Паркет из правильных треугольников (7 видео)

Пять углов

Ликбез в честь решения задачи о пятиугольных замощениях

Изображение: Casey Mann

Недавно математикам из Вашингтонского университета в Ботелле удалось обнаружить новый тип пятиугольного паркета. Он стал пятнадцатым, известным на настоящий момент. Мы предлагаем читателю разобраться в том, что это вообще за паркеты такие и какие у них есть замечательные свойства.

UPD. Эта статья была написана в 2015 году, когда было открыто 15-е семейство пятиугольников, которые могут замостить плоскость. В июле 2017 года стало известно, что француз Михаэль Рао доказал, что ничего, кроме этих семейств, нет. В частности работа Рао заканчивает классификацию замощений выпуклыми многоугольниками.

Начнем, собственно, с понятия паркета, которое еще называют замощением. Паркетом называют разбиение плоскости на многоугольники так, что любые две фигуры пересекаются либо по целой стороне, либо по вершине, либо не пересекаются вообще. Разумеется, придумать таких разбиений можно очень много, но нас будут интересовать только достаточно симметричные паркеты.

Самый простой тип паркета, называемый платоновым, — это паркет из правильных n-угольников, то есть многоугольников, у которых все углы и все стороны равны.

Всего таких паркетов три штуки: плоскость могут замощать только правильные треугольники, четырехугольники (они же квадраты) и шестиугольники. Доказать это достаточно легко. Сумма углов многоугольника считается по формуле 180(n — 2). Соответственно, величина угла правильного n-угольника в этом случае составляет 180(n — 2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов (скажем, k штук), причем их сумма должна быть равна 360 градусам. Получаем на эти два целых числа следующее тождество k(n — 2) = 2n. Легко показать перебором, что это равенство разрешимо только для n = 3, 4 и 6.

Забавно, что если отказаться от условия правильности многоугольника, и, скажем, рассмотреть паркеты, составленные только из выпуклых многоугольников (то есть многоугольников, у которых все углы меньше 180 градусов), то выяснится, что сторон в таких многоугольниках все равно не может быть больше шести. Доказывается это, впрочем, несколько сложнее. Если отказаться от условия выпуклости, то семиугольник вполне может замощать плоскость.

Изображение: Wikimedia Commons

Что касается разрешенных для паркета многоугольников, то про них можно сказать вот что. Замостить плоскость можно любым треугольником — достаточно составить из него и повернутой копии параллелограмм. Произвольный четырехугольник на роль паркета также подходит.

С шестиугольниками все любопытнее. Например, можно взять платоново замощение и начать его растягивать по одному из направлений. В результате получится паркет из уже не правильных шестиугольников. Оказывается, впрочем, что такое растягивание (как и некоторые, более хитрые преобразования) сохраняет фиксированный набор свойств.

Чтобы описать их, обозначим углы шестиугольника как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы прошлого века была доказана замечательная теорема: шестиугольником можно замостить плоскость тогда и только тогда, когда он принадлежит одному или более из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :

A + B + C = 360
A + B + D = 360, a = d, c = e
A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Однако наиболее сложный случай паркета на плоскости — это пятиугольный паркет. В 1918 году Карл Райнхардт описал пять классов таких паркетов. Как и в случае с шестиугольниками, это целые семейства пятиугольников, задаваемые некоторым набором равенств на стороны и углы. Самое простое из них, пожалуй, это A + B = 180 (считаем, что углы у пятиугольника обозначены как A, B, C, D, E). Проверить, что такими пятиугольниками можно замостить плоскость, оставляем в качестве упражнения читателям.

Долгое время этот список считался полным, пока в 1968 году Роберт Кершнер вдруг не обнаружил еще три таких класса. В 1975 году математик Ричард Джеймс увеличил это число до девяти. Тут в истории начинается самое интересное — об открытии Джеймса написал журнал Scientific American. Статью увидела Мардж Райс, американская домохозяйка и по совместительству математик-любитель. Разработав собственную систему записи пятиугольных замощений она за 10 лет довела их количество до 14.

Изображение: Wikimedia Commons

И вот, наконец, спустя 30 лет ученые из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-е замощение. Сделали они это с помощью компьютера: в этом университете проект по численному изучению замощений с участием студентов ведется уже несколько лет. Один из участников группы, Кейси Манн признается, что сделано это было с помощью достаточно большого перебора. То есть никакого серьезного продвижения за этим открытием не стоит.

Замощения с единственной выпуклой плиткой — не единственные и, пожалуй, не самые любопытные. Если разрешить использовать в паркете несколько плиток, то свойства замощения станут интереснее. Если все эти плитки — правильные многоугольники, то уже для конечного набора плиток существует бесконечное число таких замощений.

Чтобы получить что-то любопытное, можно попытаться сузить класс паркетов. Такое сужение хорошо известно и называется однородными замощениями. Однородным называется паркет, в котором подходящим преобразованием плоскости (поворотом и сдвигом то есть) любую вершину паркета можно перевести в любую другую. В каком-то смысле в таком паркете все вершины равноправны, а глобальное устройство паркета является следствием его локальной структуры.

Заметим, что упоминавшиеся ранее платоновы замощения являются однородными. Так вот, помимо этих трех существует еще восемь однородных замощений, состоящих из правильных многоугольников. Их еще называют архимедовыми замощениями.

Изображение: Wikimedia Commons

Наконец, самый экзотический класс — это непериодические и апериодические замощения. Как ни странно, но эти два термина обозначают разные классы математических объектов. В первом случае разбиение, о котором идет речь, не должно иметь трансляционной симметрии. Это означает, что разбиение такое хитрое, что нет вектора, сдвиг на который переводил бы это разбиение в себя.

