Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Видео:Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать
Задание №1227
Условие
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end имеет ровно 2 решения.
Решение
Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.
При a > 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.
Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности phi и phi _1 не пересекаются, при 1 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки.
Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= sqrt <4^2+(4-(-4))^>= sqrt = 4sqrt 5.
При a или a > CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4sqrt 5-3 или a=CB_2=4sqrt 5+3, окружности phi и phi _2 касаются.
Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.
Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения ain (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).
Видео:#17. Плавающий центр окружности — красивая задача с параметром!Скачать
Система уравнений с параметром.
Задача 1
Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений [left< begin ((x+5)^2+y^2-a^2)ln = 0; \ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y+5-a) = 0 \ endright. ] имеет два различных решения.
Условие получено от пользователей сайта alexlarin.net.
Задача хорошо решается графическим методом. Мне она показалась интересной тем, что, в отличие от обычной практики, в процессе размышлений здесь графики лучше размещать на отдельных рисунках. Привожу полное решение этой задачи в качестве очередного примера заданий ЕГЭ на параметр.
Видео:Параметр про две окружности | Физтех-2019. Математика | Борис Трушин |Скачать
Подробное решение
Решение любой задачи, содержащей алгебраические выражения, должно начинаться с анализа области допустимых значений (ОДЗ) этих выражений. Особенно важно не забывать об этом при решении заданий второй части ЕГЭ профильного уровня.
Здесь одно из уравнений содержит натуральный логарифм, область определения которого ограничена. Следовательно [9-x^2-y^2>0; \ 9>x^2+y^2; \ x^2+y^2 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Приравняем поочередно каждый сомножитель к нулю, преобразуем к виду, удобному для графического представления и проанализируем его вклад в решение отдельных уравнений и всей системы в целом.
Начнем с сомножителя, общего для обоих уравнений.
[ (x+5)^2+y^2-a^2 = 0; \ (x+5)^2+y^2=a^2 ] 
Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен абсолютному значению параметра а. В случае, когда а = 0, окружность вырождается в точку. (Не забываем, что r = |а| потому, что нужно рассмотреть все возможные значения параметра, в том числе и отрицательные, которые при возведении в квадрат удовлетворяют уравнению окружности.) Центр окружности расположен в точке с координатами . Изобразим несколько таких окружностей для различных значений параметра а.
Так как рассматриваемый сомножитель входит в оба уравнения системы, то все точки этих окружностей могут быть искомыми решениями системы. Но реально являются таковыми только те из них, которые входят в ОДЗ, т.е. те участки окружностей, которые пересекают упомянутый выше круг радиуса 3.
Анализируем рисунок:
— (красные) окружности, радиусы которых меньше 2 или больше 8 не имеют общих точек с (голубым) кругом, т.е. при (|a| in [0;2) cup (8;+infty)) рассматриваемый сомножитель не дает вклада в решение системы,
— окружности c r = 2 и r = 8 касаются границы голубого круга, но она не входит в ОДЗ, поэтому при (|a| = 2) и (|a| = 8) рассматриваемый сомножитель также не даст вклада в решение системы,
— в случае, когда радиус окружности принадлежит промежутку (2;8), она пересекается с кругом ОДЗ в двух точках и решением системы являются все точки дуги (красной) окружности, лежащей внутри этого (голубого) круга. Таких точек, а следовательно и решений системы, бесконечное множество.
Выводы:
1) при (a in (-8; -2)cup (2;8)) система уравнений имеет бесконечное множество решений;
2) при (a in (-infty; -8] cup [-2;2] cup[8;+infty)) сомножитель (((x+5)^2+y^2-a^2)) не дает вклада в решения системы, поэтому при некоторых значениях параметра а из этого диапазона система может иметь два различных решения, если таковые будут получены из анализа оставшихся двух сомножителей.
Итак, продолжаем искать решения заданной системы уравнений среди решений следующей системы, содержащей оставшиеся два сомножителя [left< begin ln = 0; \ (x+y+5-a) = 0. \ endright. ] Последняя равносильна заданной при условии, что нас не интересует случай, когда ((x+5)^2+y^2-a^2 = 0). В дальнейшем эту систему я буду называть сокращенной.
Преобразуем уравнения, чтобы построить графики [ ln = 0; \ 9-x^2-y^2 = 1; \ 9-1 = x^2+y^2 ; \ x^2+y^2 =8. ] Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен (sqrt), центр находится в точке . Вся эта окружность находится в области допустимых значений исходной (заданной в условии) системы уравнений. На рисунке она изображена сплошной синей линией. [(x+y+5-a) = 0 \ x+y+5=a ; \ y = -x + (a-5) ] Получили уравнение прямой на координатной плоскости. Прямая проходит параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов (тангенс угла наклона равен −1) и пересекает ось ординат в точке (a-5). Изобразим несколько таких прямых для различных значений параметра а.
