Длина окружности в три раза больше диаметра

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:

следовательно, радиус будет равен:

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).

Ответ: 12,56 см 2 .

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

Ответ: 38,465 см 2 .

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

6 класс. Математика. Длина окружности. Площадь круга

6 класс. Математика. Длина окружности. Площадь круга

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Смысл понятия длина окружности

Рас­смот­рим чер­теж. Перед нами окруж­ность с цен­тром в точке О и от­ре­зок АВ, ко­то­рый со­еди­ня­ет две точки окруж­но­сти и про­хо­дит через ее центр. Мы пом­ним, что он на­зы­ва­ет­ся диа­метр. Длину окруж­но­сти при­ня­то обо­зна­чать бук­вой С, а длину диа­мет­ра бук­вой d.

Чтобы уяс­нить смысл по­ня­тия длина окруж­но­сти, вы­пол­ним мыс­лен­ный экс­пе­ри­мент. Пред­ставь­те себе окруж­ность, из­го­тов­лен­ную из тон­кой про­во­ло­ки. Если раз­ре­зать про­во­ло­ку и вы­пря­мить ее, то длина вы­прям­лен­но­го куска про­во­ло­ки и будет дли­ной окруж­но­сти.

2. Отношение длины окружности к ее диаметру. Формула длины окружности

От­но­ше­ние длины окруж­но­сти к ее диа­мет­ру – число по­сто­ян­ное. Этот факт был об­на­ру­жен экс­пе­ри­мен­таль­но. Еще егип­тяне за­ме­ти­ли, если де­лить длину окруж­но­сти на ее диа­метр, то все­гда по­лу­ча­ет­ся одно и то же число. В Древ­нем Егип­те ду­ма­ли, что это число – три, то есть длина окруж­но­сти в три раза боль­ше диа­мет­ра. Затем люди нашли более точ­ное зна­че­ние для этого от­но­ше­ния: или . В этом слу­чае длина окруж­но­сти в раза боль­ше диа­мет­ра. Позд­нее вы­яс­ни­лось, что — это до­ста­точ­но точ­ное, но все-та­ки при­бли­зи­тель­ное зна­че­ние. Более того, по­тре­бо­ва­лось вве­сти осо­бое число – число π. Итак, вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние: «длина окруж­но­сти в π раз боль­ше диа­мет­ра»

Мы знаем, что диа­метр в два раза боль­ше ра­ди­у­са, тогда у нас по­яв­ля­ет­ся фор­му­ла:

Если ра­ди­ус умно­жить на два и на π, то мы по­лу­чим длину окруж­но­сти.

3. Число π

В гру­бом при­бли­же­нии число π равно трем.

С точ­но­стью до сотых: π = 3,14.

С точ­но­стью до де­ся­ти­ты­сяч­ных: π = 3,1416

Можно за­пи­сать при­бли­жен­ное зна­че­ние числа π с точ­но­стью до мил­ли­он­ных, до мил­ли­ард­ных, но за­пи­сать, чему точно равно число π с по­мо­щью цифр нель­зя! Ока­за­лось, что это число нель­зя вы­ра­зить обык­но­вен­ной дро­бью. По­это­му в фор­му­лах ис­поль­зу­ют букву π, а для прак­ти­че­ских вы­чис­ле­ний при­бли­жен­ное зна­че­ние.

4. Задача на применение формулы длины окружности

Окруж­ность арены во всех цир­ках мира имеет длину 40,8 м. Най­ди­те диа­метр арены, если .

За­пи­шем фор­му­лу и под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния букв. Вме­сто π мы под­ста­ви­ли его при­бли­жен­ное зна­че­ние, по­это­му мы за­ме­ни­ли знак равно, ко­то­рый был в фор­му­ле, на знак при­бли­жен­но равно. Вы­пол­нив неслож­ные пре­об­ра­зо­ва­ния, по­лу­чим, что диа­метр при­бли­зи­тель­но равен 13,6м.

За­ме­тим, что три – это гру­бое при­бли­же­ние числа π. По­про­бу­ем в рас­смот­рен­ной за­да­че под­ста­вить более точ­ное зна­че­ние. Пусть .

Тогда, чтобы найти диа­метр, нужно раз­де­лить 40,8 на 3,14. Вы­пол­ним де­ле­ние. Можно, на­при­мер, вос­поль­зо­вать­ся каль­ку­ля­то­ром. По­лу­чим, что диа­метр со­став­ля­ет 12,99м.

Видно, что ошиб­ка со­ста­ви­ла 61 см. Это зна­чи­тель­ная ошиб­ка. Если вме­сто числа π под­ста­вить его зна­че­ние с точ­но­стью до де­ся­ти­ты­сяч­ных, то вновь по­лу­чен­ный ре­зуль­тат будет от­ли­чать­ся от преды­ду­ще­го на 7 мм. Раз­ни­ца в 7мм для дан­ной за­да­чи несу­ще­ствен­на.

Вывод: В рас­смот­рен­ной за­да­че оп­ти­маль­ным было зна­че­ние π с точ­но­стью до сотых. Такую точ­ность ис­поль­зу­ют при ре­ше­нии боль­шин­ства прак­ти­че­ских задач.

5. Формула площади круга

Для вы­во­да этой фор­му­лы наших ма­те­ма­ти­че­ских зна­ний пока недо­ста­точ­но. По­это­му мы огра­ни­чим­ся неко­то­ры­ми рас­суж­де­ни­я­ми на эту тему, а для ре­ше­ния задач будем ис­поль­зо­вать го­то­вую фор­му­лу. Как по­лу­ча­ют эту фор­му­лу, вы узна­е­те в стар­ших клас­сах. Рас­смот­рим чер­теж.

Перед нами круг с цен­тром в точке О и два квад­ра­та АВСD и EFKM. Ра­ди­ус круга равен r, по­это­му длина сто­ро­ны боль­ше­го квад­ра­та равна 2r, а его пло­щадь равна . Ма­лень­кий квад­рат сво­и­ми диа­го­на­ля­ми раз­би­ва­ет­ся на че­ты­ре рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Пло­щадь каж­до­го та­ко­го тре­уголь­ни­ка . Зна­чит, пло­щадь ма­лень­ко­го квад­ра­та . Ясно, что пло­щадь круга боль­ше пло­ща­ди ма­лень­ко­го квад­ра­та и мень­ше пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та. Можно ска­зать, что пло­щадь круга при­мер­но равна . На уро­ках ма­те­ма­ти­ки в стар­ших клас­сах будет до­ка­за­но, что .

6. Задача на применение формулы площади круга

Диа­метр круга равен 14 см. най­ди­те его пло­щадь, если .

Сна­ча­ла най­дем ра­ди­ус круга. Для этого раз­де­лим диа­метр по­по­лам. По­лу­чим, что ра­ди­ус равен 7см. Под­ста­вим в фор­му­лу вме­сто букв их зна­че­ния. Со­кра­тим по­лу­чен­ную дробь на 7. Итак, пло­щадь круга при­мер­но равна 154 .

Задача 7836 Какие из следующих утверждений.

Условие

Какие из следующих утверждений верны?

1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
2) Всякая хорда окружности меньше диаметра.
3) Длина окружности более, чем в три раза, превышает диаметр этой окружности.

Решение

1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3) Длина окружности более, чем в три раза, превышает диаметр этой окружности.

Ответ: 13

Всякая хорда окружности меньше диаметра.

Все решения

1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Да, по свойству диагоналей ромба.
2) Всякая хорда окружности меньше диаметра. Неверно. Потому,что по определению диаметр-
-наибольшая из хорд. Это означает,что хорда может быть диаметром.
3)Длина окружности более чем в три раза,превышает диаметр этой окружности. Да. Это следует из формулы длины окружности: C=3.14*d, отсюда C/d=3.14. > 3.1
Ответ 13