Приведем два таких непериодических примера. Первый паркет — это замощение сфинкса. Сфинксом называют невыпуклый пятиугольник, который получается из шести правильных треугольников. Штука в том, что и из четырех одинаковых сфинксов можно склеить сфинкса, который будет подобен (в смысле подобных треугольников) исходному. Повторяя этот процесс (как показано на этой гифке), можно построить самоподобное замощение плоскости.

Другой пример непериодического паркета — замощение Фодерберга. Оно состоит из невыпуклых девятиугольников. Замощение стартует с одного многоугольника, затем вокруг двух его вершин конгруэнтные многоугольники выкладываются спиралью. Со временем ветви спирали раскручиваются и получается непериодическое замощение.

Оба примера роднит то, что в обоих случаях из того же набора плиток можно составить периодические замощения (это предлагается проверить читателю в качестве задачи). Апериодическим замощением называется паркет, исполненный таким набором плиток, что из них нельзя сложить ни одно периодическое замощение. Самое, пожалуй, известное апериодическое замощение — это мозаика Пенроуза, состоящая из двух плиток.

Существуют ли апериодические замощения из одной плитки — этот вопрос до сих пор открыт. Единственное, что, как уже говорилось выше, если такие замощения и существуют, то они должны быть пятиугольными.

Содержание

Геометрические паркеты
Геометрические паркеты
Паркеты из одинаковых правильных многоугольников
Паркеты из разных правильных многоугольников
Паркеты из неправильных многоугольников
Паркеты из произвольных фигур
Исследовательская работа по математике » Геометрические паркеты»
📺 Видео

Видео:32 Четыре паркета, или Отражения треугольника относительно его сторонСкачать

Геометрические паркеты

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрические паркеты

Паркет (или мозаика) — бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники. Итак, какими же многоугольниками можно замостить плоскость?

Паркеты из одинаковых правильных многоугольников

Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел:

Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.

Паркеты из разных правильных многоугольников

Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).

Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) — два варианта паркета; (3,4,4,6) — четыре варианта; (3,3,3,4,4) — четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках — обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 — правильный треугольник, 4 — квадрат, 6 — правильный шестиугольник, 12 — правильный двенадцатиугольник). Некоторые варианты паркета показаны на следующих иллюстрациях:

Остальные варианты паркетов, а также доказательство того, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек), см. в статье и др. «Геометрический паркет на экране компьютера» (статья — в виде картинок на двух страницах, объем каждой страницы порядка 500 кб; источник — журнал «Информатика и образование, №9 за 2002 г.).

Паркеты из неправильных многоугольников

Легко покрыть плоскость параллелограммами:

Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого:

Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.

Еще плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников:

Паркеты из произвольных фигур

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками; в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае — многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование «два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек»; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур. Рассмотрим способы построения нового паркета, исходя из этого «расширенного» определения. Итак, как нарисовать паркет? (некоторые из возможных способов)

Способ первый. Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) — из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков.
Пример: паркеты, полученные заменой отрезков «квадратной» сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки:

Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников:

Способ третий. Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае — накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета.
Пример (разбиения сетки из греческих крестов):

Способ четвертый. Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом №1.
Для получения следующего паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.

А вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:

Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из невыпуклых 16-угольников, напоминающих крест. На первом рисунке есть еще один элемент — выпуклый четырехугольник.

Источники:
. Паркеты из правильных многоугольников. Журнал «Квант» №3, 1970 г. . Паркеты. , , . Геометрический паркет на экране компьютера. Журнал «Информатика и образование», 9-2002.

Также при подготовке страницы были использованы материалы, подготовленные мной для УМК «Геометрические паркеты» («Как нарисовать паркет, или почему не бывает тетрадей в кружочек»).

См. также: Одиннадцать правильных паркетов на сайте Арбуз

Видео:Как правильно делать шлифовку паркета? Снимаем верхний слой лакаСкачать

Исследовательская работа по математике » Геометрические паркеты»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.

Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

В моей работе я буду рассматривать геометрические паркеты из многоугольников.

Цель и задачи проектной работы.

1.Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.

2.Изучить геометрические приёмы составления паркетов.

3. Научиться строить паркеты с помощью графического редактора « Paint », входящего в стандартный пакет Microsoft Office .

4.Развитие умений и навыков исследовательской работы.

Выдвинута проблема. Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?

Объект исследования — паркеты.

Методы исследования: анализ литературы; систематизация материала; метод аналогии.

При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет — ресурсы.

1. Историческая справка.

Слово «паркет» имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя — предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.

Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.

Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться — все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам — реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.

Паркет в Итальянском зале Паркет начала 18 века

Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.

2. Геометрические п аркеты.

П аркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.

1.Из каких правильных одноименных многоугольников можно составить паркет?

Предположение: правильные паркеты получатся из квадратов, шестиугольников и треугольников.

В природе и в жизни человека паркеты встречаются часто. Например: шахматная доска и пчелиные соты. Все эти предметы состоят из многоугольников с равными углами и равными сторонами. Пример шахматной доски меня убеждает, что из правильных: четырехугольников тоже можно составить правильный паркет.

На примере пчелиных сот убеждаемся, что паркет можно составить и из правильных шестиугольников. Пчелы бессознательно решают математическую задачу – они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объёме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу. Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт.

В свою очередь, правильные шестиугольники состоят из правильных треугольников, поэтому паркеты из правильных треугольников тоже существуют

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n -угольников, то должно выполняться равенство:

После преобразований получим:

Если n =3, m =6 (6 треугольников в узле).

Если n =4, m =4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n =5, m =3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n =6, m =3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Вывод: Наше предположение оказалось верным.

Мы убедились в том, что паркет можно построить из: