорение при движении по окружностииз которого легко найти, что числовое значение

Переносное ускорение при движении по окружности
Угол Переносное ускорение при движении по окружностиопределяющий в данный момент направление вектора Переносное ускорение при движении по окружностиотносительно Переносное ускорение при движении по окружностиопределяется непосредственно по рис. 218, в.

Задача №10

В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой ВС кривошип ОА (расположенный позади кулисы) длиной l= 400 мм вращается с постоянной угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружности=10 рад/сек. Концом А, соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, кривошип сообщает кулисе ВС возвратно-поступательное движение. Определить скорость кулисы в момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол Переносное ускорение при движении по окружности(рис. 219, а).

1. В данном случае движение точки А вместе с кривошипом можно считать сложным, т. е. получающимся в результате сложения:

а) движения точки А вместе с кулисой в ее возвратно-поступательном (переносном) движении вдоль оси х;

б) относительного движения точки А вместе с камнем, движущимся возвратно-поступательно в прорези кулисы в направлении, перпендикулярном к оси х.

2. Абсолютная скорость точки А, модуль которой легко определяется по формуле Переносное ускорение при движении по окружностинаправлена перпендикулярно к кривошипу ОА. Переносная скорость точки А равна поступательной скорости кулисы Переносное ускорение при движении по окружностинаправлена по прямой АО (рис. 219, б). Относительная скорость Переносное ускорение при движении по окружноститочки А, равная скорости камня в прорези кулисы, направлена по прямой Ас.

3. Изобразим скорость Переносное ускорение при движении по окружности Переносное ускорение при движении по окружностивектором, перпендикулярным к ОА. Разложим ее на составляющие уоти и Переносное ускорение при движении по окружностикак показано на рис. 219, б. Вектор Переносное ускорение при движении по окружностиизображает искомую скорость кулисы.

Переносное ускорение при движении по окружности

4. Переносное ускорение при движении по окружности(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и, следовательно,Переносное ускорение при движении по окружности

Таким образом, в данный момент кулиса перемещается вниз со скоростью 2 м,сек.

Чтобы лучше проанализировать движение кулисы, необходимо знать, когда кулиса двигается ускоренно, когда замедленно, при каких положениях кривошипа кулиса имеет максимальную скорость и чему равна эта скорость, при каких положениях кривошипа скорость кулисы равна нулю?

Следующие задачи рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №11

Кривошип 0С=30 см вращается равномерно с угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружностии приводит в возвратно-поступательное движение кулису АВ при помощи ползуна С, передвигающегося в прорези кулисы. Определить скорость Переносное ускорение при движении по окружностиползуна в прорези кулисы и скорость Переносное ускорение при движении по окружностисамой кулисы в тот момент, когда кривошип составляет с горизонталью угол а = 35° (рис. 220). Ответ. Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Задача 187-37. Кривошип ОС = 20 см вращается равномерно с угловой скоростью n = 180 об/мин и приводит в движение качающуюся кулису АВ при помощи ползуна С, двигающегося в прорези кулисы. Определить скорость Переносное ускорение при движении по окружностиползуна в прорези кулисы и угловую скорость Переносное ускорение при движении по окружностикулисы в тот момент, когда кривошип составляет с вертикалью угол а=40°. Расстояние /40 = 40 см (рис. 221).

Ответ. Переносное ускорение при движении по окружности

Сложное движение точки в плоскости

постановка задачи. Геометрическая фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной ее плоскости по известному законуПереносное ускорение при движении по окружности. В канале, расположенном на фигуре, движется точка М по закону Переносное ускорение при движении по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени Переносное ускорение при движении по окружности

Сложное движение точки М представляется в виде суммы относительного и переносного. Характерной особенностью этой задачи является то, что траектории относительного, переносного и абсолютного движения лежат в одной плоскости. Ось z, на которую проектируются векторы переносной угловой скорости и переносного углового ускорения, перпендикулярна этой плоскости и направлена на наблюдателя. Угол поворота считается положительным, если со стороны оси Переносное ускорение при движении по окружностион виден против часовой стрелки.

