Параллелограмм abcd является изображением квадрата a1b1c1d1 постройте изображение радиуса окружности

Видео:№114. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение паралСкачать

И. Проверка домашнего задания

1) Что можно сказать про параллельную проекцию прямой на плоскость?

2) Что можно сказать о проекции параллельных прямых на плоскость?

3) Точка С делит отрезок АВ в отношении АС : СВ = 2 : 3. Параллельными проекциями точек А, В, С на плоскость а будут точки А1, B1, С1. В каком отношении точка С1 делит отрезок А1В1 ?

4) Треугольник А1В1С1 — параллельная проекция треугольника АВС на плоскость α (рис. 90). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:

а) если треугольник АВС правильный, то треугольник А1В1С1 обязательно правильный;

б) треугольник АВС не может быть равен треугольнику А1В1С1;

в) если ВК — биссектриса треугольника АВС, то B1K1 обязательно — биссектриса треугольника А1В1С1;

г) если ВК — медиана треугольника АВС, то В1К1 обязательно — медиана треугольника A1B1C1.

5) Объясните решение задачи № 38.

6) Четырехугольник A1B1C1D1 является параллельной проекцией рівнобічної трапеции ABCD (АВ — основание трапеции) на плоскость α (рис. 91). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:

а) прямые A1D1 и В1С1 могут быть параллельными;

б) прямые A1B1 и D1C1 могут пересекаться;

в) отрезки А1 D 1 и В1С1 могут быть равными;

г) отрезки А1В1 и D1C1 могут быть равными;

д) если 2АВ = 3DC, то 3А1В1 = 2D1C1.

II. Закрепление и осмысление знаний учащихся

Формирование умений строить изображения фигур

Остановимся на изображении наиболее применяемых геометрических фигур, из комбинаций которых состоит, как правило, изображения любой сложной пространственной фигуры.

Любой треугольник может быть изображением треугольника произвольной формы, в частности: правильного, равнобедренного, прямоугольного.

Доведение

Пусть задан треугольник АВС произвольной формы и на плоскости проекции α задан треугольник А1В1С1. Всегда можно расположить треугольник АВС и выбрать направление проектирования так, что треугольник проецируется в треугольник, подобный треугольнику А1В1С1 (рис. 92). Построим треугольник AB2C, который подобен треугольнику А1В1С1 выбрав за направление проектирования прямую BB2, получим, что ΔАВС проектируется в ΔАВ2С такой, что ΔАВСΔА1В1С1.

Следует отметить, что медианы и средние линии треугольника изображают соответственно медіанами и средними линиями изображения.

На изображении равностороннего треугольника постройте изображение его центра.

Решение

Пусть АВС (рис. 93) — данное изображение равностороннего треугольника. Центр правильного треугольника — точка пересечения его медиан. Поэтому, построив медианы АК и CM на изображении, которые пересекутся в точке О, получим: точка О — центр правильного треугольника АВС.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Изображением параллелограмма (прямоугольника, ромба, квадрата) можно считать произвольный параллелограмм, принадлежащей плоскости проекций.

Действительно, пусть ABCD — параллелограмм, что проектируют, тогда произвольный треугольник А1В1С1 можно считать проекцией треугольника АВС (рис. 94). Учитывая, что при параллельном проектировании параллельные отрезки переходят в параллельные отрезки, и проведя A1 D 1 || В1С1 и C 1 D 1 || А1В1, получим A1B1C1D1 — параллелограмм, который является изображением параллелограмма ABCD (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата).

Постройте изображение ромба с углом 120° и изображение высоты ромба, проведенная из вершины этого угла.

Решение

Пусть параллелограмм ABCD (рис. 95) является изображением ромба A 1 B 1 C 1 D 1 , у которого B 1 = 120° (рис. 96).

Поскольку Δ А1В1 D 1 — равносторонний, то его медиана В1 K 1 является одновременно и высотой этого треугольника, а следовательно, и ромба.

Таким образом, построив середину стороны AD и соединив эту точку с вершиной В, получим ВК — изображение высоты (см. рис. 95).

ИЗОБРАЖЕНИЕ ТРАПЕЦИИ

Из свойства параллельного проектирования следует, что изображением трапеции есть трапеция, у которой отношение длин оснований изображения равно отношению длин оснований трапеции, которую проектируют.

Постройте изображение рівнобічної трапеции с основаниями 3 и 9 см и изображения ее высоты.

Пусть A1B1C1D1 — равносторонняя трапеция, у которой А1 D 1 || В1С1, A1D1 = 9 см, В1С1 = 3 см. Следует отметить, что высота С1К1 параллельна оси симметрии М1 N 1 (точки М1 и N1 — середины оснований трапеции) (рис. 97). Но при параллельном проецировании сохраняются параллельность прямых и отношение длин параллельных отрезков. Отсюда вытекает построение: трапеция ABCD, в которой AD || ВС и AD = 3 ВС, является изображением трапеции (рис. 98); построив точки М и N — середины сторон ВС и AD и СК || MN, получим отрезок СК — изображение высоты трапеции.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА

Изображением произвольного четырехугольника (параллелограмма и трапеции) есть произвольный четырехугольник.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИУГОЛЬНИКА

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF (рис. 99). Точка О пересечения диагоналей AD и FC — его центр симметрии, поэтому ромба АВСО и DEFO симметричны относительно точки О. Ромб АВСО изображаем в виде произвольного параллелограмма A1B1C1 D 1 (рис. 100). Для построения последних вершин изображение достаточно построить точки D 1, E 1, F 1, соответственно симметричны относительно точки О1 точкам А1, B1, С1.

ИЗОБРАЖЕНИЕ КРУГА

Изображением круга с центром в точке О1 является эллипс с центром в точке О, который принадлежит плоскости проекции α . Каждый диаметр эллипса АВ делит пополам хорды MN, M1N1, M2N2 . параллельные сопряженного с ним диаметра CD (рис. 101).

Следует отметить, что сопряженными диаметрами эллипса называются изображения двух перпендикулярных диаметров круга, что проецируется.

Решение задачи № 42 из учебника (с. 22).

ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕТРАЭДРА

Рассматривая тень, что дают на экране каркасная модель тетраэдра, можно сформулировать правило его изображение. Изображением ребер данного тетраэдра могут быть стороны и диагонали произвольного выпуклого (рис. 102) или невыпуклого четырехугольника ABCD (рис. 103).

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Пусть задан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B 1C1D1. Выберем три его ребра АВ, AD и АА1, имеющих общее начало (рис. 104). Рассмотрим тетраэдр A1ABD. Пользуясь правилом изображения тетраэдра, приходим к выводу, что ребра АВ, AD, AA1 можно изобразить в виде трех произвольных отрезков, выходящих из одной точки (рис. 105). Последние его ребра следует изобразить определенными отрезками, каждый из них параллельный одном из построенных отрезков и равен ему по длине (рис. 106).

III. Домашнее задание

§2, п. 13; контрольный вопрос № 12; задачи № 39, 40 (с. 22).

Видео:№42. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости,Скачать

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1. Четырехугольник A1B1C1 D 1 является параллельной проекцией трапеции ABCD (AD — основание трапеции) на некоторую плоскость. Укажите, какие из указанных утверждений правильные, а какие — неправильные:

а) четырехугольник A1 B 1 C 1 D 1 является трапецией с основанием C1D1;

б) четырехугольник А1В1 C 1 D 1 может быть ромбом;

в) четырехугольник A1B1C1D1 является трапецией с основанием А1 D 1;

г) четырехугольник A1B1C1D1 является трапецией с основанием В1 D 1;

д) если ВС = 5AD, то 5В1 C 1 = A1 D 1.

2. Четырехугольник A1B1C1D1 является параллельной проекцией прямоугольника ABCD на некоторую плоскость. Укажите, какие из перечисленных утверждений являются правильными, а какие — неправильными:

а) в четырехугольнике A1B1 C 1 D 1 является параллельные стороны;

б) в четырехугольнике А1 B 1С1 D 1 обязательно есть равные стороны;

в) четырехугольник A1 B 1С1 D 1 может быть трапецией;

г) диагонали четырехугольника A1B1C1D1 точкой пересечения делятся пополам;

д) диагонали четырехугольника А1 B 1С1 D 1 уровне обязательно.

Видео:№357. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и DD1 компланарны.Скачать

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКОЛО ОК-РУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Задание: Дано изображение АВС произвольного треугольника А ₁ В ₁ С ₁ , вписанного в окружность. Построить изображение высоты треугольника и биссектрисы, проведенных из вершины В ₁ .

K ₁ L ₁ A ₁ C ₁ , OK ₁ L ₁ .

Соответственные построения проводим на изображении АВС треугольника А ₁ В ₁ С ₁ , вписанного в окружность.

Задание: построить изображение касательной к окружности в точке А.

Строим эллипс с центром в точке О.

Проводим диаметр АВ и сопряженный ему диаметр DC .

Проводим АК DC

АК – искомая касательная.

Задание: построить изображение прямоугольного треугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

Задание: построить изображение равнобедренного треугольника.