Решением сокращенной системы уравнений будут точки пересечения окружности (r = sqrt) с этими прямыми. Прямые могут пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или вообще не иметь общих точек с окружностью. Нас интересуют те из них, которые имеют по два пересечения, что будет соответствовать двум различным решениям системы уравнений. Как видно по рисунку, такие прямые находятся между двумя касательными к окружности. Нужно уточнить их уравнения, чтобы найти соответствующие пределы изменения параметра a.
Если вы очень точно и крупно изобразили координатную плоскость на чертеже, то можно попытаться определить точки касания по рисунку. Например, на увеличенном рисунке с иконкой лупы видно, что касание происходит в точках с координатами и . Однако не забывайте, что экзамен не проверяет ваш глазомер, и истинное значение координаты может отличаться на десятые или сотые доли от видимого, тем более, что радиус окружности у нас имеет иррациональное значение (sqrt). Поэтому, как минимум, необходимы проверка предполагаемых значений координат подстановкой в уравнение окружности и геометрическое обоснование касания. Ещё лучше точно вычислить точки касания через производную и уравнения касательных.
Например, для точки применим первый способ:
— пусть x = 2 и y = 2, тогда (x^2+y^2 = 2^2+2^2 = 4+4=8), значит точка лежит на окружности;
— радиус, проведенный в эту точку, совпадает с диагональю квадрата 2×2, которая проходит под углом 45° к положительному направлению оси Ох и поэтому перпендикулярна к рассматриваемым (зелёным) прямым. Таким образом, выполняется условие: радиус окружности перпендикулярен касательной.
(Примечания: I.Имелся в виду квадрат с вершинами в точках , и ). II.Тангенс угла наклона наших прямых равен −1, следовательно они проходят под углом 135° к положительному направлению оси Ох.)
В качестве второго примера, левую точку касания полностью найдём через производную и уравнение касательной. Нижняя часть окружности соответствует графику функции [ y = — sqrt ] Вычислим производную этой функции [ y’ = (- sqrt)’ = -dfrac<2sqrt> = -dfrac<2sqrt> = dfrac<sqrt> ] Приравняем производную к тангенсу угла наклона искомой касательной, т.е. в нашем случае к −1 и решим уравнение относительно x. [dfrac<sqrt> = -1;\ x = — sqrt; ; x^2 = 8-x^2; \ 2x^2 = 8; ; x^2 = 4; ; x = pm2.] Нашли абсциссы точек касания. Подстановкой в уравнение окружности находим ординаты этих точек [ y = — sqrt; ; y(-2) = — sqrt = — sqrt = -2;]
Итак, точки касания найдены и обоснованы. Определим соответствующие им значения параметра a.
[ y = -x + (a-5) \ при ; x=2, ; y = 2 ;имеем\ 2 = -2 + (a-5) \ a-5=4;; a = 9 \ при ; x=-2,; y = -2 ; имеем \ -2 = 2 + (a-5) \ a-5=-4; ; a = 1 ] Следовательно, при (a in (1; 9) ) сокращённая система уравнений имеет ровно два различных решения.
Вернёмся к заданной системе уравнений. Чтобы она имела два различных решения, параметр a должен находиться в таком диапазоне, где первый из рассмотренных нами сомножителей не дает решений (иначе, как мы выяснили, их будет бесконечно много), а система из оставшихся двух сомножителей, сокращенная система, дает ровно два решения. Чтобы определить этот диапазон, найдем пересечение полученных ранее интервалов для параметра а с помощью числовой оси.
Как видно оба условия выполняюися для (a in (1; 2]cup [8; 9))
Ответ: (a in (1; 2]cup [8; 9)) 
Конечно, в итоговое решение, которое будет переписано на бланк, вы можете поместить один рисунок, который выглядит примерно так:
В качестве решения приведите все алгебраические выкладки с кратким обоснованием.
Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать
Задача для самостоятельного решения.
Задача 2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений [left< begin (x+y-2a)sqrt = 0; \ (x+y-2a) Large (normalsize x^2+(y+3)^2-a^2 Large )normalsize = 0 \ endright. ] имеет ровно два различных решения.
1) ОДЗ: ( 8x-y^2-x^2 ge 0 )
[ 8x-y^2-x^2 = 0 \ 2cdot 4cdot x-y^2-x^2 +16-16=0 \ 16 = x^2 -2cdot xcdot 4+16+y^2 \ (x-4)^2+y^2=4^2 ] ОДЗ — круг радиуса 4 центром в точке О1, включая границу.
2) Система равносильна совокупности [ left[ begin x+y-2a = 0; \ <left< begin sqrt = 0; \ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. end right.> end right. ] 3) Первое уравнение совокупности [x+y-2a = 0; \ y=-x+2a ] является уравнением прямых на координатной плоскости.