Искомые величины получаем из векторных равенств:

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности— соответственно относительные и переносные скорости и ускорения: Переносное ускорение при движении по окружности— ускорение Кориолиса .

1. Вычисляем значение дуговой координаты Переносное ускорение при движении по окружностипри Переносное ускорение при движении по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат.

2. Дифференцируя Переносное ускорение при движении по окружностипо времени, находим относительную скорость (скорость точки относительно фигуры):

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружностиКориолис Гаспар Гюстав (1792-1843) французский механик и математик.

Вектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличенияПереносное ускорение при движении по окружности, если Переносное ускорение при движении по окружностии в обратную сторону в противном случае; Переносное ускорение при движении по окружности

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Переносное ускорение при движении по окружности— расстояние от точки М в положении Переносное ускорение при движении по окружностидо оси переносного вращения.

4. Находим переносную скорость Переносное ускорение при движении по окружностигде переносная угловая скорость

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем перпендикулярно Переносное ускорение при движении по окружностив сторону переносного вращения.

5. Определяем вектор абсолютной скорости, вычисляя компоненты Переносное ускорение при движении по окружностивекторной суммы (1) на произвольно выбранные оси, и модуль

Переносное ускорение при движении по окружности

6. Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

где Переносное ускорение при движении по окружности

R — радиус кривизны относительной траектории в точке М. Для прямолинейной траектории относительного движения Переносное ускорение при движении по окружностиВектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории, вектор Переносное ускорение при движении по окружности— к центру кривизны этой же кривой.

7. Вычисляем переносное ускорение:

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем перпендикулярно Переносное ускорение при движении по окружности, вектор Переносное ускорение при движении по окружности— к оси переносного вращения (вдоль Переносное ускорение при движении по окружности).

8. Находим ускорение Кориолиса Переносное ускорение при движении по окружностиТак как в задачах этого типа вектор переносной угловой скорости перпендикулярен вектору относительной скорости, то Переносное ускорение при движении по окружности

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского Переносное ускорение при движении по окружностиповоротом на 90° вектора относительной скорости по направлению переносного вращения. В результате вектор ускорения Кориолиса в таких задачах будет лежать на одной прямой с Переносное ускорение при движении по окружностипри криволинейном относительном движении, а в случае прямолинейного относительного движения Переносное ускорение при движении по окружностиперпендикулярен относительной траектории.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Модуль абсолютного ускорения Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №12

Прямоугольник ABCD вращается вокруг оси, проходящей через вершину А, по закон Переносное ускорение при движении по окружностиОсь вращения перпендикулярна плоскости прямоугольника (рис. 109). По круговому каналу радиуса R = 10 см с центром в точке С, расположенному на прямоугольнике, движется точка М. Дуговая координата точки меняется по закону Переносное ускорение при движении по окружностиДано: АВ = 12 см, ВС = 15 Переносное ускорение при движении по окружности
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М при Переносное ускорение при движении по окружности

Движение точки М представим в виде относительного движения по круговому каналу и переносного движения вместе с вращающимся прямоугольником.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Переносное ускорение при движении по окружностипри
Переносное ускорение при движении по окружностиЖуковский Николай Егорович (1847-1921) русский ученый, основоположник гидроаэродинамики. Преподавал теоретическую механику в МГУ. Правило Жуковского для общего случая см. с. 204

Гл.9.Сложное движение точки

Переносное ускорение при движении по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат. За время Переносное ускорение при движении по окружноститочка проходит по дуге окружности путь Переносное ускорение при движении по окружности Переносное ускорение при движении по окружностиЦентральный угол, соответствующий этой дуге, Переносное ускорение при движении по окружностиИзображаем точку в этом положении (рис.110).