чертеж — оригинал изображение

Для построения изображения равнобедренного треугольника достаточно построить два сопряженных диаметра. В случае остроугольного и тупоугольного равнобедренных треугольников строят хорду параллельную одному из сопряженных диаметров, которая послужит основанием треугольника. В случае, когда речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, один из сопряженных диаметров послужит основанием искомого треугольника.

Вершина искомого треугольника будет лежать на конце другого диаметра.

Задание: построить изображение правильного треугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

Задание: построить изображение прямоугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

Задание: построить изображение вписанной в окружность равнобокой трапеции.

чертеж – оригинал изображение

Задание: построить изображение квадрата вписанного в окружность.

чертеж – оригинал изображение

Задание: построить изображение правильного шестиугольника вписанного в окружность

Проведем ω(О; ОА ₁ ), (А ₁ А ₄ ) ( MN ), О = (А ₁ А ₄ ) ( MN ), ОА ₁ = R .

1.Строим эллипс (с центром О ).

2. Строим произвольный диаметр А′ ₁ А′ ₄ и сопряженный ему диаметр MN .

Задание: построить изображение описанного около окружности прямоугольного треугольника.

чертеж — оригинал изображение

Для построения изображения описанного около окружности прямоугольного треугольника используют тот факт, что его катеты это касательные к окружности в концах двух его сопряженных диаметров.

чертеж — оригинал изображение

Строим эллипс с центром в точке О и два сопряженных диаметра MN и KL .

Из точки В , лежащей на продолжении диаметра KL , проводим две касательные ( Р и Q – точки касания) до пересечения с прямой АС ( АС MN ).

Треугольник АВС является искомым равнобедренным треугольником.

Задание: построить изображение описанного около окружности равностороннего треугольника.

чертеж — оригинал изображение

Построение равностороннего треугольника аналогично построению равнобедренного треугольника. За исключением того, что здесь точку В выбирают не произвольно, а так, чтобы OL = LB .

Задание: построить изображение описанного около окружности квадрата.

чертеж — оригинал изображение

Стороны квадрата лежат на касательных к окружности, проходящих в концах сопряженных диаметром MN и KL . Точки касания делят стороны описанного квадрата пополам.

Задание: построить изображение ромба описанного около окружности.

чертеж — оригинал изображение

Диагоналям ромба АС и BD принадлежат сопряженные диаметры эллипса KL и MN соответственно. Одну из вершин ромба выбираем произвольно, например, вершину С . Из этой вершины проводим касательные отрезки. Например, отрезок CD касается эллипса в точке Р .

Замечание: точка Р не должна делить отрезок CD пополам, иначе, получим изображение описанного квадрата.

Задание: построить изображение описанной около окружности равнобокой трапеции.

чертеж — оригинал изображение

При построении изображения описанной около окружности равнобокой трапеции стоит учитывать, что диаметр K ₁ L ₁ перпендикулярен основаниям В ₁ С ₁ и А ₁ D ₁ и делит их пополам.

Строим касательные к эллипсу, проходящие через точки К и L , параллельные диаметру MN ( MN и KL сопряженные диаметры). Откладываем два равных отрезка КВ и КС , так чтобы КС был меньше ON . Через точки В и С проводим касательные к эллипсу. Точки пересечения этих касательных с касательной, проведенной в точке L , дают вершины A и D .

Второй способ:

Строим вписанную в окружность трапеции (см.выше). Затем проводим касательные к эллипсу параллельные сторонам трапеции. Точки пересечения касательных – вершимы искомой описанной равнобокой трапеции.

Задание: построить изображение описанного около окружности шестиугольника.

чертеж — оригинал изображение

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 988 человек из 78 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 672 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 310 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Точка E середина стороны AD параллелограмма ABCDСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 540 479 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

88. Вписанный четырехугольник

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 04.05.2018
• 2892
• 15

• 04.05.2018
• 2977
• 11

• 04.05.2018
• 1784
• 16

• 04.05.2018
• 456
• 2

• 04.05.2018
• 491
• 7

• 04.05.2018
• 315
• 0

• 04.05.2018
• 505
• 3

• 04.05.2018
• 1861
• 70

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.05.2018 6438
• DOCX 731 кбайт
• 47 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Голованова Елена Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года
• Подписчики: 4
• Всего просмотров: 123175
• Всего материалов: 91

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области школьников переведут на дистанционное обучение с 4 февраля

Время чтения: 1 минута

Онлайн-семинар о развитии управляющих функций мозга ребенка

Время чтения: 1 минута

В Томске из-за COVID-19 перенесут каникулы для первоклассников

Время чтения: 1 минута

В России классы будут переводить на дистант, если заболели 20% детей

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Во Владивостоке средние классы школ переводят на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:№345. Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма ABCD,Скачать

Контрольная работа № 2 по теме «Параллельность в пространстве» (10 класс, Мерзляк А.Г. и др.)

Даны четыре варианта контрольной работы, удобно вносить изменения и печатать.

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа № 2 по теме «Параллельность в пространстве» (10 класс, Мерзляк А.Г. и др.)»

Контрольная работа № 2 по теме «Параллельность в пространстве»

1 . Точки M, N, P и Q — середины отрезков BC, BD, AD и AC соответственно, AB = 14 см, CD = 18 см (рис. 9). Определите вид четырёхугольника MNPQ и вычислите его периметр.

2. Плоскость α пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно и параллельна стороне AC, MK = 4 см, MB : MA = 2 : 3. Найдите сторону AC треугольника.

3 . Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 10). Постройте изображение высоты треугольника, опущенной на сторону A₁C₁.

4. Плоскости α и β параллельны. Из точки M, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости α и β в точках A₁ и B₁, а другой — в точках A₂ и B₂ соответственно. Найдите отрезок B₁B₂ , если он на 2 см больше отрезка A₁A₂ , MB₁ = 7 см, A₁B₁ = 4 см.

5. Точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, являются параллельными проекциями трёх последовательных вершин правильного шестиугольника. Постройте изображение этого шестиугольника.

1 . Точки F, M, N и C — середины отрезков BS, DB, AD и AS соответственно, SD = 30 см, AB = 36 см (рис. 11). Определите вид четырёхугольника FMNC и вычислите его периметр.

2. Плоскость β пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках N и D соответственно и параллельна стороне BC, AD = 6 см, DN : CB = 3 : 4. Найдите сторону AC треугольника.

3 . Треугольник MNK является изображением правильного треугольника M₁N₁K₁ (рис. 12). Постройте изображение биссектрисы треугольника, проведённой из вершины M₁.

4. Плоскости α и β параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках A₁ и B₁, а другая — в точках A₂ и B₂ соответственно. Найдите отрезок A₁A₂ , если он на 1 см меньше отрезка B₁B₂ , MA₂ = 4 см, A₂B₂ = 10 см.

5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин квадрата и его центра. Постройте изображение квадрата.

1 . Точки N, M, C и K — середины отрезков BD, DF, FA и AB соответственно, BF = 24 см, AD = 18 см (рис. 13). Определите вид четырёхугольника NMCK и вычислите его периметр.

2. Плоскость α пересекает стороны MF и MK треугольника MFK в точках A и B соответственно и параллельна стороне FK,
AB = 12 см, AM : AF = 3 : 5. Найдите сторону FK треугольника.

3 . Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 14). Постройте изображение центра вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

4. Плоскости α и β параллельны. Из точки O, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости α и β в точках C₁ и D₁, а другой — в точках C₂ и D₂ соответственно. Найдите отрезок C₁C₂, если он на 5 см меньше отрезка D₁D₂, OC₁ = 4 см,
C₁D₁ = 10 см.

5. Точки A, B и O, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин правильного треугольника и его центра. Постройте изображение этого треугольника.

В ариант 4

1. Точки A, B, K и T — середины отрезков MF, PF, PN и MN соответственно, MP = 10 см, FN = 16 см (рис. 9). Определите вид четырёхугольника ABKT и вычислите его периметр.

2 . Плоскость β пересекает стороны CF и CD треугольника CDF в точках M и N соответственно и параллельна стороне FD, MN = 6 см, FD = 21 см, MC = 10 см. Найдите сторону FC треугольника.

3. Треугольник ABC является изображением правильного треугольника A₁B₁C₁ (рис. 16). Постройте изображение центра описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

4. Плоскости α и β параллельны. Через точку D, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках M₁ и N₁, а другая — в точках M₂ и N₂ соответственно. Найдите отрезок M₁M₂ , если он на 8 см больше отрезка N₁N₂ , N₁M₁= 30 см, DN₁ = 5 см.

5. Точки A, B и M, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух соседних вершин параллелограмма и середины его противолежащей стороны. Постройте изображение этого параллелограмма.

📹 Видео

1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

№748. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Равны ли векторы?Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.Скачать

Задача 1. Построение параллелограммаСкачать

№327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, нСкачать

№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

№782. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороныСкачать

№19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость αСкачать

№344. Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое,Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать

№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.Скачать

Площадь параллелограмма по векторамСкачать