Находим точки касания этих прямых и окружности ОДЗ: [ (x-4)^2+y^2 = 4^2 \ y = pm sqrt \ y’ = pm dfrac<2sqrt> = mp dfrac<sqrt> \ mp dfrac<sqrt> = -1 \ pm (x-4) = sqrt \ (x-4)^2 = 16 — (x-4)^2 \ (x-4)^2 = 8\ x = pm sqrt + 4 = 4 pm 2sqrt. \ y = pm sqrt = pm sqrt = pm 2sqrt. \ ] При каких (a) через точки касания проходят прямые? [ x+y-2a= 0;\ 4+2sqrt+2sqrt = 2a;\ a=2+2sqrt.] [ x+y-2a = 0;\ 4-2sqrt-2sqrt=2a;\ a=2-2sqrt. ]
Вывод:
— при ( a in (2-2sqrt;; 2+2sqrt) ) бесконечное множество решений;
— при ( a = 2-2sqrt) и (a = 2+2sqrt ) уравнение имеет единственное решение;
— при ( a in (-infty; 2-2sqrt)cup (2+2sqrt; + infty) ) уравнение не даёт вклада в решения исходной системы.
4) Рассматриваем систему совокупности (сокращенную систему): [ <left< begin sqrt = 0; \ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. end right.> ] [sqrt = 0 LeftarrowRightarrow 8x-y^2-x^2=0 LeftarrowRightarrow (x-4)^2+y^2 = 4^2 ] Решениями первого уравнения этой системы являются все точки окружности — границы ОДЗ.
[x^2+(y+3)^2-a^2 =0 LeftarrowRightarrow x^2+(y+3)^2= a^2 ] Решениями второго уравнения этой системы являются все точки окружностей радиуса (а) центром в точке О2.
Решением системы — пересечение этих множеств.
При каких (a) окружности касаются друг друга?
Из геометрии — точки касания окружностей лежат на одной прямой с их центрами. [O_1O_2 = sqrt = 5] Следовательно, (|a|=5-4=1) радиус меньшей касательной окружности, (|a|=5+4=9) радиус большей.
Вывод:
— при ( |a| in (1;;9) ) по 2 решения;
— при ( |a| = 1) и (|a| = 9 ) по 1-му решению;
— при ( |a| in [0;; 1)cup (9;; + infty) ) решений нет.
5) Общий вывод:
— при ( a in (-infty;; -9)cup (-1;; 2-2sqrt) cup (9;; +infty ) ) система уравнений, заданная в условии задачи, не имеет решений;
— при ( a = <-9;;-1;;2-2sqrt;;9;> ) она имеет единственное решение;
— при ( a in (-9;;-1)cup (2+2sqrt;;9) ) два решения;
— при ( a = 2+2sqrt ) три решения;
— при ( a in (2-2sqrt;; 2+2sqrt) ) бесконечное множество решений.
Ответ: ( a in (-9;; -1)cup (2+2sqrt;; 9) )
Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.
Видео:#13. Задача с параметром: уравнение окружности!Скачать
Графический метод решения задач с параметрами
Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.
Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.
Вот список тем, которые стоит повторить:
1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».
Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.
Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).
1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
В первом уравнении выделим полный квадрат:
Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.
Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.
Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.
Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.
Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.
2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
Уравнение равносильно системе:
Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).
Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.
Приводим подобные слагаемые в уравнении.
Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:
Решим систему графически:
Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус
Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.
Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением
Пусть С — точка касания.
На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.
Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.
Решая это уравнение, получаем, что
3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.
График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и
Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.
Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.
Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой
Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).
Пусть А — точка касания окружности и окружности
, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),
В — точка касания окружности и окружности
длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:
Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:
, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.
Аналогично, для точки D:
и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.
4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?
Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)
И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!
Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.
Сделаем замену Система примет вид:
Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах
Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и
Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.
Когда же система имеет ровно 4 решения?
1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.
Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит, 
Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то
При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда
Мы получили ответ:
2) Есть второй случай, и мы его найдем.
Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.
Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.
Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.
А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!
Значит, Объединим случаи и запишем ответ:
Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.
📽️ Видео
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать
Параметр 24 | mathus.ru | три решения системы | уравнение галочки и уравнение окружностиСкачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Система с параметром и окружностью (Вузовские олимпиады, ДВИ)Скачать
✓ Система уравнений с параметром | ЕГЭ-2018. Задание 17. Математика. Профиль | Борис ТрушинСкачать
Уравнение окружности (1)Скачать
Параметр. Серия 14. Решение задач с окружностями. Касание окружности и гиперболыСкачать
Системы неравенств с двумя переменными. Алгебра, 9 классСкачать
Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать
Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать
Параметр 18 | mathus.ru | единственное решение системыСкачать
Система уравнений с параметром | Графический и аналитический способ | Параметр№8 | ЕГЭ по математикеСкачать
Параметр 26 | mathus.ru | единственное решение системы | уравнение окружности с модулемСкачать