2. Дифференцируя Переносное ускорение при движении по окружностипо времени, находим относительную скорость. Находим ее значение при t = 1с:

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправлен по касательной к окружности.

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

4. Находим переносную скорость Переносное ускорение при движении по окружностиПереносной скоростью точки является скорость точки прямоугольника, совпадающей в данный момент с М Переносное ускорение при движении по окружности.Угловая скорость фигуры, при t =1с,

Переносное ускорение при движении по окружности

Отсюда Переносное ускорение при движении по окружности

5. Определяем вектор абсолютной скорости по формуле (1). Модуль абсолютной скорости Переносное ускорение при движении по окружностинаходим, проецируя

это равенство на неподвижные оси координат х, у (можно воспользоваться также теоремой косинусов):

Переносное ускорение при движении по окружности

Тригонометрические функции угла Переносное ускорение при движении по окружностивычисляем по формулам

Переносное ускорение при движении по окружности

Модуль абсолютной скорости Переносное ускорение при движении по окружности
Переносное ускорение при движении по окружностиИногда переносная скорость обозначается Переносное ускорение при движении по окружности(от французского слова emporter), реже Переносное ускорение при движении по окружности(от английского слова transport), а относительная — Переносное ускорение при движении по окружности(от английского слова relativ). Эти же индексы используются и для других компонентов сложного движения.

6. Вычисляем относительное ускорение. Ускорение точки, движущейся относительно прямоугольника по окружности, имеет нормальную и тангенциальную составляющую:

Переносное ускорение при движении по окружности

Модуль относительного ускорения

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор ускорения Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем по радиусу окружности к точке Переносное ускорение при движении по окружности— по касательной, в сторону увеличения дуги КМ, так как Переносное ускорение при движении по окружности(рис.11)

7. Вычисляем переносное ускорение Переносное ускорение при движении по окружностиТраектория переносного движения точки — окружность радиуса Переносное ускорение при движении по окружностис центром А. Прямоугольник вращается с угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружностии угловым ускорением

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправлен против часовой стрелки перпендикулярно радиусу Переносное ускорение при движении по окружностиВектор Переносное ускорение при движении по окружности— к центру А. Модуль переносного ускорения

Переносное ускорение при движении по окружности

8. Находим ускорение Кориолиса Переносное ускорение при движении по окружности. Модуль вектора ускорения Переносное ускорение при движении по окружностиопределяем по формуле Переносное ускорение при движении по окружностигде Переносное ускорение при движении по окружности— угол междуПереносное ускорение при движении по окружностиВектор Переносное ускорение при движении по окружностиперпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, угол Переносное ускорение при движении по окружностиравен 90°. Имеем

Переносное ускорение при движении по окружности

Направление вектора ускорения Кориолиса получаем по правилу Жуковского — поворотом на 90° вектора относительной скорости
Переносное ускорение при движении по окружностиЭто ускорение называют иногда поворотным, а в англоязычной литературе — supplementary (дополнительным).

по направлению переносного вращения, т.е. против часовой стрелки (рис. 112).

Переносное ускорение при движении по окружности

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат (рис. 111):

Переносное ускорение при движении по окружности

Находим модуль ускорения: Переносное ускорение при движении по окружности

Ответы заносим в таблицу. Радиус траектории переносного движения — в см, скорости — в см/с, ускорения — в Переносное ускорение при движении по окружностиПереносное ускорение при движении по окружности

Сложное движение точки в пространстве

Постановка Задачи. Геометрическая фигура вращается по заданному закону вокруг неподвижной оси, лежащей в ее плоскости. По каналу, расположенному на фигуре, движется точка М по известному закону Переносное ускорение при движении по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки.

Искомые величины получаем из векторных равенств

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности— соответственно относительные и переносные скорости и ускорения; Переносное ускорение при движении по окружности— ускорение Кориолиса. Решение задачи о сложном движении точки в пространстве отличается от аналогичной задачи, где точка движется в плоскости (с. 195) тем, что векторные суммы для абсолютных величин вычисляются по трем компонентам, а ускорение Кориолиса содержит синус угла между вектором переносной угловой скорости и относительной скоростью. Относительная скорость в этих задачах всегда перпендикулярна переносной, что упрощает вычисление модуля их суммы.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Переносное ускорение при движении по окружностипри Переносное ускорение при движении по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат.

2. Дифференцируя Переносное ускорение при движении по окружностипо времени, находим величину относительной скорости Переносное ускорение при движении по окружностиВектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличения Переносное ускорение при движении по окружностиесли Переносное ускорение при движении по окружностии в обратную сторону в противном случае; Переносное ускорение при движении по окружности

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Переносное ускорение при движении по окружности— расстояние от точки М в расчетном положении до оси переносного вращения.

4. Находим модуль переносной скорости Переносное ускорение при движении по окружностигде переносная угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружностиВектор Переносное ускорение при движении по окружностирасполагается в плоскости перпендикулярной оси вращения и направлен перпендикулярно Переносное ускорение при движении по окружностив сторону переносного вращения.

5. Определяем величину абсолютной скорости Переносное ускорение при движении по окружности

6. Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности— радиус кривизны относительной траектории в точке М. Для прямолинейной траектории относительного движения Переносное ускорение при движении по окружностиВектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем по касательной к относительной траектории, вектор Переносное ускорение при движении по окружности— к центру кривизны этой же кривой.

7. Вычисляем переносное ускорение:

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем перпендикулярно Переносное ускорение при движении по окружностивектор Переносное ускорение при движении по окружности— к оси переносного вращения (вдоль Переносное ускорение при движении по окружности).

8. Величину вектора ускорения Кориолиса определяем по формуле

Переносное ускорение при движении по окружности

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Н.Е. Жуковского поворотом на 90° проекции вектора относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Переносное ускорение при движении по окружностипо направлению переносного вращения.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Ось Переносное ускорение при движении по окружностинаправляем по оси вращения. Модуль абсолютного ускорения

Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №13

Прямоугольник ABCD вращается вокруг неподвижной оси, проходящей по стороне DC (рис. 113). По круговому каналу радиуса R = 12 см с центром в точке О, расположенному на прямоугольнике, движется точка М по законуПереносное ускорение при движении по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки при Переносное ускорение при движении по окружностиПереносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

1. Вычисляем значение дуговой координаты Переносное ускорение при движении по окружностипри Переносное ускорение при движении по окружностии определяем положение точки в подвижной системе координат:

Переносное ускорение при движении по окружности

Находим центральный угол, соответствующий дуге ВМ:

Переносное ускорение при движении по окружности

Изображаем точку в этом положении (рис. 114).
9.2.Сложное движение точки в пространстве

2. Дифференцируя Переносное ускорение при движении по окружностипо времени, находим относительную скорость:

Переносное ускорение при движении по окружности

3. Траекторией переносного движения является окружность с центром N. Относительна скорость точки М направлена по касательной к этой окружности. Траектория лежит в плоскости ху, перпендикулярной к оси вращения Переносное ускорение при движении по окружностиНаходим радиус окружности:

Переносное ускорение при движении по окружности

4. Находим переносную скорость. Вычисляем угловую скорость вращения прямоугольника ABCD:

Переносное ускорение при движении по окружности

Вычисляем переносную скорость

Переносное ускорение при движении по окружности

5. Определяем величину абсолютной скорости. Вектор Переносное ускорение при движении по окружностилежит в плоскости Переносное ускорение при движении по окружностинаправлен по оси х, следовательно, они перпендикулярны. Модуль скорости

Переносное ускорение при движении по окружности

6. Вычисляем относительное ускорение. Находим нормальную составляющую ускорения точки, движущейся по окружности радиуса R:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Оба вектора лежат в плоскости Переносное ускорение при движении по окружности(рис.115.),Переносное ускорение при движении по окружности

7. Вычисляем компоненты переносного ускорения. Прямоугольник вращается с угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружностии угловым ускорением

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Вектор Переносное ускорение при движении по окружностинаправлен по оси х, вектор Переносное ускорение при движении по окружности— к оси вращения вдоль оси у.

8. Величину вектора ускорения Кориолиса определяем по формуле Переносное ускорение при движении по окружностиВектор Переносное ускорение при движении по окружностивсегда направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против часовой стрелки. В нашем случае — вверх.
Переносное ускорение при движении по окружности
Угол Переносное ускорение при движении по окружностимежду Переносное ускорение при движении по окружностиравен 150°. Определяем

Переносное ускорение при движении по окружности

Для того, чтобы найти направление вектора ускорения Кориолиса, воспользуемся правилом Жуковского (рис. 116). Проецируем вектор относительной скорости Переносное ускорение при движении по окружностина плоскость перпендикулярную оси вращения, т.е. на плоскость ху. Повернув проекцию Переносное ускорение при движении по окружностипо направлению переносного вращения на 90°, получаем направление вектора ускорения Кориолиса. Вектор Переносное ускорение при движении по окружностилежит на оси х и направлен в сторону отрицательных значений.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Окончательно, абсолютное ускорение точки М

Переносное ускорение при движении по окружности

Ответы заносим в таблицу. Радиус траектории переносного движения — в см, скорости — в см/с, ускорения — в Переносное ускорение при движении по окружностиПереносное ускорение при движении по окружности

Движение точки по звену механизма

Постановка Задачи. Плоский шарнирно-стержневой механизм приводится в движение кривошипом, который вращается с заданной угловой скоростью. Вдоль одного из стержней по известному закону движется тючка М. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Представляем движение точки в виде суммы относительного движения по звену механизма и переносного движения вместе со звеном.

1. Вводим неподвижную систему координат ху, совмещая се начало с положением одного из шарниров механизма в заданный момент времени. Вдоль стержня, по которому движется точка, располагаем подвижную ось Переносное ускорение при движении по окружностинаправляя ее в сторону движения точки. Зная закон относительного движения Переносное ускорение при движении по окружности(он задан в условии), определяем положение точки относительно звена и неподвижных осей ху в расчетный момент. Определяем координаты х и у шарниров.

2. Дифференцируя Переносное ускорение при движении по окружностипо времени, находим проекции относительной скорости и относительного ускорения на ось и:

Переносное ускорение при движении по окружности

Зная угол между осями Переносное ускорение при движении по окружностинаходим проекции векторов Переносное ускорение при движении по окружностина оси ху.

3. Решаем задачу о скоростях точек многозвенного механизма, используя аналитические методы (§ 8.3, с. 179, § 8.5, с. 188). Вычисляем вектор скорости той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Эта скорость является переносной скоростью для точки М.

4. Определяем вектор абсолютной скорости, Переносное ускорение при движении по окружностии его модуль,Переносное ускорение при движении по окружности

5. Решаем задачу об ускорениях точек многозвенного механизма, используя аналитические методы (§ 8.4, с. 183, § 8.5, с. 188). Вычисляем вектор ускорения той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Это ускорение является переносным для точки М.

6. Находим ускорение Кориолиса:

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности— вектор угловой скорости звена, по которому движется точка.

7. Находим абсолютное ускорение, Переносное ускорение при движении по окружностии его модуль: Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №14

Плоский шарнирно-стержневой механизм ОABC приводится в движение кривошипом OA =60 см, который вращается с постоянной угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружностиВдоль стержня АВ движется точка М по закону Переносное ускорение при движении по окружности
Переносное ускорение при движении по окружности
Положение механизма при Переносное ускорение при движении по окружностис указано на рис. 117; АВ =120 см, ВС =80 см, Переносное ускорение при движении по окружностиНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в этот момент.

Абсолютное движение точки представляем в виде суммы относительного движения по звену АВ и переносного движения вместе с ним. Переносные скорость и ускорение являются соответственно скоростью и ускорением той точки звена, в которой в данный момент располагается точка М.

1. Вводим неподвижную систему координат ху, совмещая ее начало с положением шарнира А механизма в заданный момент времени. Вдоль стержня АВ, по которому движется точка, располагаем подвижную ось Переносное ускорение при движении по окружностинаправляя ее в сторону движения точки (рис. 118). Зная закон относительного движенияПереносное ускорение при движении по окружностиопределяем положение точки относительно звена при t = 2 с: Переносное ускорение при движении по окружностит.е. точка находится в центре звена АВ. Определяем координаты шарниров в неподвижных осях координат:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружностиПроекция угловой скорости на ось Переносное ускорение при движении по окружностиперпендикулярную плоскости чертежа, Переносное ускорение при движении по окружностиследовательно, кривошип вращается против часовой стрелки.

2. Дифференцируя Переносное ускорение при движении по окружностипо времени, находим проекции относительной скорости и относительного ускорения на ось Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Угол между осями Переносное ускорение при движении по окружностиравен Переносное ускорение при движении по окружностиНаходим проекции: Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

3. Решаем задачу о скоростях точек многозвенного механизма, используя уравнения трех угловых скоростей (§ 8.3, с. 179):

Переносное ускорение при движении по окружности

где по условию Переносное ускорение при движении по окружностиРешаем систему двух уравнений относительно Переносное ускорение при движении по окружностиПодставляя численные значения, получаем Переносное ускорение при движении по окружностиСкорость Переносное ускорение при движении по окружностиопределяем из

равенства Переносное ускорение при движении по окружности

Переписываем это равенство в виде
Переносное ускорение при движении по окружности
Получаем

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности
Модуль переносной скорости Переносное ускорение при движении по окружности

4. Определяем проекции.

Переносное ускорение при движении по окружности

и модуль абсолютной скорости: Переносное ускорение при движении по окружности

5. Решаем задачу об ускорениях точек многозвенного механизма, используя уравнения трех угловых ускорений (уравнение (2), с. 184), где Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Находим Переносное ускорение при движении по окружностиВычисляем вектор ускорения той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Это ускорение является переносным для точки М. Учитывая, что Переносное ускорение при движении по окружностизаписываем векторное равенство

Переносное ускорение при движении по окружности

Раскрывая векторные произведения по аналогии с (1), вычисляем

Переносное ускорение при движении по окружностиЭто ускорение является переносным для точки М:

Переносное ускорение при движении по окружности

*) Можно выполнить простую геометрическую проверку вычисления Переносное ускорение при движении по окружностиКонцы векторов Переносное ускорение при движении по окружности(построенных в масштабе) должны лежать на одной прямой. Векторы Переносное ускорение при движении по окружностистроим перпендикулярно звеньям OA и ВС соответственно, а их величины вычисляем по известным угловым скоростям — Переносное ускорение при движении по окружности

Модуль переносного ускорения Переносное ускорение при движении по окружности

6. Находим ускорение Кориолиса Переносное ускорение при движении по окружности— вектор угловой скорости звена АВ, по которому движется точка:

Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Модуль ускорения КориолисаПереносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

7. Вычисляем абсолютное ускорение Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

и его модуль Переносное ускорение при движении по окружности

Результаты заносим в таблицу. Скорости в м/с, ускорения — в Переносное ускорение при движении по окружностиугловая скорость — в рад/с, угловое ускорение — в Переносное ускорение при движении по окружностиПереносное ускорение при движении по окружности

Механизм с муфтой

Постановка Задами. Плоский механизм с одной степенью свободы состоит из шарнирно соединенных стержней и муфты, скользящей по направляющему стержню и шарнирно закрепленной на другом стержне или на неподвижном шарнире. Задана угловая скорость ведущего звена механизма. Найти скорость муфты относительно направляющего стержня.

