Антипараллельные прямые в треугольнике

АНТИПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ относительно сторон угла. Прямые а и b называются антипараллельными прямыми относительно сторон угла KOL, если они пересекают стороны этого угла так, что образуют равные углы, но с разными сторонами угла КОL при этом равные углы входят в треугольники, содержащие вершину О (рис. 8). Антипараллельные прямые, вообще говоря, не являются параллельными, за исключением того случая, когда они обе перпендикулярны биссектрисе угла КОL.

Понятие антипараллельные прямые используется при изучении преобразования инверсии (см.).
Иногда аналогичное определение антипараллельным прямым дают не относительно сторон угла, а относительно двух других прямых, которые пересекаются первыми. Во всяком вписанном в окружность четырехугольнике (выпуклом или звездчатом) противоположные стороны антилараллельны относительно двух других сторон.
Иногда также определяют антипараллельные прямые относительно третьей прямой: прямые а и b называются антипараллельными прямыми относительно прямой с, если они образуют с ней равные внутренние односторонние углы. Боковые стороны равнобедренного треугольника — антипараллельные прямые относительно основания.

Антипараллельные прямые кратко

Привет, Вы узнаете про антипараллельность, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое антипараллельность,антипараллельные прямые , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия

антипараллельность :

• В геометрии — см. антипараллельные прямые .
• В векторной алгебре и ее приложениях два вектора называют антипараллельными, если они коллинеарны и противоположно направлены.

Антипараллельные прямые — прямые, образующие при пересечении двух данных прямых (или сторон данного угла) равные углы, но с противоположных сторон (Рис.1).

Рис.1: Пусть заданы две прямые и . Прямые и называются антипараллельными относительно и , если .

Рис.2: Если две прямые и совпадают, то говорят, что и антипараллельны относительно соответствующей прямой .

Прямые и называются антипараллельными относительно прямых и , если на Рис.1 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если прямые и пересекаются в некоторой точке , то и называют также антипараллельными относительно угла . Если прямые и совпадают, то и называют антипараллельными относительно одной прямой (Рис.2) .

Из определения видно, что, в отличие от параллельности, антипараллельность двух прямых — понятие относительное. Бессмысленно утверждать, что «прямые и антипараллельны», если не указано, относительно какого угла или каких двух прямых они антипараллельны. Однако при рассмотрении треугольников часто говорят, что некоторая прямая «антипараллельна сторонe треугольника», подразумевая при этом, что она антипараллельна ей относительно двух других сторон. Такая прямая еще называется антипараллелью треугольника .

Свойства

Рис.3: Две прямые и антипараллельны относительно угла, тогда и только тогда, когда они образуют один и тот же угол в противоположных направлениях с биссектрисой этого угла. Заметим, что предыдущие два угла 1 и 2 также равны.

Рис.4: У любого четырехугольника , вписанного в окружность , противоположные стороны антипараллельны относительно двух других сторон.

• Если прямые и антипараллельны относительно и , то и антипараллельны относительно и .
• Две прямые и антипараллельны относительно угла тогда и только тогда, когда они образуют один и тот же угол, но в противоположных направлениях, с биссектрисой этого угла (Рис.3).
• Две прямые, антипараллельные относительно сторон угла, отсекают на них обратно пропорциональные отрезки. Обратно, прямые, обладающие таким свойством, антипараллельны. Отсюда немедленно следует (по теореме о секущих), что

• Точки пересечения двух пар антипараллельных прямых лежат на одной окружности. И наоборот, у любого четырехугольника, вписанного в окружность, две противоположные стороны антипараллельны относительно двух других сторон (Рис.4).

• Все антипараллели к некоторой стороне треугольника параллельны между собой.
• Если окружность, проходящая через вершины и треугольника , пересекает стороны и в точках и соответственно, то прямая антипараллельна . Если радиус окружности увеличить, так что она пройдет и через вершину , то секущая перейдет в касательную в точке . Следовательно,

• Касательная к описанной вокруг треугольника окружности, проведенная в одной из его вершин, антипараллельна противоположной стороне. Поэтому
• Радиус описанной окружности, проведенный из вершины треугольника, перпендикулярен всем прямым, антипараллельным противоположной стороне.

• Прямая, соединяющая основания двух высот треугольника, антипараллельна третьей стороне (поскольку основания высот лежат на окружности, построенной на этой стороне как на диаметре), так что стороны ортоцентрического треугольника антипараллельны сторонам исходного треугольника.

История

По всей видимости, термин «антипараллель» впервые использовал Лейбниц (Acta Eruditorum, 1691, p.279), но он придавал ему другое значение. Определение антипараллельных прямых в современном смысле дано в книге Э. Стоуна «A New Mathematical Dictionary» (1743).

См. также

• Антипараллелограмм
• параллельные прямые
• Трансверсаль (геометрия)

На этом все! Теперь вы знаете все про антипараллельность, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое антипараллельность,антипараллельные прямые и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия

Антипараллельные прямые в треугольнике

Если прямые a и b пересекают прямые c и d так, что угол от прямой a до прямой c, отсчитываемый в некотором направлении (например, против часовой стрелки), равен углу от d до b, отсчитываемому в том же направлении, то говорят, что прямые a и b антипараллельны относительно прямых c и d.

Условие антипараллельности равносильно любому из двух следующих условий:

2) точки пересечения прямых a и b с прямыми c и d лежат на одной окружности.

Еще одно равносильное условие, применимое в случае пересекающихся прямых c и d: треугольник, образованный прямыми c, d и a, зеркально подобен треугольнику, образованному c, d и b.

Если одна пара прямых антипараллельна относительно другой, то вторая пара антипараллельна относительно первой. Кроме того, это свойство останется в силе, если переставить прямые любой из двух пар или заменить любую из четырех прямых параллельной прямой.