1. Представляем движение муфты М в виде суммы относительного движения по направляющему стержню механизма и переносного движения вместе с этим стержнем. Траекторией относительного движения муфты является прямая. Задачу решаем, используя координатную запись векторных соотношений для скоростей при плоском движении. Выбираем систему координат и определяем координаты всех шарниров механизма и муфты.

2. Мысленно снимаем муфту с механизма и находим скорости шарниров и угловые скорости звеньев получившегося механизма (§ 8.1, с. 158, § 8.3, с. 179, § 8.5, с. 188).

3. Записываем уравнение сложения скоростей: Переносное ускорение при движении по окружностигде абсолютная скорость Переносное ускорение при движении по окружностиили относительная скорость Переносное ускорение при движении по окружностивыражается через скорости шарниров механизма. Составляем уравнение

Переносное ускорение при движении по окружности

Это векторное уравнение содержит две неизвестные величины. Одна из них — искомый модуль вектора относительной скорости Переносное ускорение при движении по окружностиНаправление этого вектора всегда известно и задается направлением стержня, по которому скользит муфта Переносное ускорение при движении по окружности. В зависимости от варианта задачи второй неизвестной может быть угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружностиили Переносное ускорение при движении по окружностигде N и К — точки механизма с известными скоростями.

Если муфта скользит по стержню КМ, угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружностикоторого известна, то неизвестной величиной будет угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружностизвена, шарнирно соединяющего муфту с неподвижной точкой Переносное ускорение при движении по окружностиили с шарниром N механизма с известной скоростью.

Если муфта шарнирно закреплена на стержне NM с известной угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружностито неизвестной величиной будет угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружностизвена, по которому скользит муфта, где точка К неподвижна или является шарниром с известной скоростью.

Если муфта закреплена на неподвижном шарнире, то абсолютная скорость равна нулю Переносное ускорение при движении по окружности

3. Решаем векторное уравнение (1). Определяем Переносное ускорение при движении по окружности

Задача №15

Плоский механизм с одной степенью свободы состоит из шарнирно соединенных стержней и муфты D, скользящей по направляющему стержню (кривошипу) OA. Муфта шарнирно закреплена на стержне BD. Кривошип вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружностиДаны длины: OA = 40 см, АВ = 111 см, ВС = 43 см, ОС = 62 см. Найти скорость муфты относительно направляющего стержня в тот момент, когда Переносное ускорение при движении по окружностиа муфта находится на середине кривошипа: OD = ОА/2 (рис. 119).

Переносное ускорение при движении по окружности
Переносное ускорение при движении по окружностиНаправляющий стержень.

1. Представляем движение муфты М в виде суммы относительного движения по направляющему стержню OA и переносного движения вместе с .этим стержнем. Выбираем систему координат и определяем координаты всех шарниров механизма и муфты. Помещаем начато координат в точку С (рис. 120) и вычисляем координаты:

Переносное ускорение при движении по окружности

Координаты точки В найдем из системы уравнений

Переносное ускорение при движении по окружности

Система имеет два решения (задача о точках пересечения двух окружностей с радиусами АВ и ВС). Выбираем то решение, у которого Переносное ускорение при движении по окружности

Нелинейную систему уравнений удобно решать на компьютере, например, в системе Maple V. Программа решения имеет вид

Переносное ускорение при движении по окружности

Числа заносятся в десятичной форме: АВ: =111.0 и т.д.

2. Мысленно снимаем муфту с механизма (рис. 120) и находим скорости шарниров и угловые скорости звеньев получившегося механизма. Записываем уравнения трех угловых скоростей четырехзвенника ОABC (§8.3, с. 179):

Переносное ускорение при движении по окружности

При Переносное ускорение при движении по окружности

Переносное ускорение при движении по окружности

Получаем решение: Переносное ускорение при движении по окружностиЗная Переносное ускорение при движении по окружностинаходим

Переносное ускорение при движении по окружности

Компоненты скорости имеют следующие значения:

Переносное ускорение при движении по окружности

3. Записываем уравнение сложения скоростей Переносное ускорение при движении по окружностигде абсолютная скорость Переносное ускорение при движении по окружностивыражается через известную скорость шарнира В. Составляем векторное уравнение

Переносное ускорение при движении по окружности

Это уравнение содержит две неизвестные величины. Одна из них — искомый модуль вектора относительной скорости Переносное ускорение при движении по окружностиНаправление этого вектора известно и задается направлением стержня OA, по которому скользит муфта. Вторая неизвестная — угловая скорость Переносное ускорение при движении по окружностиПодставляем численные значения. Уравнение (2) принимает вид

Переносное ускорение при движении по окружности

где Переносное ускорение при движении по окружности— проекция относительной скорости муфты на ось, направленную от О к А. Находим решение системы: Переносное ускорение при движении по окружности Переносное ускорение при движении по окружностиТаким образом, в указанный момент муфта движется по стержню OA вверх со скоростью Переносное ускорение при движении по окружности

Замечание. Эту задачу можно решить по крайней мере ещё двумя способами. Во-первых, методами аналитической геометрии можно найти расстояние Переносное ускорение при движении по окружностиот шарнира О до муфты D как функцию времени. Дифференцируя Переносное ускорение при движении по окружностинайдем относительную скорость. Во-вторых, можно найти скорость стержня OA относительно муфты. Подвижная система координат будет связана с муфтой. В этом случае абсолютная скорость точки стержня OA под муфтой — это скорость точки тела при вращательном движении с угловой скоростью Переносное ускорение при движении по окружностипереносная — скорость муфты, выраженная через скорость шарнира В.
Замечание. В ответах, помимо искомой относительной скорости, даны промежуточные результаты — скорости точек А, Б и D. Причем в вариантах 1,2,7,8 Переносное ускорение при движении по окружности— это скорость той точки направляющего стержня, в которой в этот момент находится муфта.

Рекомендую подробно изучить предмет:
  • Теоретическая механика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Сложение движение твердого тела
  • Кинематика сплошной среды
  • Аксиомы классической механики
  • Дифференциальные уравнения движения материальной точки
  • Мгновенный центр скоростей
  • Мгновенный центр ускорений
  • Мгновенный центр вращения
  • Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

УСКОРЕНИЕ - Что такое равноускоренное движение? Как найти ускорение // Урок Физики 9 классСкачать

УСКОРЕНИЕ - Что такое равноускоренное движение? Как найти ускорение // Урок Физики 9 класс

ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ кинематика 9 и 10 классСкачать

ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ кинематика 9 и 10 класс

Лекция 6.5 | Нормальное и тангенциальное ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Лекция 6.5 | Нормальное и тангенциальное ускорение | Александр Чирцов | Лекториум

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.

Физика 9 класс (Урок№4 - Движение тела по окружности. Период и частота)Скачать

Физика 9 класс (Урок№4 - Движение тела по окружности. Период и частота)

Урок 89. Движение по окружности (ч.1)Скачать

Урок 89. Движение по окружности (ч.1)

Теория. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростьюСкачать

Теория. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Cложное движение точки. ТермехСкачать

Cложное движение точки. Термех

Тема 12. Ускорение точки при ее движении по окружностиСкачать

Тема 12. Ускорение точки при ее движении по окружности

Рассмотрение темы: "Тангенциальное, нормальное и полное ускорение"Скачать

Рассмотрение темы: "Тангенциальное, нормальное и полное ускорение"

9 класс урок №10 Центростремительное ускорениеСкачать

9 класс урок №10  Центростремительное ускорение

ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ 9 класс физика ПерышкинСкачать

ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ 9 класс физика Перышкин
Поделиться или сохранить к себе: